【数学】2021届一轮复习人教A版（文）第十章　第2讲　古典概型学案

【数学】2021届一轮复习人教A版（文）第十章　第2讲　古典概型学案

第2讲　古典概型 一、知识梳理 ‎1．基本事件的特点 ‎(1)任何两个基本事件是互斥的；‎ ‎(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．‎ ‎2．古典概型 ‎(1)特点 ‎①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性；‎ ‎②每个基本事件出现的可能性相等，即等可能性．‎ ‎(2)概率公式 P(A)＝.‎ 二、习题改编 ‎1．(必修3P125例1改编)从字母a，b，c，d中任意取出两个不同字母的试验中，有 个基本事件．‎ 答案：6‎ ‎2．(必修3P145A组T5改编)盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率为 ．‎ 解析：设3个红色球为A1，A2，A3，2个黄色球为B1，B2，从5个球中，随机取出2个球的基本事件有A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B2，共10种．其中2个球的颜色不同的有A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，共6种，所以所求概率为＝.‎ 答案： 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．(　　)‎ ‎(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个事件是等可能事件．(　　)‎ ‎(3)某袋中装有大小均匀的三个红球、两个黑球、一个白球，那么每种颜色的球被摸到的可能性相同．(　　)‎ ‎(4)“从长为1的线段AB上任取一点C，求满足AC≤的概率是多少”是古典概型．(　　)‎ 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×‎ 二、易错纠偏 (1)列举基本事件不准确导致基本事件的个数错误；‎ ‎(2)对事件A的限制条件理解不正确致误．‎ ‎1．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为(　　)‎ A．0.6 B．0.5 ‎ C．0.4 D．0.3‎ 解析：选D.将2名男同学分别记为x，y，3名女同学分别记为a，b，c.设“选中的2人都是女同学”为事件A，则从5名同学中任选2人参加社区服务的所有可能情况有(x，y)，(x，a)，(x，b)，(x，c)，(y，a)，(y，b)，(y，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，共10种，其中事件A包含的可能情况有(a，b)，(a，c)，(b，c)，共3种，故P(A)＝＝0.3.故选D.‎ ‎2．从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数，其和为偶数的概率是 ．‎ 解析：总的基本事件有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共10个．两个不同的数之和为偶数包含的基本事件有(1，3)，(1，5)，(2，4)，(3，5)，共4个，所以所求概率P＝＝.‎ 答案： ‎　　　　　简单的古典概型(师生共研)‎ ‎ (2019·高考天津卷)2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．‎ ‎(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？‎ ‎(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F.享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．‎ ‎　　 员工 项目 A B C D E F 子女教育 ‎○‎ ‎○‎ ‎×‎ ‎○‎ ‎×‎ ‎○‎ 继续教育 ‎×‎ ‎×‎ ‎○‎ ‎×‎ ‎○‎ ‎○‎ 大病医疗 ‎×‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎○‎ ‎×‎ ‎×‎ 住房贷款利息 ‎○‎ ‎○‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎○‎ ‎○‎ 住房租金 ‎×‎ ‎×‎ ‎○‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎×‎ 赡养老人 ‎○‎ ‎○‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎○‎ ‎①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；‎ ‎②设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率．‎ ‎【解】　(1)由已知，老、中、青员工人数之比为6∶9∶10，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人．‎ ‎(2)①从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}，共15种．