【数学】2019届一轮复习人教A版　复数与平面向量学案

【数学】2019届一轮复习人教A版　复数与平面向量学案

第2练　复数与平面向量 ‎[明晰考情]　1.命题角度：复数的四则运算和几何意义；以平面图形为背景，考查平面向量的线性运算、平面向量的数量积.2.题目难度：复数题目为低档难度，平面向量题目为中低档难度.‎ 考点一　复数的概念与四则运算 要点重组　(1)复数：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部，i为虚数单位.若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数.‎ ‎(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).‎ ‎(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R).‎ ‎(4)复数的模：向量的模r叫做复数 ＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作| |或|a＋bi|，即| |＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R).‎ ‎(5)复数的四则运算类似于多项式的四则运算，复数除法的关键是分子分母同乘分母的共轭复数.‎ ‎1.(2018·全国Ⅱ)等于(　　)‎ A.－－i B.－＋i C.－－i D.－＋i 答案　D 解析　＝＝＝ ‎＝－＋i.‎ 故选D.‎ ‎2.已知a，b∈R，i是虚数单位.若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2等于(　　)‎ A.5－4i B.5＋4i C.3－4i D.3＋4i 答案　D 解析　由已知得a＝2，b＝1，即a＋bi＝2＋i，‎ ‎∴(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i.故选D.‎ ‎3.已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的(　　)‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　A 解析　当a＝b＝1时，(a＋bi)2＝(1＋i)2＝2i，‎ 反过来(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝2i，‎ 则a2－b2＝0,2ab＝2，‎ 解得a＝1，b＝1或a＝－1，b＝－1.‎ 故“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的充分不必要条件，‎ 故选A.‎ ‎4.复数 ＝(1＋2i)(3－i)，其中i为虚数单位，则 的实部是 .‎ 答案　5‎ 解析　 ＝(1＋2i)(3－i)＝5＋5i.故 的实部为5.‎ 考点二 　复数的几何意义 要点重组　(1)复数 ＝a＋bi复平面内的点 (a，b)(a，b∈R).‎ ‎(2)复数 ＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.‎ ‎5.设a∈R，若(1＋3i)(1＋ai)∈R(i是虚数单位)，则a等于(　　)‎ A.3 B.－3 C. D.－ 答案　B 解析　(1＋3i)(1＋ai)＝1＋ai＋3i－3a，‎ ‎∵(1＋3i)(1＋ai)∈R，‎ ‎∴虚部为0，则a＋3＝0，∴a＝－3.‎ ‎6.(2018·株洲质检)设复数 满足(1＋i) ＝i，则| |等于(　　)‎ A. B. C. D.2‎ 答案　A 解析　由(1＋i) ＝i，‎ 得 ＝＝＝＋i，‎ ‎∴| |＝＝.‎ ‎7.如图，在复平面内，复数 1， 2对应的向量分别是，，则| 1＋ 2|＝ .‎ 答案　2‎ 解析　由题意知， 1＝－2－i， 2＝i，‎ ‎∴ 1＋ 2＝－2，‎ ‎∴| 1＋ 2|＝2.‎ ‎8.已知复数 ＝，则复数 在复平面内对应的点位于第 象限.