上海市曹杨二中2019-2020学年高二上学期10月月考数学试题

上海市曹杨二中2019-2020学年高二上学期10月月考数学试题

‎2019-2020年曹二高二上10月月考试卷 一、填空题.‎ ‎1.在数列－1，0，，…中，0.08是它的第________项．‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据通项公式列方程，解得结果.‎ ‎【详解】令＝0.08，得2n2－25n＋50＝0，即(2n－5)(n－10)＝0.‎ 解得n＝10或n＝ (舍去)．‎ ‎【点睛】本题考查由通项公式求项数，考查基本分析求解能力.‎ ‎2.若数列满足，则该数列从第____项起为正值；‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据时的递推公式可知,该数列为等差数列,由和可得该等差数列的通项公式,进而得解.‎ ‎【详解】因为当时满足 即,所以数列为等差数列,‎ ‎,‎ 所以通项公式为 ‎ 所以当时,解得 即从第7项开始,数列为正值 故答案为:7‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列通项公式的基本求法,通项公式的简单应用,属于基础题.‎ ‎3.若 ，则=______；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对要求极限的数列分子分母同时除以,根据指数函数的性质即可求得极限值.‎ ‎【详解】对数列分子分母同时除以可得 因为 所以,根据指数函数的性质可知当时, ‎ 所以 故答案为: ‎ ‎【点睛】本题考查了数列极限的求法,对数列进行合适的变形是解决此类问题的关键,属于中档题.‎ ‎4.观察下式：‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 则可归纳出一般结论：________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 根据所给式子，归纳第n个式子左边应该为，右边为，所以填.‎ ‎5.已知等差数列中，，则=_____；‎ ‎【答案】234‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列中等差中项的定义,结合条件可求得,进而可求得.‎ ‎【详解】因为数列是等差数列 由等差中项定义可知, ‎ 所以 而 故答案为:234‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列中等差中项的定义及简单应用,属于基础题.‎ ‎6.数列的前n项和为，若，则=______；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件,通过递推法,然后作差即可证明数列为等比数列,并求得公比,再由首项即可得数列的通项公式.‎ ‎【详解】因为 当时, ‎ 两式相减可得 即,变形后可得 因为,且 所以当时, ‎ 所以数列从第二项开始是以,为公比的等比数列 所以 ‎ 而不满足上式 所以 ‎ 故答案为: ‎ ‎【点睛】本题考查了数列递推公式的用法,等比数列的证明及通项公式的求法,属于基础题.‎ ‎7.设为等差数列，为数列前n项和，若，且，则当n=____时，取得最大值；‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列,可求得,结合可判断出等差数列为递减数列,进而可得取得最大值时的值.‎ ‎【详解】因为为等差数列,且 所以 根据等差中项的性质可得 因为 所以等差数列为递减数列, ,从第19项开始为负数 所以当或时, 取得最大值 故答案为:或 ‎【点睛】本题考查了等差数列前项和的性质,等差数列单调性的综合应用,等差中项的简单应用,属于中档题.‎ ‎8.若一个细胞团开始时有5个细胞，每次分裂前2个死去，再由剩余的每个细胞分裂成2个，则n次分裂之后共有______个细胞.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设次分类后共有个细胞,则根据题意可得递推公式,通过构造等比数列即可求得通项公式.‎ ‎【详解】由题意可设次分类后共有个细胞 则第次分裂后共有细胞个数为 即,且 对数列等式两端同时减去4,可得 即,‎ 所以数列是以为首项,为公比的等比数列 所以,化简可得 即n次分裂之后共有个细胞 故答案为: ‎ ‎【点睛】本题考查了数列在实际问题中的应用,构造数列法求通项公式的应用,注意构造出数列的首项与公比与原数列是不同的,属于中档题.‎ ‎9.已知数列满足：，若，则=_________；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过列举法,可以根据数列的前几项确定数列的周期,再根据周期即可求得.‎ ‎【详解】因为数列中,满足 所以 所以数列是以3为周期的周期数列 所以 故答案为: ‎ ‎【点睛】本题考查了数列递推公式的应用,周期数列的简单应用,属于中档题.‎ ‎10.