宁夏回族自治区石嘴山市平罗县平罗中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试题

宁夏回族自治区石嘴山市平罗县平罗中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试题

高二年级2019-2020学年度第一学期数学(理)期末考试暨学分认定试卷 一､选择题(本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)‎ ‎1.命题“若,则”与它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为（ ）‎ A. 0 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解不等式，得或.当时，或成立，原命题成立.当或时，不成立，逆命题不成立.根据原命题与其逆否命题；逆命题与否命题互为逆否命题，并且互为逆否命题的两个命题真假性相同.则可判断真命题的个数.‎ ‎【详解】因为，所以或.‎ 因为或，所以原命题为真命题，则其逆否命题为真命题.‎ 因为或，所以逆命题为假命题，则否命题为假命题.‎ 即2个真命题.‎ 故选B ‎【点睛】本题考查命题的四种形式的真假判断，属于较易题.‎ ‎2.命题“若，则”的否命题为（ ）‎ A. 若，则且 B. 若，则或 C. 若，则且 D. 若，则或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据为原命题条件,为原命题结论,则否命题:若非则非,即可求得答案.‎ ‎【详解】 设为原命题条件,为原命题结论,则否命题:若非则非.‎ ‎ 原命题“若，则”‎ ‎ 故其否命题为: 若，则或 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查了否命题,解题关键是理解否命题定义,属于基础题.‎ ‎3.已知取值如下表所示,若与线性相关,且,则（）‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ y ‎​‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求得样本中心点，然后利用回归直线过样本中心点即可得最终结果.‎ ‎【详解】由题意可得：‎ ‎，‎ 回归直线过样本中心点，‎ 则，解得，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关回归直线的问题，涉及到的知识点有回归直线过样本中心点，属于简单题目.‎ ‎4.某协会有200名会员，现要从中抽取40名会员作样本，采用系统抽样法等间距抽取样本，将全体会员随机按1~200编号，并按编号顺序平均分为40组（1－5号，6－10号，…，196－200号）.若第5组抽出的号码为22，则第1组至第3组抽出的号码依次是（ ）‎ A. 3，8，13 B. 2，7，‎12 ‎C. 3，9，15 D. 2，6，12‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据系统抽样原理求出抽样间距，再根据第5组抽出的号码求出第1组抽出的号码，即可得出第2组、第3组抽取的号码．‎ ‎【详解】根据系统抽样原理知，抽样间距为200÷40=5， 当第5组抽出的号码为22时，即22=4×5+2， 所以第1组至第3组抽出的号码依次是2，7，12． 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查了系统抽样方法的应用问题，是基础题．‎ ‎5.设向量，，则“”是“”的 A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用充要条件的判断方法进行判断即可.‎ ‎【详解】若，则，，则；但当时， ‎ 故“”是“”的充分但不必要条件.‎ 选A.‎ ‎【点睛】本题考查充分不必要条件条件的判断，属基础题.‎ ‎6.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则互斥而不对立的两个事件是（ ）‎ A. 恰有1个黑球与恰有2个黑球 B. 至少有一个红球与都是黑球 C. 至少有一个黑球与至少有1个红球 D. 至少有一个黑球与都是黑球 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个球，包括3种情况：①恰有一个黑球，②恰有两个黑球，③没有黑球． 故恰有一个黑球与恰有两个黑球不可能同时发生，它们是互斥事件，再由这两件事的和不是必然事件，故他们是互斥但不对立的事件， 故选：A．‎ ‎7.在新一轮的高考改革中,一名高二学生在确定选修地理的情况下,‎ 想从历史、政治、化学、生物、物理中再选择两科学习,则所选的两科中一定有生物的概率是()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算出从历史、政治、化学、生物、物理5科中选2科的数量，然后计算出按照两科里有生物，再选另一科的数量.