‎ 答案　二 解析　因为i4n＋k＝ik(n∈ )，且i＋i2＋i3＋i4＝0，‎ 所以i＋i2＋i3＋…＋i2 019＝i＋i2＋i3＝i－1－i＝－1，‎ 所以 ＝＝＝－(1－i)＝－＋i，对应的点为，在第二象限.‎ 考点三 　平面向量的线性运算 方法技巧　(1)向量加法的平行四边形法则：共起点；三角形法则：首尾相连；向量减法的三角形法则：共起点连终点，指向被减.‎ ‎(2)已知O为平面上任意一点，则A，B，C三点共线的充要条件是存在s，t，使得＝s＋t，且s＋t＝1，s，t∈R.‎ ‎(3)证明三点共线问题，可转化为向量共线解决.‎ ‎9.(2018·全国Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则等于(　　)‎ A.－ B.－ C.＋ D.＋ 答案　A 解析　作出示意图如图所示.‎ ＝＋＝＋ ‎＝×(＋)＋(－)＝－.‎ 故选A.‎ ‎10.如图，在△ABC中，N是AC边上一点，且＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为(　　)‎ A. B. C.1 D.3‎ 答案　B 解析　∵＝，∴＝，‎ ‎∴＝m＋＝m＋.‎ 又B，N，P三点共线，∴m＋＝1，‎ ‎∴m＝.‎ ‎11.如图，在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于(　　)‎ A.2 B. C. D. 答案　D 解析　方法一　如图以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，‎ 设正方形边长为1，＝，＝，＝(1,1).‎ ‎∵＝λ＋μ＝λ＋μ＝，‎ ‎∴解得故λ＋μ＝.‎ 方法二　以，作为基底，‎ ‎∵M，N分别为BC，CD的中点，‎ ‎∴＝＋＝＋，‎ ＝＋＝－，‎ ‎∴＝λ＋μ＝＋，‎ 又＝＋，‎ 因此解得 所以λ＋μ＝.‎ ‎12.若|a|＝1，|b|＝，且|a－2b|＝，则向量a与向量b夹角的大小是 .‎ 答案　 解析　由|a－2b|＝，得|a|2－4a·b＋4|b|2＝7，‎ ‎∴1－4a·b＋4×3＝7，∴a·b＝.‎ ‎∴cos〈a，b〉＝＝＝，又∵0≤〈a，b〉≤π，‎ ‎∴〈a，b〉＝.‎ 考点四　平面向量的数量积 方法技巧　(1)向量数量积的求法：定义法，几何法(利用数量积的几何意义)，坐标法.‎ ‎(2)向量运算的两种基本方法：基向量法，坐标法.‎ ‎13.已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)，若λ为实数，(b＋λa)⊥c，则λ的值为(　　)‎ A.－ B.－ C. D. 答案　A 解析　b＋λa＝(1,0)＋λ(1,2)＝(1＋λ，2λ)，又c＝(3,4)，且(b＋λa)⊥c，所以(b＋λa)·c＝0，即3(1＋λ)＋2λ×4＝3＋3λ＋8λ＝0，解得λ＝－.‎ ‎14.(2017·全国Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是(　　)‎ A.－2 B.－ C.－ D.－1‎ 答案　B 解析　方法一　(解析法)‎ 建立坐标系如图①所示，则A，B，C三点的坐标分别为A(0，)，B(－1，0)，C(1,0).‎ 图①‎ 设P点的坐标为(x，y)，‎ 则P＝(－x，－y)，‎ ＝(－1－x，－y)，‎ ＝(1－x，－y)，‎ ‎∴·(＋)＝(－x，－y)·(－2x，－2y)‎ ‎＝2(x2＋y2－y)＝2 ‎≥2×＝－.‎ 当且仅当x＝0，y＝时，·(＋)取得最小值，最小值为－.‎ 故选B.‎ 方法二　(几何法)‎ 如图②所示，＋＝2(D为BC的中点)，则·(＋)＝2·.‎ 图②‎ 要使·最小，则与方向相反，即点P在线段AD上，则(2·)min＝－2| |，‎ 问题转化为求| |的最大值.‎ 又当点P在线段AD上时，||＋||＝||＝2×＝，‎ ‎∴| |≤2＝2＝，‎ ‎∴[·(＋)]min＝(2·)min＝－2×＝－.‎ 故选B.‎ ‎15.