高考数学一轮复习不等关系与不等式
2019年高考数学一轮复习：不等关系与不等式
不等关系与不等式
1．两个实数大小的比较
(1)a＞b⇔a－b________；
(2)a＝b⇔a－b________；
(3)a＜b⇔a－b________.
2．不等式的性质
(1)对称性：a>b⇔__________；
(2)传递性：a>b，b>c⇒__________；
(3)不等式加等量：a>b⇔a＋c______b＋c；
(4)不等式乘正量：a>b，c>0⇒__________，
不等式乘负量：a>b，c<0⇒__________；
(5)同向不等式相加：a>b，c>d⇒__________；
※(6)异向不等式相减：a>b，c
b>0，c>d>0⇒__________；
※(8)异向不等式相除：a>b>0，0b，ab>0⇒＜；
(10)不等式的乘方：a>b>0⇒______________；
(11)不等式的开方：a>b>0⇒______________．
※注：(5)(6)说明，同向不等式可相加，但不可相减，而异向不等式可相减；(7)(8)说明，都是正数的同向不等式可相乘，但不可相除，而都是正数的异向不等式可相除．
自查自纠
1．＞0 ＝0 ＜0
2．(1)bc (3)> (4)ac>bc acb＋d (7)ac>bd
(10)an>bn(n∈N且n≥2)
(11)>(n∈N且n≥2)
(教材题改编)若－1＜a＜b＜1，则( )
A．－2＜a－b＜0 B．－2＜a－b＜－1
C．－1＜a－b＜0 D．－1＜a－b＜1
解：－1＜a＜1，－1＜－b＜1⇒－2＜a－b＜2.又a＜b，则－2＜a－b＜0.故选A.
(2016·四川成都模拟)若a＜b＜0，则下列不等式中一定成立的是( )
A.＜ B.＜
C．a＋＜b＋ D.＜
解：因为a＜b＜0，所以b－a＞0，ab＞0，－＝＞0，因此A错误；由函数f(x)＝是减函数知＞，B错误；由－＝(a－b)＜0知C正确．或用特值法，取a＝－2，b＝－1，排除A，B，D.故选C.
(2016·贵州模拟)若a，b都是实数，则“－>0”是“a2－b2>0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解：由－>0得a>b≥0，由a2－b2>0得a2>b2，即|a|＞|b|，所以“－>0”是“a2－b2>0”的充分不必要条件．故选A.
已知a＝2，b＝＋2，则a，b的大小关系是a_______b.
解：由于a＝2，b＝＋2，平方作差得a2－b2＝28－14－8＝14－8＝8＞0，从而a＞b.故填＞.
(2017·北京)能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a＋b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________．
解：a，b，c是实数，若a＞b＞c＞0，不等式a＋b＞c成立；a，b，c是实数，若a＞0＞b＞c，不等式a＋b＞c成立；a，b，c是实数，若0＞a＞b＞c，a＋b＝c，不等式a＋b＞c不成立，一组整数a，b，c的值为负数，依次为－1，－2，－3.故填－1，－2，－3.
类型一 建立不等关系
(2016·湖南模拟)用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，要求菜园的面积不小于108 m2，靠墙的一边长为x m，其中的不等关系可用不等式(组)表示为________．
解：设矩形靠墙的一边长为x m，
则另一边长为 m，即 m，
根据题意知
故填
【点拨】解决有关不等关系的实际问题，应抓住关键字词，例如“要”“必须”“不少于”“大于”等，从而建立相应的方程或不等式模型．
(2015·湖北改编)设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数，若[t2]＝4，则实数t的取值范围是________．
解：由已知有4≤t2＜5，所以2≤t＜或－＜t≤－2.
故填(－，－2]∪[2，)．
类型二 不等式的性质
下列说法正确的是( )
A．a，b∈R，且a＞b，则a2＞b2
B．若a＞b，c＞d，则 ＞
C．a，b∈R，且ab≠0，则＋≥2
D．a，b∈R，且a＞|b|，则an＞bn(n∈N*)
解：当a＝0，b<0时A选项不正确；
当a>0>b，0>c>d时，<0，>0，所以B选项不正确；
当ab<0时，<0，<0，所以C选项不正确．
D正确．故选D.
【点拨】运用不等式性质解题时，先从各个代数式的正负性考虑问题，直接判断各式大小；当各个代数式的正负性一致时，可考虑用不等式的性质进行证明，得出正确选项．
若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有( )
A.＞ B.＜
C.＞ D.＜
解：由c＜d＜0⇒－＞－＞0，又a＞b＞0，故由不等式性质，得－＞－＞0，所以＜.故选D.
类型三 不等式性质的应用
(1)若1<α<3，－4<β<2，则－β的取值范围是________．
解：由1＜α＜3得＜＜，由－4＜β＜2得－2＜－β＜4，所以－β的取值范围是.故填.
【点拨】①需要注意的是，两同向不等式可以相加但不可以相减，所以不能直接由＜＜和－4＜β＜2两式相减来得到－β的范围．②此类题目用线性规划也可解．
(2)已知－1＜a＋b＜3且2＜a－b＜4，则2a＋3b的取值范围是________．
解：设2a＋3b＝x(a＋b)＋y(a－b)，
所以解得
所以－＜(a＋b)＜，－2＜－(a－b)＜－1.
所以－＜(a＋b)－(a－b)＜，
即－＜2a＋3b＜.故填.
【点拨】由于a＋b，a－b的范围已知，所以要求2a＋3b的取值范围，只需将2a＋3b用已知量a＋b，a－b表示出来，可设2a＋3b＝x(a＋b)＋y(a－b)，
用待定系数法求出x，y，再利用同向不等式的可加性求解．
(1)若角α，β满足－<α<β<，则2α－β的取值范围是________．
解：因为－＜α＜β＜，所以－＜α＜，－＜β＜，－＜－β＜，而α＜β，所以－π＜α－β＜0，所以2α－β＝(α－β)＋α∈.故填.
