【数学】安徽省六安中学2019-2020学年高二下学期期末考试（理）（解析版）

【数学】安徽省六安中学2019-2020学年高二下学期期末考试（理）（解析版）

安徽省六安中学2019-2020学年高二下学期期末考试（理）‎ 总分：150分 时间：120分钟 ‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．复数（其中为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2．若复数满足，则的虚部为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．命题“，使”的否定为( )‎ A． ‎ B．‎ C．， ‎ D．，‎ ‎4．以下说法中正确的是（ ）‎ ‎①，；‎ ‎②若为真命题，则为真命题：‎ ‎③是的充分不必要条件;‎ ‎④“若，则”的逆否命题为真命题.‎ A．①② B．①③ C．②③ D．③④‎ ‎5．函数在点处的切线方程为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知随机变量服从正态分布，若，则（ ） A．0.34 B．0.48 C．0.68 D．0.84‎ ‎7．设，其中，且，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．把15人分成前、中、后三排,每排5人,则共有不同的排法种数为(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎9．的展开式中x的系数等于（ ）‎ A．3 B．4 C． D．‎ ‎10．小明的妈妈为小明煮了 5 个粽子，其中两个腊肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件A为“取到的两个为同一种馅”，事件B为“取到的两个都是豆沙馅”，则 （ ） A． B． C． D．‎ ‎11．如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个不同区域（ABCDE）涂色，规定每个区域只涂一种颜色、相邻区域颜色不同，则区域不同涂色的方法种数为（ ）‎ A．360 B．400 C．420 D．480‎ ‎12．设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．已知的分布列 ‎0‎ ‎1‎ 且，，则_______________.‎ 14． 函数在上的单调递减，则实数的取值范围为___________.‎ ‎15．已知命题p：∀x>0，2ax－lnx≥0.若命题p的否定是真命题，则实数a的取值范围是 ‎_______________________．‎ ‎16．已知能够被15整除,其中，则________________.‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（10分）已知：，：，其中.‎ ‎（1）若且为真，求的取值范围；‎ ‎（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.‎ ‎18．（12分）已知圆的方程，从0，3，4，5，6，7，8，9，10这九个数中选出3个不同的数，分别作圆心的横坐标、纵坐标和圆的半径．问：‎ ‎（1）经过原点的圆有多少个？（2）圆心在直线上的圆有多少个？‎ ‎19．（12分）请你设计一个包装盒，如图所示，是边长为的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于图中的点，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，在上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设().‎ ‎（1）某广告商要求包装盒的侧面积最大，试问应取何值？‎ ‎（2）某厂商要求包装盒的容积最大，试问应取何值？‎ ‎20．（12分）某大学宣传部组织了这样一个游戏项目：甲箱子里面有3个红球，2个白球，乙箱子里面有1个红球，2个白球，这些球除了颜色以外，完全相同．每次游戏需要从这两个箱子里面各随机摸出两个球.‎ ‎（1）设在一次游戏中，摸出红球的个数为，求分布列.‎ ‎（2）若在一次游戏中，摸出的红球不少于2个，则获奖.求一次游戏中，获奖的概率.‎ ‎21．（12分）为了研究某学科成绩是否与学生性别有关，采用分层抽样的方法，从高二年级抽取了名男生和名女生的该学科成绩，得到如图所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图，规定分以上为优分（含分）．‎ ‎(1)（i）请根据图示，将2×2列联表补充完整；‎ 优分 非优分 总计 男生 女生 总计 ‎50‎ ‎（ii）据列联表判断，能否在犯错误概率不超过的前提下认为“学科成绩与性别有关”？‎ ‎(2)将频率视作概率，从高二年级该学科成绩中任意抽取名学生的成绩，求成绩为优分人数的分布列与数学期望．‎ 参考公式：．‎ 参考数据：‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎22．（12分）设函数，.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）当时，若函数没有零点，求的取值范围.‎ 参考答案 1． D【详解】因，故在第四象限，应选D.