(2016·全国Ⅲ)已知向量＝，＝，则∠ABC等于(　　)‎ A.30° B.45° C.60° D.120°‎ 答案　A 解析　||＝1，||＝1，‎ cos∠ABC＝＝.‎ 又∵0°≤∠ABC≤180°，‎ ‎∴∠ABC＝30°.‎ ‎16.在平面内，·＝·＝·＝6，动点P，M满足||＝2，＝，则||2的最大值是 .‎ 答案　16‎ 解析　由已知易得△ABC是等边三角形且边长为2.‎ 设O是△ABC的中心，则||＝||＝||＝2.‎ 以O为原点，直线OA为x轴建立平面直角坐标系，‎ 如图所示，‎ 则A(2,0)，B(－1，－)，C(－1，).‎ 设P(x，y)，由已知||＝2，‎ 得(x－2)2＋y2＝4.∵＝，‎ ‎∴M，∴＝，‎ ‎∴||2＝，‎ 它表示圆(x－2)2＋y2＝4上的点P(x，y)与点D(－1，－3)的距离的平方的，‎ ‎∵||max＝＋2＝＋2＝8，‎ ‎∴||＝＝16.‎ ‎1.(2017·全国Ⅰ)设有下面四个命题：‎ p1：若复数 满足∈R，则 ∈R；‎ p2：若复数 满足 2∈R，则 ∈R；‎ p3：若复数 1， 2满足 1 2∈R，则 1＝2；‎ p4：若复数 ∈R，则∈R.‎ 其中的真命题为(　　)‎ A.p1，p3 B.p1，p4 C.p2，p3 D.p2，p4‎ 答案　B 解析　设 ＝a＋bi(a，b∈R)， 1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，‎ ‎ 2＝a2＋b2i(a2，b2∈R).‎ 对于p1，若∈R，即＝∈R，则b＝0，即 ＝a＋bi＝a∈R，所以p1为真命题；‎ 对于p2，若 2∈R，即(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2∈R，则ab＝0.当a＝0，b≠0时， ＝a＋bi＝bi ‎∉R，所以p2为假命题；‎ 对于p3，若 1 2∈R，即(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i∈R，则a1b2＋a2b1＝0.而 1＝2，即a1＋b1i＝a2－b2i⇔a1＝a2，b1＝－b2.因为a1b2＋a2b1＝0D⇒/a1＝a2，b1＝－b2，所以p3为假命题；‎ 对于p4，若 ∈R，即a＋bi∈R，则b＝0⇒＝a－bi＝a∈R，所以p4为真命题.故选B.‎ ‎2.在△ABC中，有如下命题，其中正确的是 .(填序号)‎ ‎①－＝；‎ ‎②＋＋＝0；‎ ‎③若(＋)·(－)＝0，则△ABC为等腰三角形；‎ ‎④若·>0，则△ABC为锐角三角形.‎ 答案　②③‎ 解析　在△ABC中，－＝，①错误；‎ 若·>0，则B是钝角，△ABC是钝角三角形，④错误.‎ ‎3.已知向量a＝(1,2)，b＝(1,1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是 .‎ 答案　∪ 解析　a＋λb＝(1＋λ，2＋λ)，‎ 由a·(a＋λb)>0，可得λ>－.‎ 又a与a＋λb不共线，‎ ‎∴λ≠0.‎ 故λ>－且λ≠0.‎ 解题秘籍　(1)复数的概念是考查的重点，虚数及纯虚数的意义要把握准确.‎ ‎(2)复数的运算中除法运算是高考的热点，运算时要分母实数化(分子分母同乘以分母的共轭复数)，两个复数相等的条件在复数运算中经常用到.‎ ‎(3)注意向量夹角的定义和范围.在△ABC中，和的夹角为π－B；向量a，b的夹角为锐角要和a·b>0区别开来(不要忽视向量共线情况，两向量夹角为钝角类似处理).‎ ‎1.设i是虚数单位，则复数i3－等于(　　)‎ A.－i B.－3i C.i D.3i 答案　C 解析　i3－＝－i－＝－i＋2i＝i.故选C.‎ ‎2.已知＝b＋i(a，b∈R)，则a＋b等于(　　)‎ A.－1 B.1‎ C.－2 D.2‎ 答案　B 解析　方法一　由已知可得a＋2i＝(b＋i)i，即a＋2i＝bi－1.‎ 由复数相等可得所以a＋b＝1.‎ 方法二　＝2－ai＝b＋i，由复数相等可得解得所以a＋b＝1.‎ ‎3.