【数学】2020届一轮复习北师大版解三角形作业

【数学】2020届一轮复习北师大版解三角形作业

‎　大题考法——解三角形 A组 ‎1．(2018·三湘联考)如图， a，b，c分别为△ABC中角A，B，C的对边，∠ABC＝，cos ∠ADC＝，c＝8，CD＝2．‎ ‎(1)求a的值；‎ ‎(2)求△ADC的外接圆的半径R．‎ 解：(1)∵cos ∠ADC＝，∴sin ∠ADC＝sin ∠ADB＝，‎ ‎∴sin ∠BAD＝sin(∠ADC－∠ABC)＝×－×＝，‎ 在△ABD中，由正弦定理得BD＝＝3，‎ ‎∴a＝3＋2＝5．‎ ‎(2)在△ABC中，b＝＝7．‎ 在△ADC中，R＝·＝．‎ ‎2．(2018·皖南联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝b(sin C＋cos C)．‎ ‎(1)求角B的大小；‎ ‎(2)若a＝1，b＝，求△ABC的面积．‎ 解：(1)在△ABC中，‎ a＝b(cos C＋sin C)⇒sin A＝sin B(cos C＋sin C)，‎ 则sin(B＋C)＝sin B(cos C＋sin C)，‎ 所以cos Bsin C＝sin Bsin C，‎ 又sin C＞0，所以cos B＝sin B，‎ 即tan B＝1，B∈(0，π)，所以B＝．‎ ‎(2)在△ABC中，a＝1，b＝，B＝，‎ 由余弦定理，得2＝1＋c2－2c·，‎ 所以c2－c－1＝0，所以c＝，‎ 所以△ABC的面积为S＝acsin B＝．‎ ‎3．(2018·商丘二模)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin(A＋C)＝2sin Acos(A＋B)，且C＝．‎ ‎(1)求证：a，b,2a成等比数列；‎ ‎(2)若△ABC的面积是2，求c边的长．‎ ‎(1)证明：∵A＋B＋C＝π，‎ sin(A＋C)＝2sin Acos(A＋B)，‎ ‎∴sin B＝－2sin Acos C．‎ 在△ABC中，由正弦定理得， b＝－2acos C，‎ ‎∵C＝，∴b＝a，‎ ‎∴b2＝2a2＝a·2a，∴a，b,2a成等比数列．‎ ‎(2)解：S＝absin C＝ab＝2，则ab＝4，‎ 由(1)知，b＝a，联立两式解得a＝2，b＝2，‎ 由余弦定理得， c2＝a2＋b2－2abcos C＝4＋8－2×2×2×＝20，∴c＝2．‎ ‎4．(2018·赣州二模)已知函数f(x)＝sin＋2sin2x．‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间；‎ ‎(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若f＝，b＋c＝7，△ABC的面积为2，求a边的长．‎ 解：(1)∵f(x)＝sin 2xcos ＋cos 2xsin ＋1－cos 2x＝‎ sin＋1，‎ ‎∴f(x)的最小正周期T＝＝π，‎ 由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，‎ 得kπ＋≤x≤kπ＋，(k∈Z)，‎ ‎∴函数f(x)的单调递减区间是 (k∈Z)．‎ ‎(2)由(1)得f(x)＝sin＋1，‎ ‎∴f＝sin＋1＝，‎ ‎∴sin＝，‎ ‎∵－＜A－＜，∴A＝．‎ 又S△ABC＝bcsin ＝bc＝2， ∴bc＝8，‎ 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos ＝(b＋c)2－3bc，‎ 又b＋c＝7，∴a2＝72－3×8＝25，∴a＝5．‎ B组 ‎1．已知函数f(x)＝2sinsin，x∈R．‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期及其图象的对称中心；‎ ‎(2)在△ABC中，若A＝，锐角C满足f＝，求的值．‎ 解：(1)因为f(x)＝2sinsin ‎＝2sinsin ‎＝2sincos＝sin，‎ 所以函数f(x)的最小正周期为＝π．‎ 对称中心为，k∈Z．