云南省玉溪市2020届高三数学（文）第二次质量检测试题（Word版附解析）

云南省玉溪市2020届高三数学（文）第二次质量检测试题（Word版附解析）

2019-2020学年玉溪市普通高中毕业生第二次教学质量检测 文科数学 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在 答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答超卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分 150分，考试用时 120分钟． 一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分．在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知集合 { 2,0,2,4}A   ，  2| log 2B x x  ，则 A B  （ ） A. {2, 4} B. { 2, 2} C. {0,2,4} D. { 2,0,2,4} 【答案】A 【解析】 【分析】 先化简集合 B ,再利用交集的定义求 A B 得解. 【详解】由题得  2| log 2 { | 0 4}B x x x x     ，所以 A B  {2, 4} . 故选：A. 【点睛】本题主要考查对数不等式的解法，考查集合的运算，意在考查学生对这些知识的理 解掌握水平，属于基础题. 2.复平面内表示复数 (1 )( 2 )z i i    的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】 先化简复数 3z i   ，即得解. 【详解】由题得 (1 )( 2 ) 2 2 1 3z i i i i i            ， 复数对应的点为 ( 3, 1)  ，所以它对应的点位于第三象限. 故选：C 【点睛】本题主要考查复数的乘法和几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平， 属于基础题. 3.sin 25 cos20 cos155 sin 20    （ ） A. 2 2  B. 2 2 C. 1 2  D. 1 2 【答案】B 【解析】 【分析】 先利用诱导公式，再利用和角的正弦公式化简即得解. 【详解】由题得原式=sin 25 cos20 cos25 sin 20 sin(2 2) sin 455 2 20          . 故选： B 【点睛】本题主要考查诱导公式和和角的正弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解 掌握水平，属于基础题. 4.从数字 1，2，3，4，5中任意取出两个不同数字，至少有一个是偶数的概率为（ ） A. 7 10 B. 3 5 C. 2 5 D. 3 10 【答案】A 【解析】 【分析】 先求出总的基本事件总数，再求出至少有一个为偶数的基本事件的个数，再利用古典概型的 概率公式求解即可. 【详解】从数字 1，2，3，4，5中任意取出两个不同数字，基本事件有（1,2），（1,3），（1,4）， （1,5），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5），共有 10 个基本事件，其中至少有一 个是偶数的基本事件有（1,2），（1,4），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（4,5），共 7 个. 由古典概型的概率公式得至少有一个是偶数的概率为 7 10 P  . 故选： A 【点睛】本题主要考查古典概型的概率公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水 平，属于基础题. 5.直线 1 0ax y   与圆 2 2 4 4 0x y x y    交于 ,A B两点，若 | | 4AB  ，则 a （ ） A. 4 3  B. 4 3 C. 3 4  D. 3 4 【答案】D 【解析】 【分析】 先求出圆心和半径，再由题得 2 | 2 1|2 1 a a    ，解方程即得解. 【详解】由题得 2 2( 2) ( 2) 8x y    ，它表示圆心为（2,2），半径为 2 2的圆. 则圆心到直线的距离 d 2 2 2 | 2 2 1| | 2 1|8 2 2 = 1 1 a a a a          ， 所以 3 4 a  . 故选：D 【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查弦心距的计算，意在考查学生对这些知识 的理解掌握水平，属于基础题. 6.