平面上有n条直线，它们任何两条不平行，任何三条不共点，设条这样的直线把平面分成个区域，则条直线把平面分成的区域数____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 第条直线与前条直线都相交，则第条直线有个交点，被分为段，每段都会把对应的平面分为两部分，则增加了个平面，‎ 即。‎ ‎11.在数列中，如果对任意，都有（为常数），则称数列为比等差数列，称为比公差，现给出以下命题：‎ ‎①若数列满足，则该数列不是比等差数列；‎ ‎②若数列满足，则该数列是比等差数列，且比公差；‎ ‎③等比数列一定是比等差数列，等差数列一定不是比等差数列；‎ ‎④若是等差数列，是等比数列，则数列是比等差数列。‎ 其中所有正确的序号是_________；‎ ‎【答案】①②‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①数列为斐波那契数列,根据数列的性质代入化简即可判断;‎ ‎②数列为等比数列,所以代入公式化简即可判断;‎ ‎③利用具体数列,代入即可判断;‎ ‎④列举一个等差数列与一个等比数列,代入即可判断.‎ ‎【详解】对于①,数列为斐波那契数列,‎ 所以常数 不满足比等差数列的定义,所以①正确;‎ 对于②, 数列,则 满足比等差数列的定义,所以②正确;‎ 对于③,设等比数列,则,所以等比数列一定是比等差数列;‎ 当等差数列为常数数列时, 也是比等差数列,所以③错误;‎ 对于④, 是等差数列，是等比数列,所以设 则 所以常数 不满足比等差数列的定义,所以④错误.‎ 综上可知, ①②正确 故答案为: ①②‎ ‎【点睛】本题考查了数列的新定义应用,注意理解所给条件,结合等差与等比数列的通项公式及性质判断,可利用特殊数列进行判定错误选项,属于难题.‎ ‎12.任意实数a，b，定义，设函数，数列是公比大于0的等比数列，且，则=___；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据定义可得函数的解析式。对等比数列的公比分三种情况讨论，再结合对数的运算性质即可求得数列的首项。‎ ‎【详解】因为对任意实数a，b，定义 函数 ‎ 数列是公比大于0等比数列，且 ‎ ‎① 当时，因为 所以，‎ 由等比数列通项公式可得，所以 整个数列为 因为 所以代入可得 即 由对数运算 所以化简后可得，即 所以 ‎②当时，‎ 此时，‎ 所以不成立 ‎③ 当时，，所以 整个数列为 所以，‎ 因为 代入可得 即 由对数运算 所以化简后可得 因为当时，所以等式左边大于0，等式右边小于0，方程无解 综上所述，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了等比数列通项公式及性质的综合应用，指数与对数的互换、对数的综合运算及求值，分类讨论思想的应用，计算量大，过程繁琐，需要很强的计算推理能力，属于难题。‎ 二、选择题 ‎13.“实数a、b、c成等比数列”是“lga、lgb、lgc构成等差数列”的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等比数列与等差数列关系,通过特殊数列可知非充分性;根据对数运算,可知必要性.‎ ‎【详解】若实数 成等比数列,当出现负数时,不满足成等差数列,所以不是充分条件;‎ 若成等差数列,则满足 ‎ 即 由对数运算可知,即 由等比中项定义可知 成等比数列,所以为必要条件 综上可知“实数 成等比数列”是“成等差数列”的必要非充分条件 故选：B ‎【点睛】本题考查了充分必要条件的判断，数列中等差数列与等比数列的定义，属于基础题。‎ ‎14.已知，则当时，数列的极限是（ ）‎ A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 不存在 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分段数列,当时取,根据极限的定义即可求得极限值.‎ ‎【详解】因为 所以当时 由极限定义可知,当时 所以数列的极限是0‎ 故选:A ‎【点睛】本题考查了数列的极限求法,注意分段数列的定义域范围,属于基础题.‎ ‎15.已知，把数列的各项排成如图所示的三角形状，记表示第m行，第n个数，则 = （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 表示三角形数表的第11行的第2个数,根据题意得第10行的最后一个数是,进而求得第11行中第2 个数,即可求值.‎ ‎【详解】根据表示第m行，第n个数 则表示第11行的第2个数 根据数表可知,每行的最后一个数为行数的平方数,所以第10行的最后一项为 所以第11行第2个数为 即 故选:D ‎【点睛】本题考查了数列的简单应用,观察数表,根据示例找出项的排列规律,属于基础题.‎ ‎16.某班试用电子投票系统选举班干部候选人，全班k名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，3，…，k，规定：同意按“1”，不同意（含弃权），按“0”，令，则同时同意第1，2号同学当选的人数为（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据题意,分别列出同意1号同学当选和2号同学当选的同学,则同时同意1号与2号当选的人数为它们对应相乘再相加即可.