设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于(　　)‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案　B 解析　＝＝＝－1＋i，由复数的几何意义知，－1＋i在复平面内的对应点为(－1,1)，该点位于第二象限，故选B.‎ ‎4.(2018·安庆模拟)在△ABC中，点D是边BC上任意一点， M是线段AD的中点，若存在实数λ和μ，使得＝λ＋μ，则λ＋μ等于(　　)‎ A. B.－ C.2 D.－2‎ 答案　B 解析　因为点D在边BC上，所以存在t∈R，‎ 使得＝t＝t.‎ 因为M是线段AD的中点，所以＝(＋)＝＝－(t＋1)＋t.‎ 又＝λ＋μ，‎ 所以λ＝－(t＋1)，μ＝t，所以λ＋μ＝－.‎ ‎5.“复数 ＝在复平面内对应的点在第三象限”是“a≥0”的(　　)‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　D 解析　由题意得 ＝a－3i，‎ 若 在复平面内对应的点在第三象限，则a<0，‎ 故选D.‎ ‎6.(2018·通州期末)△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若＋＋＝0，且||＝||，则·等于(　　)‎ A. B. C.3 D.2 答案　C 解析　∵＋＋＝0，∴＝－，故点O是BC的中点，且△ABC为直角三角形，‎ 又△ABC的外接圆的半径为1，||＝||，∴BC＝2，AB＝1，CA＝，∠BCA＝30°，‎ ‎∴·＝| |·cos 30°＝×2×＝3.‎ ‎7.已知a>0，＝2，则a等于(　　)‎ A.2 B. C. D.1‎ 答案　B 解析　＝＝＝2，‎ 即a2＝3.‎ 又∵a>0，‎ ‎∴a＝.‎ ‎8.(2018·梧州模拟)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，BC＝，若向量m满足|m－2－|＝3，则|m|的最大值与最小值的和为(　　)‎ A.7 B.8‎ C.9 D.10‎ 答案　D 解析　由AB＝2，AC＝3，BC＝，得BC2＝AB2＋AC2，即∠A为直角.以A点为坐标原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(0,0)，B(2,0)，C(0,3)，设m的终点坐标为(x，y)，∵|m－2－|＝3，∴(x－4)2＋(y－3)2＝9，故|m|的最大值与最小值分别为圆(x－4)2＋(y－3)2＝9上的点到原点距离的最大值和最小值，故最大值为5＋3＝8，最小值为5－3＝2，即最大值与最小值之和为10，‎ 故选D.‎ ‎9.已知 1＝3＋4i， 2＝t＋i，且 1·2是实数，则实数t＝ .‎ 答案　 解析　∵ 2＝t＋i，∴2＝t－i，‎ ‎∴ 1·2＝(3＋4i)(t－i)＝3t－3i＋4ti－4i2‎ ‎＝(3t＋4)＋(4t－3)i.‎ 又∵ 1·2是实数，∴4t－3＝0，即t＝.‎ ‎10.若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5＝＋3，则△ABM与△ABC的面积之比为 .‎ 答案　 解析　设AB的中点为D，‎ 由5＝＋3，‎ 得3－3＝2－2，‎ 即3＝2.‎ 故C，M，D三点共线，‎ 如图所示，＝，‎ 也就是△ABM与△ABC对于边AB的两高之比为3∶5，‎ 则△ABM与△ABC的面积之比为.‎ ‎11.已知 ＝1＋i，则－ 2的共轭复数是 .‎ 答案　1＋3i 解析　∵ ＝1＋i，‎ ‎∴－ 2＝－(1＋i)2＝－2i ‎＝1－i－2i＝1－3i，‎ ‎∴－ 2的共轭复数是1＋3i.‎ ‎12.(2018·瓦房店模拟)直线ax＋y－2＝0与圆C：x2＋y2＝4相交于A，B两点，若·＝－2，则a＝ .‎ 答案　± 解析　圆心到直线的距离是d＝ .又圆的半径是2, ‎ 由·＝－2，得| |·cos∠ACB＝－2，解得cos∠ACB＝－，‎ ‎∵0≤∠ACB≤π，‎ ‎∴∠ACB＝，‎ ‎∴cos ＝＝＝，∴a＝±.‎