若等差数列 na 的前 15项和 15 30S  ，则 5 6 10 142a a a a    （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】 由 15 30S  得到 8 2a  ，再化简 5 6 10 14 82a a a a a    ，即得解. 【详解】由题得 15 1 15 1 15 8 8 1530 ( ) 30, 4, 2 4, 2 2 S a a a a a a          ， . 5 6 10 14 4 6 6 10 1 84 4 10 14 10 810 =22a a a a a a a a a a a a a a aa            . 故选： A 【点睛】本题主要考查等差数列的性质的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平， 属于基础题. 7.设 , ,   为三个不同的平面， ,m n是两条不同的直线，则下列命题为假命题的是（ ） A. 若m  ， n  ，m n ，则  B. 若  ， n   ，m  ，m n ，则m  C. 若m  ，m  ，则  D. 若  ，   ，则  【答案】D 【解析】 【分析】 利用空间直线平面的位置关系逐一分析判断每一个选项得解. 【详解】若m  ， n  ，m n ，则  ,是正确的，证明如下： 如图，过点 A做 1 1// , //m m n n，与 ,  分别交于 ,B D， 直线 1 1,m n 确定的平面与 ,  的交线交于C，连 ,BC CD， 因为 1, //m m m ，所以 1 1,m m BC  ，即 AB BC 同理 AD CD ，又m n ，所以 1 1m n ，即 AB AD ， 所以四边形 ABCD是矩形， // , ,AB CD CD CD   ， 所以  若  ， n   ，m  ，m n ，则m  ,是正确的. 因为两平面垂直，则一个平面内垂直交线的直线必垂直另外一个平面； 若m  ，m  ，则  ,是正确的. 因为一个平面内如果有一条直线垂直另外一个平面，则这两个平面垂直； 若  ，   ，则  ，是错误的. 为两个平面同时和第三个平面垂直，则这两个平面可能垂直，也可能不垂直. 故选：D 【点睛】本题主要考查空间直线平面的位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌 握水平和空间的想象能力. 8.如图，该程序框图的算法思路源于“辗转相除法”，又名“欧几里德算法”执行该程序框图．若 输入的 ,m n分别为 28，16，则输出的m （ ） A. 0 B. 4 C. 12 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】 直接按照程序框图运行即可得解. 【详解】第一次循环， 28除以16的余数为12， 12r  ， 16m  ， 12n  ， 0r  不成立； 第二次循环，16除以12的余数为 4， 4r  ， 12m  ， 4n  ， 0r  不成立； 第三次循环，12除以 4的余数为 0， 0r  ， 4m  ， 0n  ， 0r  成立. 输出m的值为 4 . 故选：B. 【点睛】本题主要考查程序框图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 9.如图，某几何体的三视图是三个全等的等腰直角三角形，若该几何体的体积为 4 3 ，则其外接 球的表面积是（ ） A. 4 B. 12 C. 36 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】 先找到几何体原图是一个三棱锥，求出三棱锥的边长，再求出三棱锥外接球的半径，即得解. 【详解】 由题得几何体原图如图所示，底面是边长为 x的等腰直角三角形，左侧面和内侧面都是边长为 x的等腰直角三角形，是一个三棱锥. 所以 21 1 4 , 2 3 2 3 x x x     . 把该几何体放在边长为 2的正方体中， 故该三棱锥的外接球的直径是正方体的对角线， 设外接球的半径为 2 2 2, 2 2 2 2 2 3, 3R R R       . 所以外接球的表面积为 2 4 3 12   . 故选： B 【点睛】本题主要考查三视图还原几何体，考查几何体外接球的表面积的计算，意在考查学 生对这些知识的理解掌握水平. 10.已知 3 52a  ， 2 53b  ， 1 35c   ，则（ ） A. b a c  B. a b c  C. c b a  D. c a b  【答案】D 【解析】 【分析】 求出 , ,a b c的范围,比较得到b a 即得解. 【详解】由题得 1 3 0 52 2 2 , 1 2a    . 1 2 0 53 3 , 1 b 33     . 