‎ ‎②由表格知，符合题意的所有可能结果为{A，B}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，E}，{C，F}，{D，F}，{E，F}，共11种．‎ 所以，事件M发生的概率P(M)＝.‎ ‎(1)古典概型中基本事件的探求方法 ‎(2)利用公式法求解古典概型问题的步骤 ‎　‎ ‎1．(2020·南昌市第一次模拟测试)2021年广东新高考将实行3＋1＋2模式，即语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式．今年高一的小明与小芳都准备选历史与政治，假若他们都对后面三科没有偏好，则他们选课相同的概率为(　　)‎ A. B. ‎ C. D． 解析：选B.记地理、化学、生物分别为D，H，S，则小明与小芳的选课方案可能是(D，D)，(D，H)，(D，S)，(H，D)，(H，H)，(H，S)，(S，D)，(S，H)，(S，S)，共9种，小明与小芳选课方案相同的可能是(D，D)，(H，H)，(S，S)，共有3种情况，所以他们选课相同的概率为＝，故选B.‎ ‎2．(2019·高考全国卷Ⅲ)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是(　　)‎ A. B. ‎ C. D． 解析：选D.将两位男同学分别记为A1，A2，两位女同学分别记为B1，B2，‎ 则四位同学排成一列，情况有 A1A2B1B2，A1A2B2B1，A2A1B1B2，A2A1B2B1，‎ A1B1A2B2，A1B2A2B1，A2B1A1B2，A2B2A1B1，‎ B1A1A2B2，B1A2A1B2，B2A1A2B1，B2A2A1B1，‎ A1B1B2A2，A1B2B1A2，A2B1B2A1，A2B2B1A1，‎ B1B2A1A2，B1B2A2A1，B2B1A1A2，B2B1A2A1，‎ B1A1B2A2，B1A2B2A1，B2A1B1A2，B2A2B1A1，‎ 共有24种，其中2名女同学相邻的有12种，所以所求概率P＝，故选D.‎ ‎3．(2020·重庆市学业质量调研)2018年8月在重庆成功举办了首届“智博会”．某科技开发公司甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为108 ，72，72，现采用分层抽样的方法从这三个部门中抽取7人到智博会参观．‎ ‎(1)求从甲、乙、丙三个部门分别抽取的人数；‎ ‎(2)从这7人中随机抽取2人向全体员工作汇报，求这2人来自不同部门的概率．‎ 解：(1)抽取比例为7：(108 ＋72 ＋72) ＝1∶36.‎ 所以应从甲、乙、丙三个部门分别抽取3人，2人，2人．‎ ‎(2)7人分别记为A1，A2，A3，B1，B2，C1，C2，‎ 从中随机抽取2人的所有可能情况有：A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2A3，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，A3B1，A3B2，A3C1，A3C2，B1B2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2，C1C2，共21种．‎ 其中，2人来自不同部门的可能情况有：A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，A3B1，A3B2，A3C1，A3C2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2，共16种．‎ 故所求事件的概率为. ‎ ‎　　　　　　古典概型中的交汇问题(多维探究)‎ 角度一　古典概型与平面向量的交汇 ‎ 从集合{2，3，4，5}中随机抽取一个数a，从集合{1，3，5}中随机抽取一个数b，则向量m＝(a，b)与向量n＝(1，－1)垂直的概率为(　　)‎ A. B. ‎ C. D． ‎【解析】　由题意可知m＝(a，b)有：(2，1)，(2，3)，(2，5)，(3，1)，(3，3)，(3，5)，(4，1)，(4，3)，(4，5)，(5，1)，(5，3)，(5，5)，共12种情况．‎ 因为m⊥n，即m·n＝0，‎ 所以a×1＋b×(－1)＝0，即a＝b，‎ 满足条件的有(3，3)，(5，5)共2种，‎ 故所求的概率为.‎ ‎【答案】　A 角度二　古典概型与函数(方程)的交汇 ‎ (2020·益阳、湘潭调研试卷)已知a∈{－2，0，1，2，3}，b∈{3，5}，则函数f(x)＝(a2－2)ex＋b为减函数的概率是(　　)‎ A. B. ‎ C. D． ‎【解析】　函数f(x)＝(a2－2)ex＋b为减函数，则a2－2＜0，又a∈{－2，0，1，2，3}，故只有a＝0，a＝1满足题意，又b∈{3，5}，所以函数f(x)＝(a2－2)ex＋b为减函数的概率是＝.故选C.‎ ‎【答案】　C 角度三　古典概型与解析几何的交汇 ‎ 将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，将第一次向上的点数记为m，第二次向上的点数记为n，曲线C：＋＝1.则曲线C的焦点在x轴上且离心率e≤的概率等于(　　)‎ A. B. ‎ C. D． ‎【解析】　因为离心率e≤，所以 ≤，解得≥.由列举法得，当m＝6时，n＝5，4，3；当m＝5时，n＝4，3；当m＝4时，n＝3，2；当m＝3时，n＝2；当m＝2时，n＝1，共9种情况，故其概率为＝.故选D.‎ ‎【答案】　D 解决古典概型中交汇问题的方法 解决与古典概型交汇的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算．