2003年高考.全国卷.理科数学试题及答案

2003年高考.全国卷.理科数学试题及答案

‎2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）‎ 数 学（理工农医类）‎ 注意事项：‎ ‎1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．‎ ‎2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．‎ ‎3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．‎ 参考公式：‎ 三角函数的积化和差公式： 正棱台、圆台的侧面积公式 ‎ 其中、分别表示 ‎ 上、下底面周长，表示斜高或母线长.‎ ‎ 球体的体积公式： ，其中R ‎ ‎ 表示球的半径.‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 第Ⅰ卷（选择题共60分）‎ 一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 ‎1．已知，0），，则 （ ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎2．圆锥曲线的准线方程是 （ ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎3．设函数 ，若，则的取值范围是 （ ）‎ ‎ （A）（，1） （B）（，） ‎ ‎（C）（，）（0，） （D）（，）（1，）‎ ‎4．函数的最大值为 （ ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）2‎ ‎5．已知圆C：（）及直线：，当直线被C截得的弦长为时，则 （ ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎6．已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎7．已知方程的四个根组成一个首项为的的等差数列，则 （ ）‎ ‎ （A）1 （B） （C） （D）‎ ‎8．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是 （ ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎9．函数，的反函数 （ ）‎ ‎ （A） ，1] （B） ，1]‎ ‎ （C） ，1] （D） ，1]‎ ‎10．已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点沿与AB的夹角的方向射到BC上的点后，依次反射到CD、DA和AB上的点、和（入射角等于反射角），设的坐标为（，0），若，则tg的取值范围是 （ ）‎ ‎ （A）（，1） （B）（，） （C）（，） （D）（，）‎ ‎11． （ ）‎ ‎ （A）3 （B） （C） （D）6‎ ‎12．一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为（ ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）‎ 数 学（理工农医类）‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上 ‎13．的展开式中系数是 ‎ ‎14．使成立的的取值范围是 ‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎15．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种（以数字作答）‎ P M N l P N M l N l P M l M N P N l P M ‎16．下列5个正方体图形中，是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出面MNP的图形的序号是 （写出所有符合要求的图形序号）‎ ‎ ① ② ③ ④ ⑤‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤 ‎17．（本小题满分12分）‎ ‎ 已知复数的辐角为，且是和的等比中项，求 D E K B C1‎ A1‎ B1‎ A F C G ‎18．（本小题满分12分）‎ ‎ 如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，D、E分别是与的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G （I） 求与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）‎ （II） 求点到平面AED的距离 ‎19．（本小题满分12分） 已知，设 ‎ P：函数在R上单调递减 Q：不等式的解集为R 如果P和Q有且仅有一个正确，求的取值范围 O 北 东O y 线 岸 O x O r(t)‎ P 海 ‎20．（本小题满分12分）‎ ‎ 在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南）方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？‎ ‎21．（本小题满分14分）‎ O P A G D F E C B x y ‎ 已知常数，在矩形ABCD中，，‎ ‎，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由 ‎22．（本小题满分12分，附加题4 分）‎ ‎ （I）设是集合 且}中所有的数从小到大排列成的数列，即，，，，，，…‎ ‎ 将数列各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：‎ ‎3‎ 5 ‎6‎ ‎9 10 12‎ ‎— — — —‎ ‎…………‎ ‎ ⑴写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；‎ ‎⑵求 ‎（II）（本小题为附加题，如果解答正确，加4 分，但全卷总分不超过150分）‎ ‎ 设是集合，且中所有的数从小到大排列成的数列，已知，求.‎ ‎2003年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷) ‎ 数学（理工农医类）答案 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分60分.‎ ‎1．D 2．C 3．D 4．A 5．C 6．B 7．C 8．D 9．D 10．C 11．B 12．A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.‎ ‎13． 14．（-1，0） 15．72 16．①④⑤‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17． 解：设，则复数由题设 ‎18．（Ⅰ）解：连结BG，则BG是BE在ABD的射影，即∠EBG是A1B与平面ABD所成的角.‎ 设F为AB中点，连结EF、FC，‎ ‎（Ⅱ）解：‎ ‎19．解：函数在R上单调递减 不等式 ‎（以上方法在新疆考区无一人使用，大都是用解不等式的方法，个别使用的图象法）‎ ‎20．解：如图建立坐标系以O为原点，正东方向为x轴正向.‎ ‎ 在时刻：（1）台风中心P（）的坐标为 ‎ 此时台风侵袭的区域是 ‎ 其中若在t时刻城市O受到台风的侵袭，则有 ‎ 即 ‎ ‎ ‎ 答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.‎ ‎21．根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点P到两点距离的和为定值.‎ 按题意有A（－2，0），B（2，0），C（2，4a），D（－2，4a）设 由此有E（2，4ak），F（2－4k，4a），G（－2，4a－4ak）‎ 直线OF的方程为：①‎ 直线GE的方程为：②‎ 从①，②消去参数k，得点P（x,y）坐标满足方程 整理得 当时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.‎ ‎ 当时，点P轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长 当时，点P到椭圆两个焦点（的距离之和为定值 当时，点P 到椭圆两个焦点（0， 的距离之和为定值2.‎ ‎22．（本小题满分12分，附加题4分）‎ ‎（Ⅰ）解：用(t,s)表示，下表的规律为 ‎ 3（(0,1)=）‎ ‎5(0,2) 6(1,2)‎ ‎9(0,3) 10(1,3) 12(2,3)‎ ‎— — — —‎ ‎…………‎ ‎ （i）第四行17(0,4) 18(1,4) 20(2,4) 24(3,4) ‎ 第五行 33(0,5) 34(1,5) 36(2,5) 40(3,5) 48(4,5)‎ ‎ （i i）解法一：因为100＝（1+2+3+4+……+13）+9，所以(8,14)＝＝16640‎ 解法二：设，只须确定正整数 ‎ 数列中小于的项构成的子集为 ‎ 其元素个数为 满足等式的最大整数为14，所以取 因为100－‎ ‎（Ⅱ）解：‎ 令 ‎ 因 ‎ 现在求M的元素个数：‎ 其元素个数为： ‎ 某元素个数为 某元素个数为 另法：规定（r,t,s），＝（3,7,10）‎ 则＝ （0,1,2） ‎ ‎ 依次为 （0,1,3） （0,2,3） （1,2,3） ‎ ‎（0,1,4） （0,2,4）（1,2,4）（0,3,4） （1,3,4）（2,3,4） ‎ ‎…………‎ ‎（0,1,9） （0,2,9）………… （ 6,8,9 ）（7,8,9） ‎ ‎（0,1,10）（0,2,10）………（0,7,10）（ 1,7,10）（2,7,10）（3,7,10）…… +4‎