5 5 2 3 5 3 5 5= 2 = 8, 3 9,2 b a ba     3 0 1 5 1, 15 c      . 所以 c a b  . 故选：D 【点睛】本题主要考查指数函数幂函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握 水平. 11.已知双曲线   2 2 2 2 2 2 2: 1 0, 0,x yC a b c a b a b       ，点 A为双曲线C上一点，且在第 一象限，点O为坐标原点， 1 2,F F 分别是双曲线C的左、右焦点，若 | |AO c ，且 1 2 3 AOF    ，则双曲线C的离心率为（ ） A. 3 1 2  B. 3 C. 2 D. 3 1 【答案】D 【解析】 【分析】 先证明 2AOF 是等边三角形，再由题意得到 3 2c c a  ，即得双曲线的离心率. 【详解】因为 1 2 1 2 1 2 1| | c | |,| | | |, 2 2 OA FF OF OF F AF       . 因为 1 2 3 AOF    ，所以 2 , 3 AOF    因为 2| | | |OA OF , 所以 2AOF 是等边三角形， 所以 2 1 2 2, , | | 3 6 AF O AFF AF c        . 所以 1| | 3 , 3 2AF c c c a   ， 所以 2 3 1 3 1 ce a      . 故选：D 【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，考查双曲线的离心率的计算，意在考查学生对这 些知识的理解掌握水平. 12.设函数 ( ) sin ( 0) 6 f x x         ，已知方程 ( )f x a （ a为常数）在 70, 6      上恰有 三个根，分别为  1 2 3 1 2 3, ,x x x x x x  ，下述四个结论： ①当 0a  时，的取值范围是 17 23, 7 7     ； ②当 0a  时， ( )f x 在 70, 6      上恰有 2个极小值点和 1个极大值点； ③当 0a  时， ( )f x 在 0, 12      上单调递增； ④当 2  时， a的取值范围为 1 ,1 2     ，且 1 2 3 52 3 x x x    其中正确的结论个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】 利用三角函数的图象和性质，对每一个命题逐一分析判断得解. 【详解】①当 0a  时， ( ) sin[ ( )] 6 f x x     ,令 6, . 6 k x k k Z x          . 当 3k  时， 3 176 = 6 x       ；当 4k  时， 4 236 = 6 x       ； 所以 17 7 23 6 6 6       ，所以 17 23 7 7   .所以该命题是正确的； ②当 0a  时， 令 2 32 , . 6 2 k x k k Z x            ， 当 0k  时， , 3 x    令 7 20 , , 3 6 7         当 1k  时， 7 , 3 x    令 7 70 , 2, 3 6         因为 17 23 7 7   ， 所以 ( ))f x 在 70, 6      上有两个极大值点，所以该命题是错误的； ③当 0a  时，令 22 2 3 32 2 , . 2 6 2 k k k x k k Z x                     . 所以函数的单调递增区间为 22 2 3 3[ , ], . k k k Z         当 0k  时， 2 3 3 x       ， 因为 17 23 7 7   ，所以 7 7[ , ] 3 69 51      ， 因为 7 69 12   ，所以当 0a  时， ( ))f x 在 0, 12      上单调递增. 所以该命题正确； ④当 2  时， ( ) sin 2 6 f x x       ，因为 7[0, ] 6 x  ，所以 52 [ , ] 6 6 2 x      ，设 5( ) sin , [ , ] 6 2 g t t t     ，如图所示，当 1 1 2 a  时，直线 y a 和函 数的图象有三个交点.此时 1 2 3 2 1 2 3, 3 , 2 4t t t t t t t          . 所以 1 2 32 4 2 4 , 6 3 6 x x x         所以 1 2 3 52 3 x x x    .所以该命题正确. 故选：C 【点睛】本题主要考查三角函数图象的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平 和分析推理能力. 