‎ 2． B【详解】由题意得，，所以z的虚部为.‎ ‎3．B【详解】根据全称命题的否定是特称命题，知，使的否定为.‎ ‎4．B【详解】①函数开口向上，，因此，，正确；‎ ‎②为真命题，则其中一个为假命题或都是真命题，因此不一定为真命题，错误；‎ ‎③由得或，因此，‎ 但即是的充分不必要条件．正确；‎ ‎④，原命题为假命题，因此它的逆否命题为假命题．错误．‎ ‎5．C【详解】 ，∴，∴，又 ，‎ 切线方程是：.‎ ‎6．C【详解】因为随机变量服从正态分布，所以，‎ 所以．‎ ‎7．D【详解】‎ ‎8．C【详解】把座位从1到15标上号，问题就转化为15人坐在15个座位上，共有种．‎ ‎9．C【详解】‎ 其中的展开式中含的项是，的展开式中没有含的项.‎ ‎10．B【详解】由题意，P（A）==，P（AB）==，∴P（B|A）==，‎ ‎11．C【详解】根据题意，5个区域依次为A、B、C、D、E, 如图，‎ 分4步进行分析：‎ ‎①对于区域A，有5种颜色可选，‎ ‎②对于区域B，与A区域相邻，有4种颜色可选;③对于区域C，与A、B区域相邻,有3种颜色可选;‎ ‎④,对于区域D、E,若D与B颜色相同，E区域有3种颜色可选，若D与B颜色不相同，D区域有2种颜色可选，E区域有2种颜色可选，则区域D、E有种选择,‎ 则不同的涂色方案有种;‎ ‎12．A【详解】构造新函数,，当时.‎ 所以在上单减，又，即.所以可得,此时，又为奇函数，所以在上的解集为：.故选A.‎ ‎13．4【详解】,且 ‎，即，解得，‎ ‎14．【详解】解：因为，，所以，‎ 因为函数在上的单调递减，‎ 所以在上恒成立，即在上恒成立，‎ 因为在上单调递减，所以 所以，即 15． ‎【详解】命题的否定是：，，所以能成立，‎ 令，则，令，得，并且可以得出在上单调增，在上单调减，所以的最大值也就是极大值为，所以，‎ 故实数的取值范围是.‎ ‎16．14【详解】解：由题可知，‎ 所以，‎ 而75能被15整除，要使能够被15整除，只需能被15整除即可，‎ 所以，解得：.‎ ‎17．17．（1）；（2）‎ ‎【详解】由，解得，所以：，‎ 又，且，解得，所以：.‎ （1） 当时，：，因为为真，‎ 所以都为真，所以………………………………………………………5分 ‎（2）因为是的充分不必要条件，所以是的充分不必要条件，‎ 因为：，：，所以，解得.………10分 ‎18．(1)4；(2)38.‎ ‎【详解】(1)圆经过原点，a、b、r满足，‎ 满足该条件的a，b，r共有3，4，5与6，8，10两组，考虑a、b的顺序，有种情况，‎ 所以符合题意的圆有.…………………………………………………………5分 (2) 圆心在直线x+y−10=0上，即满足a+b=10，‎ 则满足条件的a、b有三组：0，10；3，7；4，6. ‎ 当a、b取10、0时，r有7种情况，‎ 当a、b取3、7；4、6时，r不可取0，有6种情况，‎ 考虑a、b的顺序，有种情况，所以满足题意的圆共有个.…12分 ‎19．（1）（2）；高与底面边长的比值为 ‎【详解】（1）设包装盒的底面边长为，高为，则由题意可得，，，所以，‎ ‎∴当时，取得最大值…………………………………………………………………5分 ‎（2）根据题意，由（1）有 ‎∴由得，（舍）或.‎ ‎∴当时；当时，‎ ‎∴当时取得极大值，也是最大值.…………………………………………………12分 ‎20．(1)见解析；(2) ‎ ‎【详解】（1）可以为0，1，2，3，………………………………………………………2分 ‎，，‎ ‎，，……7分 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎…………………………………………………………………………………………………9分 ‎（2） （一次游戏获奖）.……………………………12分 ‎21．（1）（i）列联表见解析；（ii）能在犯错误概率不超过的前提下认为该学科成绩与性别有关；（2）分布列见解析；‎ ‎【详解】(1)（i）根据图示，将列联表补充完整如下：‎ 优分 非优分 总计 男生 ‎9‎ ‎21‎ ‎30‎ 女生 ‎11‎ ‎9‎ ‎20‎ 总计 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ ‎…………………………………………………………………………………………………2分 ‎（ii）的观测值：‎ ‎，‎ 所以能在犯错误概率不超过10%的前提下认为该学科成绩与性别有关； ………………5分 ‎ ‎(2)由于有较大的把握认为该学科成绩与性别有关，因此可将男女生成绩的优分频率视作概率；从高二年级中任意抽取3名学生的该学科成绩中，优分人数服从二项分布，，，…………………………7分 当，；当，；‎ 当，；当，；‎ ‎…………………………………………………………………………………………………9分 故的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ p ‎………………………………………………………………………………………………10分 数学期望.………………………………………………………………12分 ‎22． 当时，的增区间是，当时，的增区间是，减区间是； ‎ ‎【详解】，，，‎ 当时，，在区间上单调递增，‎ 当时，令，解得；令，解得，‎ 综上所述，当时，函数的增区间是，‎ 当时，函数的增区间是，减区间是；………………………5分 依题意，函数没有零点，即无解，‎ 由1知：当时，函数在区间上为增函数，区间上为减函数，‎ 只需，解得．‎ 实数a的取值范围为…………………………………………………………12分