‎ ‎1．(2020·武汉市部分学校调研)将一枚质地均匀的骰子投掷两次，得到的点数依次记为a和b，则方程ax2＋bx＋1＝0有实数解的概率是(　　)‎ A. B. ‎ C. D． 解析：选C.投掷骰子两次，所得的点数a和b满足的关系为所以a和b的组合有36种，若方程ax2＋bx＋1＝0有实数解，则Δ＝b2－4a≥0，所以b2≥4a.‎ 当b＝1时，没有a符合条件；当b＝2时，a可取1；当b＝3时，a可取1，2；当b＝4时，a可取1，2，3，4；当b＝5时，a可取1，2，3，4，5，6；当b＝6时，a可取1，2，3，4，5，6.‎ 满足条件的组合有19种，则方程ax2＋bx＋1＝0有实数解的概率为P＝，故选C.‎ ‎2．设a∈{2，4}，b∈{1，3}，函数f(x)＝ax2＋bx＋1.‎ ‎(1)求f(x)在区间(－∞，－1]上是减函数的概率；‎ ‎(2)从f(x)中随机抽取两个，求它们在(1，f(1))处的切线互相平行的概率．‎ 解：(1)由题意－≥－1，即b≤a.‎ 而(a，b)共有(2，1)，(2，3)，(4，1)，(4，3)，4种，满足b≤a的有3种，故概率为.‎ ‎(2)由(1)可知，函数f(x)共有4种情况，从中随机抽取两个，有6种抽法．‎ 因为函数f(x)在(1，f(1))处的切线的斜率为f′(1)＝a＋b，‎ 所以这两个函数中的a与b之和应该相等，而只有(2，3)，(4，1)这1组满足，故概率为.‎ 核心素养系列20　数学建模——求古典概型的概率 ‎ (2018·高考天津卷)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．‎ ‎(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？‎ ‎(2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．‎ ‎①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；‎ ‎②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．‎ ‎【解】　(1)由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．‎ ‎(2)①从抽取的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．‎ ‎②由①，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．‎ 所以，事件M发生的概率P(M)＝.‎ 本题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．培养学生的数学建模能力．‎ ‎　(2020·成都市第一次诊断性检测)某部门为了解该企业在生产过程中的用水量情况，对日用水量做了记录，得到了大量该企业的日用水量的统计数据，从这些统计数据中随机抽取12天的日用水量的数据作为样本，得到的统计结果如下表：‎ 日用水量(单位：吨)‎ ‎[70，80)‎ ‎[80，90)‎ ‎[90，100]‎ 频数 ‎3‎ ‎6‎ m 频率 n ‎0.5‎ p ‎(1)求m、n、p的值；‎ ‎(2)已知样本中日用水量在[80，90)内的这6个数据分别为83，85，86，87，88，89.从这6个数据中随机抽取2个，求抽取的2个数据中至少有一个大于86的概率．‎ 解：(1)因为3＋6＋m＝12，所以m＝3，所以n＝＝，p＝＝＝.所以m＝3，n＝p＝.‎ ‎(2)从这6个数据中随机抽取2个数据的情况有{83，85}，{83，86}，{83，87}，{83，88}，{83，89}，{85，86}，{85，87}，{85，88}，{85，89}，{86，87}，{86，88}，{86，89}，{87，88}，{87，89}，{88，89}，共15种．‎ 其中2个数据都小于或等于86的情况有{83，85}，{83，86}，{85，86}，共3种．‎ 故抽取的2个数据中至少有一个大于86的概率P＝1－＝.‎ ‎[基础题组练]‎ ‎1．(2019·高考全国卷Ⅱ)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为(　　)‎ A. B. ‎ ‎ C. D. 解析：选B.设3只测量过某项指标的兔子为A，B，C，另2只兔子为a，b，从这5只兔子中随机取出3只，则基本事件共有10种，分别为(A，B，C)，(A，B，a)，(A，B，b)，(A，C，a)，(A，C，b)，(A，a，b)，(B，C，a)，(B，C，b)，(B，a，b)，(C，a，b)，其中“恰有2只测量过该指标”的取法有6种，分别为(A，B，a)，(A，B，b)，(A，C，a)，(A，C，b)，(B，C，a)，(B，C，b)，因此所求的概率为＝，选B.‎ ‎2．(2020·济南市模拟考试)2019年1月1日，济南轨道交通1号线试运行，济南轨道交通集团面向广大市民开展“参观体验，征求意见”活动．市民可以通过济南地铁APP抢票，小陈抢到了三张体验票，准备从四位朋友小王、小张、小刘、小李中随机选择两位与自己一起去参加体验活动，则小王被选中的概率为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. 解析：选B.从四人中随机选两人的所有情况有(小王、小张)，(小王、小刘)，(小王、小李)，(小张、小刘)，(小张、小李)，(小刘、小李)，共6种，其中小王被选中的情况有(小王、小张)，(小王、小刘)，(小王、小李)，共3种，故小王被选中的概率P＝，故选B.