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分将答案填在答题卡相应位置 上） 13.已知向量 (2, 1)a    ， (1, )b x  ，若 | | | |a b a b       ，则 x _______． 【答案】2 【解析】 【分析】 把 | | | |a b a b       两边平方利用数量积公式即得解. 【详解】由题得 2 2| | | | 0, 2 0, 2a b a b a b x x                ， . 故答案为：2 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平， 属于基础题. 14.甲、乙、丙三位同学一起去向老师询问数学学科学业水平考试成绩，老师说：你们三人中 有 2位优秀，1位良好，我现在给甲看乙的成绩，乙看丙的成绩看后甲对大家说：我还是不知 道我的成绩乙听后对大家说：看完丙的成绩，我并不知道自己的成绩，但是听甲这么说，现 在知道了丙听甲和乙的话后说：听你们这么说，虽然我没看任何人的成绩，但是我已经知道 我的成绩了，根据以上信息，判断成绩获得“优秀”的两名同学是__________________． 【答案】乙和丙 【解析】 【分析】 根据甲说的话，可以分析出乙是优秀的，根据乙的话可以分析出乙是优秀的，即得解. 【详解】甲对大家说：我还是不知道我的成绩,所以乙的成绩是优秀，他的成绩可能优秀，可 能良好. 乙听后对大家说：看完丙的成绩，我并不知道自己的成绩，说明丙是优秀，自己是 优秀或良好，但是听甲这么说，说明甲知道乙是优秀的，所以自己是优秀的，甲是良好.所以 成绩获得“优秀”的两名同学是乙和丙. 故答案为：乙和丙 【点睛】本题主要考查推理证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 15. ABC 的内角 , ,A B C的对边分别为 , ,a b c．若 3sin 2 A  ， 2 2 26b c a   ，则 ABC 的面积为______． 【答案】 3 3 2 【解析】 【分析】 先求出 1cos 2 A   ，再根据 2 2 26b c a   求出 6bc  ，即得解. 【详解】因为 3sin 2 A  ，所以 1cos 2 A   . 由题得 2 2 2 12 cos 6, cos 0,2 6 6 2 b c a bc A A bc bc        ， . 所以 ABC 的面积为 1 1 36 3 3 2 2 2    . 故答案为： 3 3 2 【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形和三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的 理解掌握水平，属于基础题. 16.已知 ( )f x 是定义域为 R的奇函数， ( )f x 是 ( )f x 的导函数， ( 1) 0f   ，当 0x  时， ( ) 3 ( ) 0xf x f x   ，则使得 ( ) 0f x  成立的 x的取值范围是________． 【答案】 ( , 1) (0,1)   【解析】 【分析】 构造函数 3 ( )( ) f xg x x  ， 0x  ，求导，结合已知可判断其单调性及奇偶性，结合函数的性质 即可求解． 【详解】令 3 ( )( ) f xg x x  ， 0x  ， 因为当 0x  时， ( ) 3 ( ) 0xf x f x   ， 则当 0x  时， 4 ( ) 3 ( )( ) 0xf x f xg x x      ，即 ( )g x 在 (0, ) 上单调递减， 又因为 ( )f x 为奇函数，即 ( ) ( )f x f x   ，则 3 3 ( ) ( )( ) ( ) ( ) f x f xg x g x x x       ， 故 ( )g x 为偶函数且在 ( ,0) 上单调递增， 因为  1 0f   ，故    1 1 0g g   ， 由 ( ) 0f x  可得 3 ( ) 0x g x  ，所以 0 ( ) 0 x g x    或 0 ( ) 0 x g x    ，所以 0 0 1 x x     或 0 1 x x     . 解可得， 1x   或0 1x  . 故答案为：    , 1 0,1   . 【点睛】本题主要考查了利用函数的单调性及奇偶性求解不等式，解题的关键是构造函数 ( )g x 并判断出其单调性及奇偶性. 三、解答题（本大题共 6小题，共 70分解答应写出必要的文字说明，证明过程或 演算步骤） 17.