【数学】贵州省铜仁市伟才学校2019-2020学年高二下学期期末考试（理）

【数学】贵州省铜仁市伟才学校2019-2020学年高二下学期期末考试（理）

贵州省铜仁市伟才学校2019-2020学年 高二下学期期末考试（理）‎ 一． 选择题（每题5分，共60分）‎ ‎1. 已知全集，，，则 ‎ A． B. C． D． （0,1）‎ ‎2. 已知是虚数单位，则 ‎ ‎ A．1 B． C．2 D．‎ ‎3. 某路口的红绿灯，红灯时间为30秒，黄灯时间为5秒，绿灯时间为40秒，假设你在 任何时间到达该路口是等可能的，则当你到达该路口时，看见不是黄灯的概率是 A． B C. D．‎ ‎4. 等比数列的各项均为正数，且，，则 ‎ A． B． C. 20 D. 40‎ ‎5. 已知正方形的边长为6，在边上且，为的中点，‎ 则 ‎ A．-6 B．12 C.6 D．-12‎ ‎6. 在如下左图所示的程序框图中，若函数则输出的结果是 ‎ A．16 B．8 C. D．‎ ‎ ‎ ‎7. 《九章算术》是中国古代第一部数学专著，书中有关于“堑堵”的记载，“堑堵”即底面是直角三角形的直三棱柱.已知某“堑堵”被一个平面截去一部分后，剩下部分的三视图如上方右图所示，则剩下部分的体积是 ‎ ‎ A．50 B．75 C.25.5 D．37.5‎ ‎8. 已知函数为奇函数，，是其图像上两点，若的最小值是1，则 ‎ ‎ A．2 B． -2 C. D．‎ ‎9. 斜率为的直线过双曲线（，）的右焦点，且与双曲线的左右两支分別相交，则双曲线的离心率的取值范固是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10. 设数列中：，，则数列的前项的和是 A．290 B． C． D．‎ ‎11. 三棱锥中，，，互相垂直，，是线段的中点，若直线与平面PAB所成角的正切值是，则三棱锥的外接球表面积是 A． B． C. D．‎ ‎12.中国古代十进制的算筹计数法,在数学史上是一个伟大的创造,算筹实际上是一根根同长短的小木棍.如图,是利用算筹表示数1-9 的一种方法。例如:3 可表示为“ ≡”,26 可表示为“ =⊥”，现有6根算筹,据此表示方法,若算筹不能剩余,则可以用1-9这9个数字表示两位数中,能被3整除的概率是 A. B. C. D. ‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.若实数满足，则的最小值是 ．‎ ‎14. 的展开式中的常数项是 ．（用数字作答）‎ ‎15. 若命题，命题函数在R上是增函数，则是的 条件(填写：充分不必要 ,必要不充分 ,充要 ,既不充分也不必要)‎ ‎16. 已知函数，则当函数恰有两个不同的零点时，实数的取值范围是 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 在锐角中，，，分别是内角，，的对边，且.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，且，求的面积.‎ ‎18. 共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚.某市有统计数据显示，2020年该市共享单车 用户年龄等级分布如图1所示，一周内市民使用单车的频率分布扇形图如图2所示.‎ 若将共享单车用户按照年龄分为“年轻人”（20岁-39岁）和“非年轻人”（19岁及 以下或者40岁及以上）两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常 使用单车用户”，使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用单车用户”.已知在 ‎“经常使用单车用户”中有是“年轻人”.‎ ‎（1）现对该市市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方 法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，补全下列列联表，‎ 并根据列联表的独立性检验，判断是否有85%的把握认为经常使用共享单车与年 龄有关？‎ 使用共享单车情况与年龄列联表 年轻人 非年轻人 合计 经常使用单车用户 ‎120‎ 不常使用单车用户 ‎80‎ 合计 ‎160‎ ‎40‎ ‎200‎ ‎（2）将（1）中频率视为概率，若从该市市民中随机任取3人，设其中经常使用共享 单车的“非年轻人”人数为随机变量，求的分布列与期望.