‎ ‎【详解】由题意可知 全班名同学同意1号同学当选的情况为 ‎ 名同学同意2号同学当选的情况为 ‎ 同时同意1号与2号同学当选的情况为 所以同时同意第1号与2号同学当选的人数为 故选:C ‎【点睛】本题主要考查了矩阵在实际问题中的应用,理解题意分组分析是解决好这个问题的关键,属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17.用数学归纳法证明：‎ ‎【答案】证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用数学归纳法证明分两步进行:①当时证明不等式左右两边相等;②假设当时等式成立,应用此结论证明当时等式也成立即可.‎ ‎【详解】①当时 左边,右边 所以左边=右边,等式成立.‎ ‎②假设当时等式成立,即 则当时,‎ 即当时等式也成立 由①②可知, 对任意正整数都成立 ‎【点睛】本题考查了数学归纳法在证明等式中的应用,注意证明的格式和步骤,对假设成立等式的应用是关键,属于中档题.‎ ‎18.已知等差数列前3项为a，4，3a，前项和为 ‎（1）求a及k的值；‎ ‎（2）求 ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据等差数列定义求得首项及公差，由等差数列的前n项和公式即可求得的值。‎ ‎（2）先求得等差数列的前n项和公式，并求得倒数。结合裂项法即可求得的值，进而根据极限定义求得极限值即可。‎ ‎【详解】（1）因为等差数列前3项为 ‎ 所以，解得 所以等差数列的首项为，公差为 则前项和为 解方程求得（舍）‎ 故 ‎（2）因为等差数列的首项为，公差为 所以 则 所以 所以由极限定义可得 即 ‎【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，裂项法求和的应用，数列求极限，属于中档题。‎ ‎19.在数列中，，，．‎ ‎（1）证明数列等比数列；‎ ‎（2）求数列的前项和；‎ ‎（3）证明不等式，对任意皆成立．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1）由条件可构造，从而数列为等比数列，即可求出；（2）写出数列的通项，分组求和即可；（3）作差后分析差的正负即可.‎ 试题解析：‎ ‎（1）证明：由题设，得 ‎，． ‎ 又，所以数列是首项为，且公比为的等比数列． ‎ ‎（2）解：由（Ⅰ）可知，于是数列的通项公式为 ‎． 所以数列的前项和． ‎ ‎（3）证明：对任意的，‎ ‎．‎ 所以不等式，对任意皆成立．‎ 点睛：数列问题是高考中的重要问题，主要考查等差等比数列的通项公式和前项和，主要利用解方程的思想处理通项公式问题，利用分组求和、裂项相消、错位相减法等方法求数列的和．在利用错位相减求和时，要注意提高运算的准确性，防止运算错误．‎ ‎20.设数列的前n项和为,对一切,点都在函数的图像上.‎ ‎（1）证明：当时,;‎ ‎（2）求数列的通项公式;‎ ‎（3）设为数列的前n项的积,若不等式对一切成立,求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】（1）证明见解析; （2） （3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据点在函数图像上,代入点坐标,化简后结合即可证明.‎ ‎（2）根据（1）所得递推公式,递推作差后可得奇偶项分别为等差数列,根据和公差即可求得通项公式.‎ ‎（3）根据为数列,代入的通项公式求得的表达式,构造函数;代入的通项公式求得函数,根据恒成立求得即可.通过的单调性求得,代入解不等即可得实数a的取值范围.‎ ‎【详解】（1）证明: 因为对一切,点都在函数的图像上 所以,化简可得 当时, ‎ 两式相减可得 即（）‎ 原式得证.‎ ‎（2）由（1）可知 所以 两式相减,可得 所以数列的奇数项公差为4的等差数列,偶数项公差为4的等差数列.‎ 由（1）可知 则当时, 求得 则当时, ,即求得 所以当为奇数时, ‎ 所以当为偶数时, ‎ 综上可知数列的通项公式为 ‎（3）因为 所以 所以 又因为 所以对一切成立 即对一切成立 只需满足即可 令 则 所以 所以 即为单调递减数列 所以 所以即可,化简可得 解不等式可得,或 故实数a的取值范围为 ‎【点睛】本题考查了数列中递推关系与通项公式的综合应用,数列与不等式恒成立问题的综合应用,注意数列单调性的用法,对计算能力要求较高,属于难题.‎ 四、附加题 ‎21.无穷正实数数列具有以下性质 ‎（1）求证：对具有上述性质的任一数列，总能找到一个正整数n使下面不等式恒成立 ‎（2）寻一个满足上述条件的数列，使下面不等式对任一正整数n均成立 ‎【答案】（1）证明见解析;（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据数列递推公式,逐步化简不等式,再根据数列的极限即可证明不等式.‎ ‎（2）找到数列,代入检验即可.‎ ‎【详解】（1）证明:由题意可知正实数数列满足 所以 则 ‎ ‎ 而 所以当时, 成立 原式得证.‎ ‎（2）取无穷等比数列,‎ 则 因为,即 所以 即当时原式成立 ‎【点睛】本题考查了数列与不等式的综合应用,根据数列的递推公式证明不等式,等比数列求和公式的综合应用,综合性强,对理解能力要求很高,属于难题.‎ ‎ ‎