在等比数列 na 中， 1 6a  ， 2 312a a  ． （1）求 na 的通项公式； （2）记 nS 为 na 的前 n项和，若 66mS  ，求m． 【答案】（1） 16 ( 2)nna    或 6na  ；（2） 5m  或 11m  ． 【解析】 【分析】 （1）根据已知求出 2q   或 1q  ，即得等比数列的通项； （2）分两种情况讨论，根据 66mS  得到方程，解方程即得m的值. 【详解】解：（1）设数列 na 的公比为q，由题设得 1 1 n na a q  ， 2 312a a  ， 2 1 112a q a q   ， 26 12 6q q   ，即 2 2 0q q   ， 解得 2q   或 1q  ， 故 16 ( 2)nna    或 6na  ． （2）①若 16 ( 2)nna    ，则 6 1 ( 2) 2 1 ( 2) 3 n n nS            ， 由 66mS  ，得 ( 2) 32m   ， 5m  ； ②若 6na  ，即 1q  ，则数列 na 为常数列， 1 66mS ma   ， 11m  ． 综上所述， 5m  或 11m  ． 【点睛】本题主要考查等比数列的通项的求法，考查等比数列的前 n项和的应用，意在考查学 生对这些知识的理解掌握水平. 18.如图，长方体 1 1 1 1ABCD ABC D 的侧面 1 1A ADD 是正方形． （1）证明： 1AD 平面 1ABD ； （2）若 2AD  ， 4AB  ，求点 B到平面 1ACD 的距离． 【答案】（1）证明见解析；（2） 4 3 【解析】 【分析】 （1）先证明 1AB AD 和 1 1AD AD ， 1AD 平面 1ABD 即得证； （2）设点 B到平面 1ACD 的距离为 d ，根据 1 1D ABC B ACDV V  即得点 B到平面 1ACD 的距离. 【详解】（1）证明：如图 1，在长方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中， AB Q 平面 1 1ADD A， 又 1AD 平面 1 1ADD A， 1AB AD  ． 四边形 1 1A ADD 是正方形， 1 1AD AD  ． 又 1AB AD A ， 1AD 平面 1ABD ． （2）解：如图 2，设点 B到平面 1ACD 的距离为 d ． 由题知， 1 1D ABC B ACDV V  ， 在长方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中， 1D D 平面 ABCD，且 1 2D D  ， 1 4 2 4 2Rt ABCS      ， 在 1ACD△ 中， 2 5AC  ， 1 2 2AD  ， 1 2 5CD  ， 1 1 2 2 3 2 6 2ACDS     ， 1 14 2 6 3 3 d      ， 4 3 d  ， 点 B到平面 1ACD 的距离为 4 3 ． 【点睛】本题主要考查空间线面垂直的证明，考查空间点到平面距离的计算，意在考查学生 对这些知识的理解掌握水平. 19.某商场为提高服务质量，随机调查了 60名男顾客和 80名女顾客，每位顾客均对该商场的 服务给出满意或不满意的评价，得到下面不完整的列联表： 满意 不满意 合计 男顾客 50 女顾客 50 合计 （1）根据已知条件将列联表补充完整； （2）能否有99%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？ 附： 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d        2 0P K k… 0.050 0.010 0.001 0k 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）列联表见解析；（2）有99%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异． 【解析】 【分析】 （1）根据已知条件将列联表； （2）先计算出 2K 7.292 ，再利用独立性检验得解. 【详解】解：（1）如表 满意 不满意 合计 男顾客 50 10 60 女顾客 50 30 80 合计 100 40 140 （2） 2 2 140(50 30 50 10) 100 40 80 60 K        7.292 ， 7.292 6.635 ， 故有99%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异． 【点睛】本题主要考查独立性检验，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 20.