(2)(2016·云南模拟)若－1≤lg≤2，1≤lg(xy)≤4，则lg的取值范围是________．
解：由1≤lg(xy)≤4，－1≤lg≤2，
得1≤lgx＋lgy≤4，－1≤lgx－lgy≤2，
则lg＝2lgx－lgy＝(lgx＋lgy)＋(lgx－lgy)，
所以－1≤lg≤5.故填[－1，5]．
类型四 比较大小
(2016·武汉模拟)已知a1≤a2，b1≥b2，则a1b1＋a2b2与a1b2＋a2b1的大小关系是________．
解：a1b1＋a2b2－(a1b2＋a2b1)＝(a1－a2)(b1－b2)，因为a1≤a2，b1≥b2，所以a1－a2≤0，b1－b2≥0，于是(a1－a2)(b1－b2)≤0，故a1b1＋a2b2≤a1b2＋a2b1.故填a1b1＋a2b2≤a1b2＋a2b1.
【点拨】作差(商)比较法的步骤是：①作差(商)；②变形：配方、因式分解、通分、分母(分子)有理化等；③判断符号(判断商和“1”的大小关系)；④作出结论．
已知a<0，－1ab>ab2 B．ab2>ab>a
C．ab>a>ab2 D．ab>ab2>a
解：由于每个式子中都有a，故先比较1，b，b2的大小．因为－1ab2>a.故选D.
1．理解不等关系的意义、实数运算的符号法则、不等式的性质，是解不等式和证明不等式的依据和基础．
2．一般数学结论都有前提，不等式性质也是如此．在运用不等式性质之前，一定要准确把握前提条件，一定要注意不可随意放宽其成立的前提条件．
3．不等式性质包括“充分条件(或者是必要条件)”和“充要条件”两种，前者一般是证明不等式的理论基础，后者一般是解不等式的理论基础．
4．利用几个不等式来确定某个代数式的范围时要注意：“同向(异向)不等式的两边可相加(相减)”这种变形不是等价变形，若多次使用，则有可能使取值范围扩大，解决这一问题的方法是：先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再一次性的运用这种变形，即可求得正确的待求整体的范围．
5．比较两个实数的大小，有作差法和作商法两种方法．一般多用作差法，注意当这两个数都是正数时，才可以用作商法．作差法是比较作差后的式子与“0”的大小关系；作商法是比较作商后的式子与“1”的大小关系．
6．对于实际问题中的不等量关系，还要注意实际问题对各个参变数的限制．
1．(2016·宜昌模拟)设a，b，c∈R，且a>b，则( )
A．ac>bc B.＜
C．a2>b2 D．a3>b3
解：A选项，当c<0时，ac0>b时，显然B不正确；C选项，当a＝1，b＝－2时，a2b时，有a3>b3，D正确．故选D.
2．(2015·浙江)设a，b是实数，则“a＋b＞0”是“ab＞0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解：若a＋b＞0，取a＝3，b＝－2，则ab＞0不成立；反之，若a＝－2，b＝－3，则a＋b＞0也不成立，因此“a＋b＞0”是“ab＞0”的既不充分也不必要条件．故选D.
3．(北京丰台区2017届高三上学期期末)已知a>b>0，则下列不等式一定成立的是( )
A．|a|<|b| B.>
C.＞ D．lna>lnb
解：取a＝2，b＝1，则2＝|a|>|b|＝1，＝<＝1，a＝2＝<＝1，lna＝ln2>0＝ln1＝lnb.故选D.
4．(2016·山东烟台期中检测)下列四个命题中，为真命题的是( )
A．若a＞b，则ac2＞bc2
B．若a＞b，c＞d，则a－c＞b－d
C．若a＞|b|，则a2＞b2
D．若a＞b，则＜
解：当c＝0时，A不成立；2＞1，3＞－1，而2－3＜1－(－1)，故B不成立；a＝2，b＝－1时，D不成立；由a＞|b|知a＞0，有a2＞b2.故选C.
5．(2015·云南模拟)若a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式一定成立的是( )
A．a＋c≥b－c B．(a－b)c2≥0
C．ac>bc D.>0
解：A项：当c<0时，不等式a＋cb⇒a－b>0，c2≥0，故(a－b)c2≥0；C项：当c＝0时，ac＝bc；D项：当c＝0时，＝0.故选B.
6．(2016·全国卷Ⅰ)若a>b>1，01，0ad.以其中两个作为条件，余下一个作结论，则可组成几个正确命题？
解：(1)对②变形＞⇔＞0，由ab＞0，bc＞ad得②成立，所以①③⇒②.
(2)若ab＞0，＞0，则bc＞ad，所以①②⇒③.
(3)若bc＞ad，＞0，则ab＞0，所以②③⇒①.
综上所述可组成3个正确命题．
11．设实数a，b，c满足
①b＋c＝6－4a＋3a2，
②c－b＝4－4a＋a2.
试确定a，b，c的大小关系．
解：因为c－b＝(a－2)2≥0，所以c≥b，
又2b＝2＋2a2，所以b＝1＋a2，
所以b－a＝a2－a＋1＝＋＞0，
所以b＞a，从而c≥b＞a.
(2015·云南模拟改编)已知a＋b＋c＝0，且a>b>c，求的取值范围．
解：因为a＋b＋c＝0，所以b＝－(a＋c)．又a>b>c，
所以a>－(a＋c)>c，且3a＞a＋b＋c＝0＞3c，
则a>0，c<0，所以1>－＞，
即1＞－1－＞，所以 解得－2＜＜－.
故的取值范围是.
