【数学】2018届一轮复习人教A版第十二章12-1-合情推理与演绎推理学案
1．合情推理
(1)归纳推理
①定义：从个别事实中推演出一般性的结论，称为归纳推理(简称归纳法)．
②特点：归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．
(2)类比推理
①定义：根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理(简称类比法)．
②特点：类比推理是由特殊到特殊的推理．
(3)合情推理
合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程．归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理．
2．演绎推理
(1)演绎推理
一种由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．
(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
①大前提——一般性的原理；
②小前提——特殊对象；
③结论——揭示了一般原理与特殊对象的内在联系．
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．( × )
(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．( √ )
(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( × )
(4)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．( √ )
(5)一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是an＝n(n∈N*)．( × )
(6)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．( × )
1．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝________.
答案 123
解析 从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，依据此规律，a10＋b10＝123.
2．下面几种推理过程是演绎推理的是________．
①在数列{an}中，a1＝1，an＝(an－1＋)(n≥2)，由此归纳数列{an}的通项公式；
②由平面三角形的性质，推测空间四面体性质；
③两直线平行，同旁内角互补，如果∠A和∠B是两条平行直线与第三条直线形成的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°；
④某校高二共10个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50人．
答案 ③
解析 ①、④是归纳推理，②是类比推理，③符合三段论模式，③是演绎推理．
3．(2017·南京质检)类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论：
①垂直于同一个平面的两条直线互相平行；
②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
③垂直于同一个平面的两个平面互相平行；
④垂直于同一条直线的两个平面互相平行．
则正确的结论是________．
答案 ①④
解析 显然①④正确；对于②，在空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行，也可以异面或相交；对于③，在空间中垂直于同一个平面的两个平面可以平行，也可以相交．
4．(教材改编)在等差数列{an}中，若a10＝0，则有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n (n<19，n∈N*)成立，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若b9＝1，则存在的等式为________________．
答案 b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N*)
解析 利用类比推理，借助等比数列的性质，
b＝b1＋n·b17－n，
可知存在的等式为
b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N*)．
5．(2016·泰州模拟)若数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，记f(n)＝(1－a1)(1－a2)…(1－an)，试通过计算f(1)，f(2)，f(3)的值，推测出f(n)＝________.
答案
解析 f(1)＝1－a1＝1－＝，
f(2)＝(1－a1)(1－a2)＝(1－)＝＝，
f(3)＝(1－a1)(1－a2)(1－a3)＝(1－)＝，
推测f(n)＝.
题型一 归纳推理
命题点1 与数字有关的等式的推理
例1 (2016·山东)观察下列等式：
－2＋－2＝×1×2；
－2＋－2＋－2＋－2＝×2×3；
－2＋－2＋－2＋…＋－2＝×3×4；
－2＋－2＋－2＋…＋－2＝×4×5；
…
照此规律，－2＋－2＋－2＋…＋－2＝__________.
答案 ×n×(n＋1)
解析 观察等式右边的规律：第1个数都是，第2个数对应行数n，第3个数为n＋1.
命题点2 与不等式有关的推理
例2 (2016·苏北四市联考)已知x∈(0，＋∞)，观察下列各式：x＋≥2，x＋＝＋＋≥3，x＋＝＋＋＋≥4，…，类比得x＋≥n＋1(n∈N*)，则a＝________.
答案 nn
解析 第一个式子是n＝1的情况，此时a＝11＝1；第二个式子是n＝2的情况，此时a＝22＝4；第三个式子是n＝3的情况，此时a＝33＝27，归纳可知a＝nn.
命题点3 与数列有关的推理
例3 (2016·南京模拟)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为＝n2＋n，记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：
三角形数 N(n,3)＝n2＋n，
正方形数 N(n,4)＝n2，
五边形数 N(n,5)＝n2－n，
六边形数 N(n,6)＝2n2－n.
… …
可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝____________.
答案 1 000
解析 由N(n,4)＝n2，N(n,6)＝2n2－n，可以推测：当k为偶数时，N(n，k)＝n2＋n，
∴N(10,24)＝×100＋×10
＝1 100－100＝1 000.
命题点4 与图形变化有关的推理
例4 某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为________．
答案 55
解析 由2＝1＋1,3＝1＋2,5＝2＋3知，从第三项起，每一项都等于前两项的和，则第6年为8，第7年为13，第8年为21，第9年为34，第10年为55.
思维升华 归纳推理问题的常见类型及解题策略
(1)与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解．
(2)与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解．
(3)与数列有关的推理．通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可．
(4)与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．
(2016·苏州模拟)已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，经计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，则可以归纳出一般结论：当n≥2时，有____________．
答案 f(2n)> (n∈N*)
解析 由题意知f(22)>，f(23)>，f(24)>，
f(25)>，
所以当n≥2时，有f(2n)>.