如图，在平面直角坐标系中，已知点 ( 2,0)F  ，直线 : 4l x   ，过动点 P作PH l 于点 H ， HPF 的平分线交 x轴于点M ，且 | | 2 | |PH MF ，记动点 P的轨迹为曲线C． （1）求曲线C的方程； （2）过点 (0, 2)N 作两条直线，分别交曲线C于 ,A B两点（异于 N 点）．当直线 ,NA NB的 斜率之和为 2时，直线 AB是否恒过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】（1） 2 2 1( 0) 8 4 x y y   ；（2）过定点， ( 2, 2)  【解析】 【分析】 （1）设 ( , )P x y ，由题得 | | | | 2 | | | | 2 PF MF PH PH   ，即得 2 2( 2) 2 | 4 | 2 x y x     ，即得解； （2）当直线 AB的斜率存在时，设其方程为 ( 0, 2)y kx m k m    ，联立直线和椭圆方程 得到韦达定理，根据 2NA NBk k  得到 2 2m k  ，即得直线经过的定点；当直线 AB的斜 率不存在时，直线也经过定点.即得解. 【详解】解：（1）设 ( , )P x y ，由已知 / /PH FM ， HPM FMP   ， HPM FPM   ， FMP FPM   ， | | | |MF PF  ， | | | | 2 | | | | 2 PF MF PH PH    ，即 2 2( 2) 2 | 4 | 2 x y x     ， 化简得 2 2 1 8 4 x y   ，曲线C的方程为 2 2 1( 0) 8 4 x y y   ． （2）当直线 AB的斜率存在时，设其方程为 ( 0, 2)y kx m k m    ， 且设  1 1,A x y ，  2 2,B x y ． 由 2 2 , 1, 8 4 y kx m x y       得  2 2 21 2 4 2 8 0k x kmx m     ， 由已知   ， 1 2 2 4 1 2 kmx x k      ， 2 1 2 2 2 8 1 2 mx x k    ， 由已知 2NA NBk k  ，得 1 2 1 2 2 2 2kx m kx m x x       ， 整理得  1 2 1 22( 1) ( 2) 0k x x m x x     ， 2 2 2 2 8 42( 1) ( 2) 0 1 2 1 2 m kmk m k k            ，整理得 ( 2)(4 2 4) 0m k m    ． 2m  ， 2 2m k   ， 直线 AB的方程为 2 2 ( 2) 2y kx k k x      ， 直线 AB过定点 ( 2, 2)  ． 当直线 AB的斜率不存在时，设其方程为 x n ，且设  1,A n y ，  2,B n y ， 其中 1 2y y  ． 由已知 2NA NBk k  ，得 1 2 1 22 2 4 4 2y y y y n n n n          ， 2n   ， 直线 AB的方程为 2x   ，此时直线 AB也过定点 ( 2, 2)  ． 综上所述，直线 AB恒过定点 ( 2, 2)  ． 【点睛】本题主要考查动点轨迹方程的求法，考查椭圆中的定点问题，意在考查学生对这些 知识的理解掌握水平和分析推理计算能力. 21.已知函数 ( ) 1 lnf x x a x   （１）讨论 ( )f x 的单调性； （2）证明：  * 3 3 3 ln2 ln3 ln 1 , 2 2 2 3 3 2 n n N n n n           ． 【答案】（1）当 0a„ 时， ( )f x 在 (0, ) 内单调递增；当 0a  时， ( )f x 在 (0, )a 内单调递减， 在 ( , )a  内单调递增．（2）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）求导得到 ( ) 1 af x x    ，再对 a分类讨论，即得函数的单调性； （2）先证明 ln 1n n  ，得到 3 3 ln 1 1 1 1 ( 1) 1 n n n n n n n n n n          ，再利用累加法证明不 等式. 【详解】（1）解： ( ) 1 ln ( 0)f x x a x x    ， ( ) 1 af x x    ． ①若 0a„ ，则 ( ) 0f x  ， ( )f x 在 (0, ) 内单调递增； ②若 0a  ，则 ( )f x 在 (0, ) 内单调递增，且 ( ) 0f a  ， 当 (0, )x a 时， ( ) 0f x  ；当 ( , )x a  时， ( ) 0f x  ， ( )f x 在 (0, )a 内单调递减，在 ( , )a  内单调递增． 