湖南省郴州市湘南中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

湖南省郴州市湘南中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

‎2019年湘南中学高二数学期中考试试卷 一、选择题(共10小题,每小题4.0分,共40分)‎ ‎1.在等比数列{an}中，a2＝8，a5＝64，，则公比q为 （　　 ）‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 8‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎ ，选A.‎ ‎2.已知数列 的前 项和，则 等于(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得 ，即可得数列的通项公式.‎ ‎【详解】当时，，‎ 当时，由，得，‎ 验证当时，满足上式.‎ 故数列的通项公式.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查数列的求和公式和通项公式的关系，属于基础题.‎ ‎3.在数列 中，，则等于(　　)‎ A. 2 013 B. 2 012‎ C. 2 011 D. 2 010‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列的定义推知数列的首项是，公差是的等差数列，即可得到通项公式并解答．‎ ‎【详解】由，得，又，‎ 数列是首项，公差的等差数列，‎ 等差数列的通项公式，‎ 故.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的定义，等差数列的通项公式的应用，属于基础题.‎ ‎4.如果a＜b＜0，那么( )．‎ A a－b＞0 B. ac＜bc C. ＞ D. a2＜b2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用不等式的性质逐一判断即可.‎ 详解】根据题意，由于a＜b＜0，则a－b<0 故A错误，‎ 对于c=0时则不等式ac＜bc不成立，故B错误 对于＞符合倒数性质可知，故C成立，‎ 对于a2＜b2，a=-3,b=-2故D错误，‎ 故答案为C.‎ 考点：不等式的性质 点评：主要是考查了不等式的性质的运用，属于基础题．‎ ‎5.不等式的解集为（ ）‎ A. 或 B. C. D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：，，即，或．故选D．‎ 考点：一元二次不等式的解法．‎ ‎6.若关于x的不等式x2－4x－m≥0对任意x∈(0,1]恒成立，则m的最大值为(　　)‎ A. 1 B. －1 C. －3 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得m≤x2﹣4x对一切x∈（0，1]恒成立，再根据f（x）＝x2﹣4x在（0，1]上为减函数，求得f（x）的最小值，可得 m的最大值．‎ ‎【详解】解：由已知可关于x的不等式x2﹣4x﹣m≥0对任意x∈（0，1]恒成立，可得m≤x2﹣4x对一切x∈（0，1]恒成立，‎ 又f（x）＝x2﹣4x在（0，1]上为减函数，‎ ‎∴f（x）min＝f（1）＝﹣3，‎ ‎∴m≤﹣3，即 m的最大值为﹣3，‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，函数的恒成立问题，属于中档题．‎ ‎7.直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由题可知：直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，因此，故，又因为在椭圆中有，故，因此．‎ 考点：椭圆离心率的求法 ‎8.平面上到点距离之和为10的点的轨迹是(　　)‎ A. 椭圆 B. 圆 C. 线段 D. 轨迹不存 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由点，先求出，由此能求出平面上到点距离之和为的点的轨迹．‎ ‎【详解】由点，得，‎ 平面上到点距离之和为的点的轨迹是线段.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查点的轨迹的求法，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用，属于基础题.‎ ‎9.设抛物线上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线的焦点的距离是 ( )‎ A. 6 B. 4 C. 8 D. 12‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由抛物线知，点P到y轴的距离是4，那么P到抛物线准线距离为6，又由抛物线定义“到准线距离与到焦点距离相等”，所以点P到该抛物线的焦点的距离是6，故选A．‎ 考点：本题主要考查抛物线的定义及其几何性质．‎ 点评：简单题，涉及抛物线上的到焦点距离问题，一般要考虑应用抛物线定义“到准线距离与到焦点距离相等”．‎ ‎10.下列命题中为真命题的是（ ）‎ A. 若 B. 命题：若，则或的逆否命题为：若且，则 C. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 D. 若命题，则 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：对四个命题，分别进行判断，即可得出结论．‎ 详解：对于A，，利用基本不等式，可得，故不正确； 对于B，命题：若，则或的逆否命题为：若且，则 ‎，正确； 对于C，“ ”是“直线与直线互相垂直”的充要条件，故不正确； 对于D，命题命题，则 ，故不正确． 故选B．‎ 点睛：本题考查命题的真假判断与应用，考查学生分析解决问题的能力，属基础题．‎ 二、填空题(共10小题,每小题5.0分,共50分) ‎ ‎11.命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”的否定是 ‎ ‎【答案】对任何x∈R，都有x2+2x+5≠0．‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】因为命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”是特称命题，根据特称命题的否定是全称命题，‎ 可得命题的否定为：对任何x∈R，都有x2+2x+5≠0．