根据古典概型的计算公式，得到答案.‎ ‎【详解】从历史、政治、化学、生物、物理5科中选2科，数量有，‎ 所选的2科中一定有生物，则需在从历史、政治、化学、物理4科中选1科，数量有，‎ 所以其概率为.‎ 故答案为C项.‎ ‎【点睛】本题考查组合问题，古典概型的计算，属于简单题.‎ ‎8.为了测试小班教学的实践效果，王老师对A、B两班的学生进行了阶段测试，并将所得成绩统计如图所示；记本次测试中，A、B两班学生的平均成绩分别为，，A、B两班学生成绩的方差分别为，，则观察茎叶图可知 A. ＜，＜ B. ＞，＜‎ C. ＜，＞ D. ＞，＞‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据茎叶图中数据的分布可得，班学生的分数多集中在之间，‎ 班学生的分数集中在之间，班学生的分数更加集中，班学生的分数更加离散，从而可得结果.‎ ‎【详解】班学生的分数多集中在之间，班学生的分数集中在之间，故；相对两个班级的成绩分布来说，班学生的分数更加集中，班学生的分数更加离散，故，故选B.‎ ‎【点睛】平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意 平均数、中位数、众数描述其集中趋势, 方差和标准差描述其波动大小. 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平;方差反映了 随机变量稳定于均值的程度, 它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方取舍的重要的理论依据，ᅳ般先比较均值, 若均值相同再用方差来决定.‎ ‎9.如图，在边长为2的正方形ABCD的内部随机取一点E，则△ABE的面积大于的概率为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意得正方形边长为2,E到AB的距离大于时满足题意,由几何概型公式计算可得答案.‎ ‎【详解】解:由题意得，正方形边长为2,E到AB的距离大于时，△ABE的面积大于,易得E在长宽分别为2，的矩形内,又正方形面积为4,由几何概型的公式得到△ABE的面积大于的概率,‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查几何概型的概念和计算,得出点E在长宽分别为2，‎ 的矩形内，再利用几何概型计算概率是解题的关键.‎ ‎10.过点（0，1）的直线被圆所截得的弦长最短时，直线的斜率为（ ）‎ A. 1 B. ‎-1 ‎C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：点在圆内，要使得过点的直线被圆所截得的弦长最短，则该弦以为中点，与圆心和连线垂直，而圆心和连线的斜率为，所以所求直线斜率为1，故选择A．‎ 考点：直线与圆的位置关系．‎ ‎11.设点在不等式组表示的平面区域上，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先作出不等式组所表示的平面区域，再由目标函数表示平面区域内的点到定点的距离，结合图像，即可得出结果.‎ ‎【详解】作出不等式组所表示的平面区域如下：‎ 因为目标函数表示平面区域内的点到定点的距离，由图像可知圆心到直线的距离即是最小值，所以 ‎【点睛】本题主要考查简单的线性规划，先由约束条件作出可行域，再由目标函数的几何意义即可求解，属于基础题型.‎ ‎12.点A，B，C，D在同一个球的球面上，AB=BC= ，∠ABC=90°，若四面体ABCD体积的最大值为3，则这个球的表面积为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由题意，结合圆的性质知当四面体的体积为最大值时，点在平面上的射影为中点，则．设球的半径为，球心为，则，，，于是由，即，解得，所以球的表面积为，故选D．‎ 二､填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)‎ ‎13.某学校共有学生人，其中高一年级人，高二年级人，高三年级人.为了了解该校学生的健康状况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若从高一年级抽取了人，则应从高二年级抽取__________人.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据分层抽样的特点:高一年级人数与高二年级人数之比等于样本中高一年级人数与高二年级人数之比计算可得.‎ ‎【详解】分层抽样就是按比例抽样,高一年级人数与高二年级人数之比为800:1200=2:3,‎ 所以抽取的样本中,高一年级与高二年级的人数之比也为2:3,‎ 因为高一年级抽取的人数为160,所以高二年级抽取的人数为160×=240人.