‎ ‎3．在集合A＝{2，3}中随机取一个元素m，在集合B＝{1，2，3}中随机取一个元素n，得到点P(m，n)，则点P在圆x2＋y2＝9内部的概率为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. 解析：选B.点P(m，n)共有(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，6种情况，只有(2，1)，(2，2)这2个点在圆x2＋y2＝9的内部，所求概率为＝.‎ ‎4．(2020·唐山市摸底考试)在边长为1的正五边形的五个顶点中，任取两个顶点，则两顶点间距离大于1的概率为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. 解析：选C.如图，正五边形ABCDE的边长为1，任取两个顶点，有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE.共10种可能，其中两顶点间距离为1的情况有AB，BC，CD，DE，EA，余下的情况两顶点间距离均大于1，各有5种可能，所以任取两顶点，两顶点间距离大于1的概率P＝＝，故选C.‎ ‎5．(2019·高考江苏卷)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 ．‎ 解析：记3名男同学为A，B，C，2名女同学为a，b，则从中任选2名同学的情况有(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(a，b)，‎ 共10种，其中至少有1名女同学的情况有(A，a)，(A，b)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(a，b)，共7种，故所求概率为.‎ 答案： ‎6．设a∈{1，2，3}，b∈，则函数y＝log是减函数的概率为 ．‎ 解析：因为f(x)＝在区间(0，＋∞)上是减函数，又函数y＝log是减函数，所以＞1，因为a∈{1，2，3}，b∈，则＝，，，，2，3，4，6，共8个值，其中满足＞1的有，2，3，4，6，共5个值，所以函数y＝log是减函数的概率为.‎ 答案： ‎7．(2020·长春市质量检测(一))长春市的“名师云课”活动自开展以来获得广大家长和学子的高度赞誉，在第二季“名师云课”中，数学学科共计推出36节云课，为了更好地将课程内容呈现给学生，现对某一时段云课的点击量进行统计如下：‎ 点击量 ‎[0，1 000]‎ ‎(1 000，3 000]‎ ‎(3 000，＋∞)‎ 节数 ‎6‎ ‎18‎ ‎12‎ ‎(1)现从36节云课中采用分层抽样的方式选出6节，求选出的点击量超过3 000的节数；‎ ‎(2)为了更好地搭建云课平台，现将云课进行剪辑，若点击量在区间[0，1 000]内，则需要花费40分钟进行剪辑，若点击量在区间(1 000，3 000]内，则需要花费20分钟进行剪辑，若点击量超过3 000，则不需要剪辑，现从(1)中选出的6节课中任意选出2节课进行剪辑，求剪辑时间为40分钟的概率．‎ 解：(1)根据分层抽样，从36节云课中选出6节课，其中点击量超过3 000的节数为×12＝2.‎ ‎(2)在(1)中选出的6节课中，点击量在区间[0，1 000]内的有1节，点击量在区间(1 000，3 000]内的有3节，‎ 设点击量在区间[0，1 000]内的1节课为A1，点击量在区间(1 000，3 000]内的3节课分别为B1，B2，B3，点击量超过3 000的2节课分别为C1，C2.‎ 从中选出2节课的方式有A1B1，A1B2，A1B3，A1C1，A1C2，B1B2，B1B3，B1C1，B1C2，B2B3，B2C1，B2C2，B3C1，B3C2，C1C2，共15种，其中剪辑时间为40分钟的情况有A1C1，‎ A1C2，B1B2，B1B3，B2B3，共5种，则剪辑时间为40分钟的概率P＝＝.‎ ‎8．在一个不透明的箱子里装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1，2，3，4，5.甲先从箱子中摸出一个小球，记下球上所标数字后，再将该小球放回箱子中摇匀后，乙从该箱子中摸出一个小球．‎ ‎(1)若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜(若数字相同则为平局)，求甲获胜的概率；‎ ‎(2)若规定：两人摸到的球上所标数字之和小于6，则甲获胜，否则乙获胜，这样规定公平吗？‎ 解：用(x，y)(x表示甲摸到的数字，y表示乙摸到的数字)表示甲、乙各摸一球构成的基本事件，则基本事件有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，共25个．‎ ‎(1)设甲获胜的事件为A，则事件A包含的基本事件有：(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，共10个．故所求概率P(A)＝＝.‎ ‎(2)设甲获胜的事件为B，乙获胜的事件为C.事件B所包含的基本事件有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，共10个．‎ 则P(B)＝＝，所以P(C)＝1－P(B)＝.‎ 因为P(B)≠P(C)，所以这样规定不公平．‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．