综上所述，当 0a„ 时， ( )f x 在 (0, ) 内单调递增；当 0a  时， ( )f x 在 (0, )a 内单调递减， 在 ( , )a  内单调递增． （2）证明：当 1a  时， ( ) 1 ln  f x x x． 由（1）知 ( ) (1) 0f x f … ， ln 1x x „ ，当且仅当 1x  时，等号成立， 令  *, 2x n n N n  … ， ln 1n n   ， 3 3 ln 1 1 1 1 ( 1) 1 n n n n n n n n n n           ． 从而 3 ln2 1 1 2 2 2 3    ， 3 ln3 1 1 3 3 3 4    … 3 ln 1 1 1 n n n n n     ， 累加可得 3 3 3 ln2 ln3 ln 1 1 2 2 3 3 2 1 n n n n         ， 1 1 1 2 1 2n     ， 3 3 3 ln2 ln3 ln 1 2 2 3 3 2 n n n        ，证毕． 【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调性和证明不等式，意在考查学生对这些知识的 理解掌握水平和分析推理能力. 选考题 请考生在第 22、23两题中任选一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的 题号涂黑．注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域 指定位置答题．如果多做，则按所做的第一题计分． ［选修 4-4：坐标系与参数方程］ 22.已知曲线 2cos , : 2sin , x C y      （ 为参数），设曲线C经过伸缩变换 , 1 2 x x y y       得到曲线C ， 以直角坐标中的原点O为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 的极坐标方程； （2）若 ,A B是曲线C 上的两个动点，且OA OB ，求 2 2|OA OB 的最小值． 【答案】（1） 2 2 1 3sin     ；（2） 16 5 【解析】 【分析】 （1）先求出曲线C 的普通方程，再把它化成极坐标方程得解； （2）设  1,A   ， 2 , 2 B       ，求出 2 2| | | |OA OB 2 20 94 sin 2 4    ，再求函数的最 小值得解. 【详解】解：（1）曲线C的普通方程为 2 2 4x y  ， 曲线C 的普通方程为 2 2(2 ) 4x y  ，即 2 2 1 4 x y  ， 曲线C 的极坐标方程为 2 2 23 sin 4    ，即 2 2 1 3sin     ． （2）设  1,A   ， 2 , 2 B       ， 2 2 2 2 1 2 2 2 4 4| | | | 1 3sin 1 3cos OA OB            2 20 16 9 54 sin 2 4     ， 所以，当 sin 2 1   时， 2 2| | | |OA OB 取到最小值 16 5 ． 【点睛】本题主要考查参数方程、普通方程和极坐标方程的互化，考查极坐标方程的最值问 题的求解，考查三角恒等变换，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. ［选修 4-5：不等式选讲］ 23.已知函数 ( ) | 2 | | 2 |f x x x    ，M 为方程 ( ) 4f x  的解集． （1）求M ； （2）证明：当 ,a b M ， | 2 2 | | 4 |a b ab „ ． 【答案】（1） { | 2 2}M x x    ；（2）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）由题得 ( 2)( 2) 0x x   ，解不等式即得解； （2）利用分析法证明不等式得证. 【详解】（1）解： ( ) | 2 | | 2 | | ( 2) ( 2) | 4f x x x x x        … ， 当且仅当 ( 2)( 2) 0x x   时，等号成立， 即当且仅当 2 2x   时，等号成立， 方程 ( ) 4f x  的解集 { | 2 2}M x x    ． （2）证明：要证 | 2 2 | | 4 |a b ab „ ， 只需证 2 2(2 2 ) (4 )a b ab „ ， 即证 2 2 2 24 16 4 0a b a b   „ ， 只需证    2 24 4 0a b   ， ,a b MQ ， 2 4a  ， 2 4b „ ， 从而    2 24 4 0a b   ，证毕． 【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式，考查不等式的证明，意在考查学生对这些知识的 理解掌握水平.