‎ 故答案为240‎ ‎【点睛】本题考查了分层抽样,属于基础题.‎ ‎14.在区间上随机取两个数，则事件“”发生的概率为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对应的点构成面积为的正方形区域；由得到满足题意的区域，根据几何概型概率公式求得结果.‎ ‎【详解】在平面直角坐标系中，对应的点构成正方形区域，面积为 由可得如下图所示的阴影部分 阴影部分面积为 所求概率 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查几何概型概率问题的求解，关键是能够明确当有两个变量时，利用面积来进行求解.‎ ‎15.已知，，且是的充分不必要条件，则的取值范围为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由绝对值不等式的求法可求得；根据与关系可知是的必要不充分条件，由此可得到不等式组，解不等式组求得的范围.‎ ‎【详解】由得：，解得：‎ 是的充分不必要条件 是的必要不充分条件 且等号不同时取得，解得： 的取值范围为 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查根据充分条件与必要条件求解参数范围的问题，关键是能够根据与的关系得到与的推出关系.‎ ‎16.由直线上的一点向圆引切线,切点分别为，则四边形面积的最小值为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据切线的性质可确定所求四边形面积为，可知当所求面积最小时，，利用点到直线距离公式可求得，进而得到所求面积的最小值.‎ ‎【详解】‎ 由题意知，圆的圆心，半径 两切线关于对称 四边形面积为 当时，最小，此时 四边形面积的最小值为 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查与圆的切线有关的四边形面积最值的求解问题，关键是能够根据切线的性质将问题转化为圆心到直线距离的求解问题.‎ 三､解答题(本大题共6小题,满分70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)‎ ‎17.在中,内角所对的边分别为,已知, ,且.‎ ‎(1)求角的大小;‎ ‎(2)若,的面积为,求的周长 ‎【答案】(1)；(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由向量垂直关系得到数量积为零的等式，利用正弦定理边化角，结合两角和差公式、诱导公式可化简得到，进而求得；‎ ‎（2）根据三角形面积公式构造方程求得，利用余弦定理可求得，进而得到所求周长.‎ ‎【详解】（1） ‎ 由正弦定理得：‎ 即：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2） ‎ 由余弦定理得：‎ ‎ 的周长 ‎【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理边化角的应用、利用两角和差公式和诱导公式化简、平面向量数量积、三角形面积公式和余弦定理的应用等知识，属于常考题型.‎ ‎18.手机运动计步已经成为一种新时尚．某单位统计了职工一天行走步数（单位：百步），绘制出如下频率分布直方图：‎ ‎（1）求直方图中a的值，并由频率分布直方图估计该单位职工一天步行数的中位数；‎ ‎（2）若该单位有职工200人，试估计职工一天行走步数不大于13000的人数；‎ ‎（3）在（2）的条件下，该单位从行走步数大于15000的3组职工中用分层抽样的方法选取6人参加远足拉练活动，再从6人中选取2人担任领队，求这两人均来自区间（150，170]的概率．‎ ‎【答案】（1）125；（2）112；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由频率和为1,列出关于a的方程,然后求出的值,再利用中位数两边频率相等,求出中位数的值;‎ ‎(2)根据一天行走步数不大于13000频率样本容量,求出频数;‎ ‎(3)根据分层抽样原理抽取6人,利用列举法求出基本事件数,计算所求的概率值.‎ ‎【详解】解:(1)由题意,得,‎ 所以.‎ 设中位数为,则,‎ 所以,所以中位数为125.‎ ‎(2)由,‎ 所以估计职工一天步行数不大于13000步的人数为112人.‎ ‎(3)在区间,中有人,‎ 在区间,中有人,‎ 在区间,中有人,‎ 按分层抽样抽取6人,则从,中抽取4人,,中抽取1人,,中抽取1人;‎ 设从,中抽取职工为、、、,从,中抽取职工为,从,中抽取职工为,‎ 则从6人中抽取2人的情况有、、、、、、、、、、、、、、共15种情况,它们是等可能的,‎ 其中满足两人均来自区间,的有、、、、、共有6种情况,‎ 所以两人均来自区间(150,170]的概率;‎ ‎【点睛】本题考查了利用频率分布直方图求中位数和古典概型的概率计算问题,属基础题.