高考数学 17-18版 第7章 第38课 课时分层训练38
课时分层训练(三十八)
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、填空题
1．下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是逆推法；⑤反证法是间接证法．其中正确的个数有____________．(填序号)
①②③④⑤ [由分析法、综合法、反证法的定义知①②③④⑤都正确．]
2．用反证法证明命题：若整数系数的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理实数根，则a，b，c中至少有一个是偶数．下列假设中正确的是____________．(填序号)
①假设a，b，c至多有一个是偶数；
②假设a，b，c至多有两个偶数；
③假设a，b，c都是偶数；
④假设a，b，c都不是偶数．
④ [“至少有一个”的否定为“一个都没有”，即假设a，b，c都不是偶数．]
3．若a，b，c为实数，且a
ab>b2；
③<； ④>.
② [a2－ab＝a(a－b)，
∵a0，
∴a2>ab.
又ab－b2＝b(a－b)>0，∴ab>b2，
即a2>ab>b2.]
4．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证0; ②a－c>0；
③(a－b)(a－c)>0; ④(a－b)(a－c)<0.
③ [由题意知0
⇐(a－c)(2a＋c)>0⇐(a－c)(a－b)>0.]
5．用反证法证明“若x2－1＝0，则x＝－1或x＝1”时，应假设__________．
x≠－1且x≠1 [“x＝－1或x＝1”的否定是“x≠－1且x≠1”．]
6．设a>b>0，m＝－，n＝，则m，n的大小关系是__________．
m⇐a0，显然成立．]
7．下列条件：①ab>0，②ab<0，③a>0，b>0，④a<0，b<0，其中能使＋≥2成立的条件的个数是__________．
3 [要使＋≥2，只要>0，且>0，即a，b不为0且同号即可，故有3个．]
8．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)____________0.(填“>”“<”或“＝”) 【导学号：62172208】
< [∵x1＋x2>0，∴x1>－x2，
又f(x)是奇函数，且在[0，＋∞)上单调递减，
故f(x)在R上单调递减，
故f(x1)0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.
[证明] 要证明2a3－b3≥2ab2－a2b成立，
只需证：2a3－b3－2ab2＋a2b≥0，
即2a(a2－b2)＋b(a2－b2)≥0，
即(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0.
∵a≥b>0，∴a－b≥0，a＋b>0,2a＋b>0，
从而(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0成立，
∴2a3－b3≥2ab2－a2b.
12．设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．
(1)求证：数列{Sn}不是等比数列；
(2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？ 【导学号：62172209】
[解] (1)证明：假设数列{Sn}是等比数列，则S＝S1S3，
即a(1＋q)2＝a1·a1·(1＋q＋q2)，
因为a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2，
即q＝0，这与公比q≠0矛盾，
所以数列{Sn}不是等比数列．
(2)当q＝1时，Sn＝na1，故{Sn}是等差数列；
当q≠1时，{Sn}不是等差数列，否则2S2＝S1＋S3，
即2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)，
得q＝0，这与公比q≠0矛盾．
综上，当q＝1时，数列{Sn}是等差数列；
当q≠1时，数列{Sn}不是等差数列．
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．设x，y，z>0，则三个数＋，＋，＋____________.(填序号)
①都大于2; ②至少有一个大于2；
③至少有一个不小于2; ④至少有一个不大于2.
③ [因为x>0，y>0，z>0，
所以＋＋＝＋＋≥6，
当且仅当x＝y＝z时等号成立，则三个数中至少有一个不小于2.]
2．如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则下列说法正确的是____________．(填序号)
①△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形；
②△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形；
③△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形；
④△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形；
④ [由条件知，△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，则△A1B1C1是锐角三角形，假设△A2B2C2是锐角三角形．
由
得
那么，A2＋B2＋C2＝，这与三角形内角和为180°相矛盾．
所以假设不成立，又显然△A2B2C2不是直角三角形．
所以△A2B2C2是钝角三角形．]
3．已知数列{an}满足a1＝，且an＋1＝(n∈N＋)．
(1)证明数列是等差数列，并求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝anan＋1(n∈N＋)，数列{bn}的前n项和记为Tn，证明：Tn<.
[解] (1)由已知可得，当n∈N＋时，an＋1＝.
两边取倒数得，＝＝＋3，
即－＝3，
所以数列是首项为＝2，公差为3的等差数列，
其通项公式为＝＋(n－1)×3＝2＋(n－1)×3＝3n－1.
所以数列{an}的通项公式为an＝.
(2)证明：由(1)知an＝，
故bn＝anan＋1＝×
＝
＝，
故Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝×＋×＋…＋×
＝＝－×.
因为>0，所以Tn<.
4．若f(x)的定义域为[a，b]，值域为[a，b](a－2)，使函数h(x)＝是区间[a，b]上的“四维光军”函数？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．
[解] (1)由题设得g(x)＝(x－1)2＋1，其图象的对称轴为x＝1，区间[1，b]在对称轴的右边，所以函数在区间[1，b]上单调递增．
由“四维光军”函数的定义可知，g(1)＝1，g(b)＝b，
即b2－b＋＝b，解得b＝1或b＝3.
因为b>1，所以b＝3.
(2)假设函数h(x)＝在区间[a，b](a>－2)上是“四维光军”函数，
因为h(x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递减，
所以有即
解得a＝b，这与已知矛盾．故不存在．