‎ ‎(2)由(1)得，f＝sin＝sin C，‎ 由已知，sin C＝，又角C为锐角，所以C＝，‎ 由正弦定理，得＝＝＝＝．‎ ‎2．(2018·郴州二模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin B＝2cos2‎ eq f(B,2)，sin(A－C)＝2cos Asin C．‎ ‎(1)求角B的大小；‎ ‎(2)若c＝2，求△ABC的面积．‎ 解：(1)方法一　由sin B＝2cos2，‎ 得2sin cos ＝2cos2，‎ 因为在△ABC中，cos ≠0，‎ 所以sin ＝cos ，即tan ＝．‎ 又因为在△ABC中，B∈(0，π)，‎ 所以＝，B＝．‎ 方法二　由sin B＝2cos2，得sin B＝1＋cos B，‎ 即sin B－cos B＝1，‎ ‎2sin＝1，sin＝．‎ 又因为△ABC中，B∈(0，π)，所以B－＝，B＝．‎ ‎(2)由sin(A－C)＝2cos Asin C，得 sin Acos C＝3cos Asin C．‎ 根据正弦定理和余弦定理得，‎ a·＝3··c，即b2＝2a2－2c2．‎ 又由(1)知B＝，‎ 所以b2＝a2＋c2－2accos ＝a2＋c2－ac＝2a2－2c2．‎ 又c＝2，解得a＝－1，所以，面积为．‎ ‎3．(2018·大庆二模)已知f(x)＝4sin xcos x＋2cos 2x－1，x∈．‎ ‎(1)求f(x)的值域；‎ ‎(2)若CD为△ABC的中线，已知AC＝f(x)max，BC＝f(x)min，cos ∠BCA＝，求CD的长．‎ 解：(1)f(x)＝4sin xcos x＋2cos 2x－1，‎ 化简得f(x)＝2sin 2x＋2cos 2x－1‎ ‎＝4sin－1．‎ 因为x∈，所以2x＋∈，‎ 当2x＋＝时，sin取得最大值1，‎ 当2x＋＝或2x＋＝时，sin取得最小值，‎ 所以sin∈，4sin－1∈[1,3]，‎ 所以f(x)的值域为[1,3]．‎ ‎(2)因为AC＝f(x)max，BC＝f(x)min，‎ 由(1)知，AC＝3，BC＝1，‎ 又因为cos ∠BCA＝，‎ 根据余弦定理得 AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos ∠BCA＝8，‎ 所以AB＝2．‎ 因为AC2＝AB2＋BC2，所以△ABC为直角三角形， B为直角．‎ 故在Rt△ABC中，BC＝1，BD＝，‎ 所以CD＝＝．‎ ‎4．(2018·荆州三模)已知向量a＝(sin 2x，cos 2x)，b＝(cos θ，sin θ)，若f(x)＝a·b，且函数f(x)的图象关于直线x＝对称．‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式，并求f(x)的单调递减区间；‎ ‎(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)＝，且b＝5，c＝2，求△ABC外接圆的面积．‎ 解：(1)f(x)＝a·b＝sin 2xcos θ＋cos 2xsin θ ‎＝sin(2x＋θ)，‎ ‎∵函数f(x)的图象关于直线x＝对称，‎ ‎∴2×＋θ＝kπ＋，k∈Z，‎ ‎∴θ＝kπ＋， k∈Z，‎ 又|θ|＜，∴θ＝．‎ ‎∴f(x)＝sin．‎ 由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得 kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z．‎ ‎∴f(x)的单调递减区间为，k∈Z．‎ ‎(2)∵f(A)＝sin＝，∴sin＝1．‎ ‎∵A∈(0，π)，∴2A＋∈，‎ ‎∴2A＋＝，∴A＝．‎ 在△ABC中，由余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bccos A＝25＋12－2×5×2cos ＝7，‎ ‎∴a＝．‎ 由正弦定理得＝2R＝＝2，∴R＝．‎ ‎∴△ABC外接圆的面积S＝πR2＝7π．‎