‎ ‎19.已知数列满足且.‎ ‎(1)证明数列是等比数列,并求的通项公式;‎ ‎(2)设,求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1)证明见解析，； (2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由递推关系式可得，由此可证得结论；根据等比数列通项公式求得，进而得到；‎ ‎（2）根据（1）的结论得到，利用错位相减法求得.‎ ‎【详解】（1） ，即 数列是以为首项，为公比的等比数列 ‎ ‎ ‎（2）由（1）知：‎ 两式作差得：‎ ‎【点睛】本题考查利用递推关系式证明数列为等比数列、数列通项公式的求解、错位相减法求数列的前项和的问题；选择求和方法时，首先需确定所求数列的通项公式的形式，根据通项公式选择求和方法；本题中通项公式为等差与等比乘积的形式，因此选择错位相减法求和.‎ ‎20.已知向量,.‎ ‎(1)若分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为)先后抛掷两次时第一次､第二次出现的点数,求满足的概率；‎ ‎(2)若,求满足的概率.‎ ‎【答案】(1)；(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）所有基本事件共个，从中找到满足的基本事件，即为满足 的基本事件，根据古典概型概率公式求得结果；‎ ‎（2）在平面直角坐标系中得到试验的全部结果构成的区域；根据得到限制条件，由此得到满足题意的区域，利用几何概型概率公式求得结果.‎ ‎【详解】(1)抛掷两次骰子的所有基本事件有个 用表示事件“”,即 则包含的基本事件有，，，共个 ‎(2)用表示事件“”,即 试验的全部结果所构成的区域为 构成事件B的区域为 则区域如下图阴影部分所示：‎ 所求的概率为 ‎【点睛】本题考查古典概型、几何概型概率问题的求解，需注意古典概型和几何概型的区别，古典概型的基本事件个数可数，几何概型基本事件个数不可数；当几何概型问题中出现两个变量时，采用面积型公式来进行求解.‎ ‎21.如图,在四棱锥中,底面是边长为的菱形,侧面底面,,,是中点,为的中点,点在侧棱上(不包括端点).‎ ‎(1)求证：‎ ‎(2)是否存在点,使与平面所成角的正弦值为,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2)存在，.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据等腰三角形三线合一的性质可证得，，由线面垂直判定定理可证得平面，由线面垂直性质证得结论；‎ ‎（2）由面面垂直性质可知平面，则以为原点建立空间直角坐标系；设，利用向量线性运算可求得点坐标；根据线面角的向量求法可构造方程求得，进而得到结果.‎ ‎【详解】（1）连接 ‎，为中点 ‎ 在菱形中， 为等边三角形 ‎ 平面， 平面 平面 ‎ ‎（2）平面平面，平面平面，‎ 平面 ，，又 则以为坐标原点，可建立如下图所示空间直角坐标系 则，，，‎ 假设存在点满足题意，设，‎ 则 ‎，，‎ 设平面的法向量为 ‎，令，则，‎ 设与平面所成角为 则，解得：或（舍）‎ 存在点，使得与平面所成角的正弦值为，此时 ‎【点睛】本题考查立体几何中线线垂直关系的证明、空间向量法求解直线与平面所成角中的存在性问题；证明线线垂直通常采用证明线面垂直，利用线面垂直的性质来进行证明；求解存在性问题的基本思路是假设存在，利用向量法表示出所给结论，进而验证是否存在.‎ ‎22.在平面直角坐标系中,已知圆心在轴上,半径为2圆位于轴右侧,且与直线相切.‎ ‎(1)求圆的方程；‎ ‎(2)在圆上,是否存在点,使得直线与圆相交于不同的两点,且的面积最大？若存在,求出点的坐标及对应的的面积；若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】(1)(2)存在,点的坐标是与,对应面积的最大值为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) 设圆心是,根据直线与圆相切的性质结合点到直线距离公式可以求出的值,也就可以写出圆的方程；‎ ‎(2) 根据点在圆上,可以求出的取值范围,根据点到直线距离公式可以求出原点到直线的距离,利用垂径定理可以求出,最后求出的面积的表达式,最后利用配方法求出的面积最大.‎ ‎【详解】解(1)设圆心是.‎ 解得圆的方程为；‎ ‎(2)点在圆,‎ ‎.‎ 又原点到直线的距离解得 ‎.‎ ‎.‎ 当,即时取得最大值.‎ 此时点的坐标是与,面积的最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查了直线与圆相切的性质应用,考查了三角形面积最大值问题,考查了数学运算能力.‎