故填f(2n)> (n∈N*)．
题型二 类比推理
例5 (1)对于命题：如果O是线段AB上一点，则||＋||＝0；将它类比到平面的情形是：若O是△ABC内一点，有S△OBC·＋S△OCA·＋S△OBA·＝0；将它类比到空间的情形应该是：若O是四面体ABCD内一点，则有________．
(2)(2017·苏州月考)求的值时，采用了如下方法：令＝x，则有x＝，解得x＝(负值已舍去)．可用类比的方法，求得1＋的值为________．
答案 (1)VO－BCD·＋VO－ACD·＋VO－ABD·＋VO－ABC·＝0
(2)
解析 (1)线段长度类比到空间为体积，再结合类比到平面的结论，可得空间中的结论为VO－BCD·＋VO－ACD·＋VO－ABD·＋VO－ABC·＝0.
(2)令1＋＝x，则有1＋＝x，
解得x＝(负值已舍去)．
思维升华 (1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想．其中找到合适的类比对象是解题的关键．
(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等．
在平面上，设ha，hb，hc是三角形ABC三条边上的高，P为三角形内任一点，P到相应三边的距离分别为Pa，Pb，Pc，我们可以得到结论：＋＋＝1.把它类比到空间，则三棱锥中的类似结论为______________________．
答案 ＋＋＋＝1
解析 设ha，hb，hc，hd分别是三棱锥A－BCD四个面上的高，P为三棱锥A－BCD内任一点，P到相应四个面的距离分别为Pa，Pb，Pc，Pd，于是可以得出结论：＋＋＋＝1.
题型三 演绎推理
例6 已知函数y＝f(x)满足：对任意a，b∈R，a≠b，都有af(a)＋bf(b)>af(b)＋bf(a)．
(1)试证明：f(x)为R上的单调增函数；
(2)若x，y为正实数且＋＝4，比较f(x＋y)与f(6)的大小．
(1)证明 设x1，x2∈R，且x1
x1f(x2)＋x2f(x1)，
∴x1[f(x1)－f(x2)]＋x2[f(x2)－f(x1)]>0，
[f(x2)－f(x1)](x2－x1)>0，
∵x10，∴f(x2)>f(x1)．
∴f(x)为R上的单调增函数．
(2)解 ∵x，y为正实数，且＋＝4，
∴x＋y＝(x＋y)(＋)
＝(13＋＋)≥(13＋2 )＝，
当且仅当即时取等号，
∵f(x)在R上是增函数，且x＋y≥>6，
∴f(x＋y)>f(6)．
思维升华 演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论，演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，若大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．
(1)某国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅．”结论显然是错误的，是因为________．
①大前提错误 ②小前提错误
③推理形式错误
(2)(2016·南京模拟)下列四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是________．
①大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数；
②大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数；
③大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数；
④大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数．
答案 (1)③ (2)②
解析 (1)因为大前提“鹅吃白菜”，不是全称命题，大前提本身正确，小前提“参议员先生也吃白菜”
本身也正确，但不是大前提下的特殊情况，鹅与人不能类比，所以不符合三段论推理形式，所以推理形式错误．
(2)①中小前提不是大前提的特殊情况，不符合三段论的推理形式，故①错误；③、④都不是由一般性命题到特殊性命题的推理，所以①、③、④都不正确，只有②正确．
10．高考中的合情推理问题
考点分析 合情推理在近年来的高考中，考查频率逐渐增大，题型多为填空题，难度为中档．
解决此类问题的注意事项与常用方法：
(1)解决归纳推理问题，常因条件不足，了解不全面而致误．应由条件多列举一些特殊情况再进行归纳．
(2)解决类比问题，应先弄清所给问题的实质及已知结论成立的缘由，再去类比另一类问题．
典例 (1)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：
将三角形数1,3,6,10，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}，可以推测：
①b2 014是数列{an}的第________项；
②b2k－1＝________.(用k表示)
(2)设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y＝f(x)满足：(ⅰ)T＝{f(x)|x∈S}；(ⅱ)对任意x1，x2∈S，当x10，那么这个演绎推理出错在________．
①大前提 ②小前提
③推理过程 ④没有出错
答案 ①
解析 推理形式正确，但大前提错误，故得到的结论错误．
2．下列推理是归纳推理的是________．
①A，B为定点，动点P满足PA＋PB＝2a>AB，则P点的轨迹为椭圆；
②由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式；
③由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜想出椭圆＋＝1的面积S＝πab；
④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇．
答案 ②
解析 从S1，S2，S3猜想出数列的前n项和Sn，是从特殊到一般的推理，所以②是归纳推理，其余都不是．
3．(2017·苏州质检)如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，依此类推，如果一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为________．
答案 8
解析 由题意知，第1层的点数为1，第2层的点数为6，第3层的点数为2×6，第4层的点数为3×6，第5层的点数为4×6，…，第n(n≥2，n∈N*)层的点数为6(n－1)．设一个点阵有n(n≥2，n∈N*)层，则共有的点数为1＋6＋6×2＋…＋6(n－1)＝1＋＝3n2－3n＋1，由题意得3n2－3n＋1＝169，即(n＋7)·(n－8)＝0，所以n＝8(舍去负值)，故共有8层．
4．(2016·扬州模拟)平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为f(n)＝__________.