‎ 故答案为对任何x∈R，都有x2+2x+5≠0．‎ ‎12.若点A(1,1),B(2,m)都在方程ax2+xy-2=0表示的曲线上,则m=____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把两点坐标代入曲线方程后再解方程组可得．‎ ‎【详解】由题意，解得．‎ ‎【点睛】本题考查曲线的方程与方程的曲线的概念．点在曲线即点的坐标是曲线方程的解，若点的坐标不是曲线方程的解，则该点不在曲线上．‎ ‎13.已知集合，，则“”是“”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)‎ ‎【答案】充分不必要 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简集合，化简条件，判断前者能否推出后者；后者能否推出前者，利用条件的定义判断出条件．‎ ‎【详解】，，‎ 若，则，即等价于“”，‎ 由 “”能推出“”，但“”不能推出“”，‎ 故“”是的充分不必要条件.‎ 故答案：充分不必要.‎ ‎【点睛】本题考查绝对值不等式解法、利用充分必要条件的定义判断条件问题，属于基础题．‎ ‎14.已知直线与抛物线相切，则 ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出切点坐标，对求导，利用切点在抛物线上，切点在切线上，导数的几何意义列方程求的值.‎ ‎【详解】解：直线与抛物线相切，切点为 由已知，‎ 则有，解得.‎ 故答案为：‎ ‎15.直线与曲线相交于两点，则直线l的倾斜角的取值范围是________________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据题意直线： 与曲线相交于两点，进一步判断直线的斜率和渐近线的斜率的关系求出结果．‎ ‎【详解】曲线的渐近线方程为：，‎ 由直线与曲线相交于两点，‎ 直线的斜率或，即 又直线的斜率存在，即倾斜角，‎ 故直线的倾斜角的取值范围是.‎ 故答案：.‎ ‎【点睛】本题考查直线与双曲线的关系，直线的斜率和渐近线的斜率的关系，属于基础题.‎ 三、解答题(共5小题,共40分) ‎ ‎16.等比数列中，已知.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若分别为等差数列的第3项和第5项，求数列的通项公式.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据求得公比利用等比数列的通项公式即可求得；（2）根据的通项公式求得即得等差数列的第项和第项，解方程组求出等差数列的首项和公差，即可得到数列的通项公式.‎ 试题解析：（1）设的公比为, 由已知得，解得，所以 ‎（2）由（1）得，，则，‎ 设的公差为，则有，解得 从而.‎ 考点：等差、等比数列的通项公式.‎ ‎17.已知等差数列{an}满足a2＝0，a6＋a8＝－10.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)求数列的前n项和．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】(1)设等差数列{an}的公差为d，‎ 由已知条件可得，‎ 解得，‎ 故数列{an}的通项公式为an＝2－n.‎ ‎(2)设数列的前n项和为Sn，‎ ‎∵，‎ ‎∴Sn＝－‎ 记Tn＝，①‎ 则Tn＝，②‎ ‎①－②得：Tn＝1＋，‎ ‎∴Tn＝－，即Tn＝4－.‎ ‎∴Sn＝－4＋‎ ‎＝4－4＋＝.‎ ‎18.(1)若，求函数的最小值，并求此时 的值；‎ ‎(2)已知，且＋＝1， 求 的最小值．‎ ‎【答案】(1)4,(2)16‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由于，利用基本不等式可得，满足等号成立的条件，于是问题得解；‎ ‎（2）由于，利用基本不等式可得，满足等号成立的条件，问题得解.‎ ‎【详解】（1），‎ ‎，当且仅当，即时取等号.‎ 的最小值为，此时.‎ ‎（2）‎ ‎，当且仅当，即时取等号.‎ ‎【点睛】本题考查基本不等式，关键是分析等号成立的条件，属于基础题．‎ ‎19.‎ 已知抛物线C的方程C：y2=2p x（p＞0）过点A（1，-2）.‎ ‎（I）求抛物线C的方程，并求其准线方程；‎ ‎（II）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（I）抛物线C的方程为，其准线方程为（II）符合题意的直线l 存在，其方程为2x+y-1 =0.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）求抛物线标准方程，一般利用待定系数法，只需一个独立条件确定p的值：（－2）2＝2p·1，所以p＝2．再由抛物线方程确定其准线方程：，（Ⅱ）由题意设：，先由直线OA与的距离等于根据两条平行线距离公式得：解得，再根据直线与抛物线C有公共点确定 试题解析：解 （1）将（1，－2）代入y2＝2px，得（－2）2＝2p·1，‎ 所以p＝2．‎ 故所求的抛物线C的方程为 其准线方程为．‎ ‎（2）假设存在符合题意的直线，‎ 其方程为．‎ 由得．‎ 因为直线与抛物线C有公共点，‎ 所以Δ＝4＋8t≥0，解得．‎ 另一方面，由直线OA到的距离 可得，解得．‎ 因为－1∉[－，＋∞），1∈[－，＋∞），‎ 所以符合题意的直线存在，其方程为．‎ 考点：抛物线方程，直线与抛物线位置关系 ‎【名师点睛】求抛物线的标准方程的方法及流程 ‎（1）方法：求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可．‎ ‎（2）流程：因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．‎ 提醒：求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2=mx或x2=my（m≠0）．‎ ‎20.已知椭圆和点，直线 经过点 且与椭圆交于两点．当 点恰好为线段 的中点时，求 的方程．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用点差法，求得直线斜率，利用点斜式即可得到直线方程．‎ ‎【详解】由题意得，知点椭圆内，‎ 设，则······① ······②‎ 因恰为线段的中点，即，‎ 由①②作差得，‎ ‎，‎ 直线的方程为，即.‎ ‎【点睛】本题考查弦长和直线方程的求法，注意运用联立方程和点差法的运用，考查运算能力，属于中档题.‎ ‎ ‎