一个三位数，个位、十位、百位上的数字依次为x，y，z，当且仅当y>x ，y>z时，称这样的数为“凸数”(如243)，现从集合{1，2，3，4)中取出三个不相同的数组成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为(　　)‎ A. B. ‎ C. D． 解析：选B.从集合{1，2，3，4}中取出三个不相同的数组成一个三位数共有24个结果：123，124, 132, 134, 142, 143，213，214，231，234，241，243，312，314，321，324，341，342，412，413，421，423，431，432，其中是“凸数”的是132，142，143，231，241，‎ ‎243，341，342，共8个结果，所以这个三位数是“凸数”的概率为＝，故选B.‎ ‎2．(2020·湖南省湘东六校联考)如图，在平面直角坐标系xOy中，O为正十边形A1A2A3，…，A10的中心，A1在x轴正半轴上，任取不同的两点Ai，Aj(其中1≤i，j≤10，且i∈N，j∈N)，点P满足2＋＋＝0，则点P落在第二象限的概率是(　　)‎ A. B. ‎ C. D． 解析：选B.在正十边形，A1，A2，A3，…，A10的十个顶点中任取两个，不同的取法有45(种)，满足2＋＋＝0，且点P落在第二象限的不同取法有(A1，A7)，(A1，A8)，(A1，A9)，(A1，A10)，(A2，A8)，(A2，A9)，(A8，A10)，(A9，A10)，共8种，所以点P落在第二象限的概率为，故选B.‎ ‎3．(2020·昆明市质量检测)某地区为贯彻习近平总书记关于“绿水青山就是金山银山”的理念，鼓励农户利用荒坡种植果树．某农户考察三种不同的果树苗A，B，C，经引种试验后发现，引种树苗A的自然成活率为0.8，引种树苗B，C的自然成活率均为0.9.‎ ‎(1)若引种树苗A，B，C各10棵．‎ ‎①估计自然成活的总棵数；‎ ‎②利用①中估计的结论，从没有自然成活的树苗中随机抽取2棵，求抽到的2棵都是树苗A的概率．‎ ‎(2)该农户决定引种B种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有75%的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活，若每棵树苗最终成活后可获利300元，不成活的每棵亏损50元，该农户为了获利不低于20万元，问至少引种B种树苗多少棵？‎ 解：(1)①依题意，10×0.8＋10×0.9＋10×0.9＝26，所以自然成活的总棵数约为26.‎ ‎②没有自然成活的树苗共4棵，其中2棵A种树苗，1棵B种树苗，1棵C种树苗，‎ 分别设为a1，a2，b，c，从中随机抽取2棵，可能的情况有(a1，a2)，(a1，b)，(a1，c)，(a2，b)，(a2，c)，(b，c)，抽到的2棵都是树苗A的概率为.‎ ‎(2)设该农户引种B种树苗n棵，最终成活的棵数为0.9n＋(1－0.9)n××0.8＝0.96n，未能成活的棵数为n－0.96n＝0.04n，由题意知0.96n×300－0.04n×50≥200 000，则n>699.‎ 所以该农户至少引种700棵B种树苗，可获利不低于20万元．‎ ‎4．(2020·安徽五校联盟第二次质检)一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量(单位：辆)如表：‎ A类轿车 B类轿车 C类轿车 舒适型 ‎100‎ ‎150‎ z 标准型 ‎300‎ ‎450‎ ‎600‎ 按类用分层抽样的方法从这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．‎ ‎(1)求z的值；‎ ‎(2)用分层抽样的方法从C类轿车中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；‎ ‎(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2，把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数xi(1≤i≤8，i∈N)，设样本平均数为，求|xi－|≤0.5的概率．‎ 解：(1)设该厂这个月共生产轿车n辆，由题意得＝，所以n＝2 000，则z＝2 000－(100＋300)－(150＋450)－600 ＝400.‎ ‎(2)设所抽样本中有a辆舒适型轿车，由题意得＝，得a＝2，‎ 所以抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．‎ 用A1，A2分别表示2辆舒适型轿车，用B1，B2，B3分别表示3辆标准型轿车，‎ 用E表示事件“在该样本中任取2辆，至少有1辆舒适型轿车”．从该样本中任取2辆包含的基本事件有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1 ，B2)，(B1，B3)，(B2 ，B3)，共10个，‎ 其中事件E包含的基本事件有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，共7个．‎ 故P(E)＝，即所求的概率为.‎ ‎(3)样本平均数＝×(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9.‎ 设D表示事件“从样本中任取一个数xi(1≤i≤8，i∈N)，|xi－|≤0.5”，则从样本中任取一个数有8个基本事件，事件D包括的基本事件有9.4，8.6，9.2，8.7，9.3，9.0，共6个．‎ 所以P(D)＝＝，即所求的概率为.‎