‎ ‎（参考数据：‎ 独立性检验界值表 ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ 其中，，）‎ ‎19. 已知矩形和菱形所在平面互相垂直，如图，其中，，，点是线段的中点.‎ ‎（1）在线段上的一点，使得,证明平面；‎ ‎（2）求二面角的正弦值.‎ ‎20.已知点，点是圆：上任意一点，线段的垂直平 分线交于点，点的轨迹记为曲线.‎ ‎（1）求曲线的方程； （2）过的直线交曲线于不同的，两点,交轴于点，已知，，求的值.‎ ‎21. 函数，.‎ ‎（1）若在点处的切线与直线平行，求的值；‎ ‎（2）若，设，试证明存在唯一零点，并求的最大值.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 ‎ 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎ （1）分别写出的极坐标方程和的直角坐标方程；‎ ‎ （2）若射线的极坐标方程，且分别交曲线、于、两点，求.‎ 参考答案 一、选择题 ‎1-5: CDABA 6-10: ADBDC 11-12：BD 二、填空题 ‎13. 0 14.60 15. 充分不必要 ‎ 三、解答题 ‎17.解：（1） 把整理得，,‎ 由余弦定理有,且0＜B＜π ‎∴.(5分）‎ ‎（2）中，，即，故，‎ 由已知可得,‎ ‎∴,‎ 整理得.（8分）‎ ‎∵，则，‎ 由正弦定理可知，，‎ 代入整理可得，解得，进而，‎ 此时的面积.‎ ‎∴综上所述，的面为.（12分）‎ 注：其它解法可斟情给分。‎ ‎18.解：（1）补全的列联表如下：‎ 年轻人 非年轻人 合计 经常使用共享单车 ‎100‎ ‎20‎ ‎120‎ 不常使用共享单车 ‎60‎ ‎20‎ ‎80‎ 合计 ‎160‎ ‎40‎ ‎200‎ ‎（2分）‎ 于是，，，，‎ ‎∴，（5分）‎ 即有85%的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关.（6分）‎ ‎（2）由（1）的列联表可知，经常使用共享单车的“非年轻人”占样本总数的频率为，即在抽取的用户中出现经常使用单车的“非年轻人”的概率为0.1，‎ ‎∵,（8分）‎ ‎∴，‎ ‎,，‎ ‎∴的分布列为:‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎0.729‎ ‎0.243‎ ‎0. 027‎ ‎0.001‎ ‎∴的数学期望.（12分）‎ ‎19. 证明：（1）取的中点，连接与相交，根据可知：‎ 交点即为点. 连接，‎ ‎∵是的中点，是的中点， ∴， ‎ 又平面，平面，‎ ‎∴直线平面. (6分）‎ ‎（2）由（1）知，‎ 又面面，面面，面，‎ 所以面. 故，.‎ 以为空间原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，‎ ‎∵，，‎ ‎∴为正三角形，，‎ ‎∴，，，，‎ ‎∴，，，，‎ 设平面的一个法向量，则由，可得 令，则.‎ 设平面的一个法向量，则由，可得 令，则. (10分)‎ 则， ‎ 设二面角的平面角为，则，‎ ‎∴二面角的正弦值为. （12分）‎ ‎20.解：（1）由题意知，，‎ 故由椭圆定义知，点的轨迹是以点，为焦点，长轴为6，焦距为4的椭圆，从而长半轴长为，短半轴长为，‎ ‎∴曲线的方程为：.（5分）‎ ‎（2）由题意知，若直线恰好过原点，则，，，‎ ‎∴，，则，，，则，‎ ‎∴.（7分）‎ 若直线不过原点，设直线的方程为：，，‎ 联立方程组得：整理得，‎ ‎∴，，△＞0 (8分)‎ 设，，.则，，‎ ‎，，‎ 由，得，从而；‎ 由，得，从而；‎ 故.‎ ‎∴.‎ 综上所述，.（12分）‎ 21. ‎（1） ‎ ‎∴ （4分）‎ ‎（2）证明：由题意知，(χ＞0)‎ 于是 （5分）‎ 令，，‎ ‎∴在上单调递减.‎ 又，，所以存在，使得，‎ 综上存在唯一零点.（8分）‎ 当，，于是，在单调递增；‎ 当，，于是，在单调递减；‎ 故，‎ 又，，，‎ 故.（12分）‎ ‎22.解：（1）将参数方程化为普通方程为，即，‎ ‎∴的极坐标方程为.‎ 将极坐标方程化为直角坐标方程为.（5分）‎ ‎（2）将代入：整理得，‎ 解得，即.∵曲线是圆心在原点，半径为1的圆，‎ ‎∴射线与相交，即，即.‎ 故.（10分）‎