答案
解析 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3
条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……；n条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋＝个区域．
5．(2016·徐州模拟)推理“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③三角形不是矩形”中的小前提是________．
答案 ②
解析 由演绎推理三段论可知，①是大前提；②是小前提；③是结论．
6．给出下列三个类比结论：
①(ab)n＝anbn与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn；
②loga(xy)＝logax＋logay与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β；
③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
其中正确结论的个数是________．
答案 1
解析 (a＋b)n≠an＋bn(n≠1，a·b≠0)，故①错误．
sin(α＋β)＝sin αsin β不恒成立．
如α＝30°，β＝60°，sin 90°＝1，sin 30°·sin 60°＝，
故②错误．
由向量的运算公式知③正确．
7．把正整数按一定的规则排成如图所示的三角形数表，设aij(i，j∈N*)是位于这个三角形数表中从上往下第i行，从左往右数第j个数，如a42＝8，若aij＝2 009，则i与j的和为________．
答案 107
解析 由题意可知奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，2 009＝2×1 005－1，所以2 009为第1 005个奇数，又前31个奇数行内数的个数为961，前32个奇数行内数的个数为1 024，故2 009在第32个奇数行内，则i＝63，因为第63行第1个数为2×962－1＝1 923,2 009＝
1 923＋2(j－1)，所以j＝44，所以i＋j＝107.
8．已知等差数列{an}中，有＝，则在等比数列{bn}中，类似的结论为______________________．
答案 ＝
解析 由等比数列的性质可知b1b30＝b2b29＝…＝b11b20，
∴＝.
9．若P0(x0，y0)在椭圆＋＝1(a>b>0)外，过P0作椭圆的两条切线的切点分别为P1，P2，则切点弦P1P2所在的直线方程是＋＝1，那么对于双曲线则有如下命题：若P0(x0，y0)在双曲线－＝1(a>0，b>0)外，过P0作双曲线的两条切线，切点分别为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程是________________．
答案 －＝1
解析 设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，
则P1，P2的切线方程分别是
－＝1，－＝1.
因为P0(x0，y0)在这两条切线上，
故有－＝1，－＝1，
这说明P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线－＝1上，
故切点弦P1P2所在的直线方程是－＝1.
10．如图(1)，若从点O所作的两条射线OM、ON上分别有点M1、M2与点N1、N2，则三角形面积之比＝·.如图(2)，若从点O所作的不在同一平面内的三条射线OP、OQ和OR上分别有点P1、P2，点Q1、Q2和点R1、R2，则类似的结论为_____________．
答案 ＝··
解析 考查类比推理问题，由图看出三棱锥P1－OR1Q1及三棱锥P2－OR2Q2的底面面积之比为·，又过顶点分别向底面作垂线，得到高的比为，故体积之比为＝··.
11．设f(x)＝，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．
解 f(0)＋f(1)＝＋
＝＋＝＋＝，
同理可得f(－1)＋f(2)＝，f(－2)＋f(3)＝.
由此猜想f(x)＋f(1－x)＝.
证明：f(x)＋f(1－x)＝＋
＝＋＝＋＝＝.
12．(2016·连云港模拟)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；
②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；
③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；
④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；
⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论．
解 (1)选择②式，计算如下：
sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－sin 30°＝1－＝.
(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)
＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)
＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α＝sin2α＋cos2α＝.
13.对于三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导数，f″(x)是f′(x)的导数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若f(x)＝x3－x2＋3x－，请你根据这一发现，
(1)求函数f(x)的对称中心；
(2)计算f()＋f()＋f()＋f()＋…＋f()．
解 (1)f′(x)＝x2－x＋3，f″(x)＝2x－1，
由f″(x)＝0，即2x－1＝0，解得x＝.
f()＝×()3－×()2＋3×－＝1.
由题中给出的结论，可知函数f(x)＝x3－x2＋3x－的对称中心为(，1)．
(2)由(1)知函数f(x)＝x3－x2＋3x－的对称中心为(，1)，所以f(＋x)＋f(－x)＝2，
即f(x)＋f(1－x)＝2.
故f()＋f()＝2，
f()＋f()＝2，
f()＋f()＝2，
…，
f()＋f()＝2.
所以f()＋f()＋f()＋f()＋…＋f()＝×2×2 016＝2 016.
