广东省广州市广东二师番禺附中2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

广东省广州市广东二师番禺附中2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

www.ks5u.com ‎2019-2020学年度第一学期广东二师附中中段测试高一级试题 ‎ 数学 考试时间：120分钟 注意事项：‎ ‎1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。‎ ‎2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。‎ ‎3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本小题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.设集合，则=‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由补集的概念，得，故选C．‎ ‎【考点】集合的补集运算 ‎【名师点睛】研究集合的关系，处理集合的交、并、补的运算问题，常用韦恩图、数轴等几何工具辅助解题．一般地，对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算，可借助韦恩图，而对连续的集合间的运算及关系，可借助数轴的直观性，进行合理转化．‎ ‎2.函数的定义域为（　　）‎ A. [，3）∪（3，+∞） B. （-∞，3）∪（3，+∞）‎ C. [，+∞） D. （3，+∞）‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据幂函数的定义域与分母不为零列不等式组求解即可.‎ ‎【详解】因为函数，‎ 解得且；‎ 函数的定义域为, 故选A．‎ ‎【点睛】定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.‎ ‎3. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ A是增函数，不是奇函数；B和C都不是定义域内的增函数，排除，只有D正确，因此选D.‎ 点评：该题主要考察函数的奇偶性和单调性，理解和掌握基本函数的性质是关键.‎ ‎4.设函数=则 ( )‎ A. B. C. 1 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的解析式得到=，.‎ ‎【详解】函数=,=,.‎ 故答案为：D.‎ ‎【点睛】这个题目考查了分段函数的解析式和性质，求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值;求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.‎ ‎5.，，的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将、、均化为的指数幂，然后利用指数函数的单调性可得出、、的大小关系.‎ ‎【详解】，，，‎ 且指数函数在上是增函数，则，因此，.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查指数幂的大小比较，考查指数函数单调性的应用，解题的关键就是将三个数化为同一底数的指数幂，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎6.函数的图象是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的解析式，化简为，再根据图象的变换，即可得到答案.‎ ‎【详解】由题意，函数可化简得：‎ 则可将反比例函数的图象由左平移一个单位，再向上平移一个单位，‎ 即可得到函数的图象，答案为选项C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数图象的识别与图象的变换，其中解答中正确化简函数的解析式，合理利用函数的图象变换是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎7.已知函数在区间上单调递减，则取值的集合为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：首先求出函数的对称轴，以及函数的单调递减区间，根据题意可知是函数单调递减区间的子集.‎ 详解：函数的对称轴是，因为是开口向下的抛物线，所以单调递减区间是，若函数在区间上单调递减，所以，即，解得，故选C.‎ 点睛：本题考查了利用函数的单调性求参数的取值范围，意在考查学生转化与化归的能力，属于基础题型.‎ ‎8.已知函数，且，则的值为 A. -2017 B. -3 C. -1 D. 3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设函数=g+2,其中g是奇函数，= -g+2，= g+2，故g，g是奇函数，故g，代入求值即可.‎ ‎【详解】函数=g+2,其中g是奇函数，= g+2= -g+2‎ ‎= g+2，故gg是奇函数，故g，故 ‎= g+2= 3.‎ 故答案：D.‎ ‎【点睛】这个题目考查了函数的奇偶性，奇偶函数常见的性质有：奇函数关于原点中心对称，在对称点处分别取得最大值和最小值；偶函数关于y轴对称，在对称点处的函数值相等，中经常利用函数的这些性质，求得最值.‎ ‎9.已知是定义在上的偶函数，那么的最大值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数为偶函数，得出定义域关于原点对称，可求得的值，再由二次函数的对称轴为轴得出，然后由二次函数的单调性可得出函数的最大值.‎ ‎【详解】由于函数是定义在上的偶函数，则定义域 关于原点对称，所以，，解得，，‎ 对称轴为直线，得，，定义域为.‎ 由二次函数的单调性可知，函数在上单调递减，在上单调递增.‎ 由于，因此，函数的最大值为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求参数，同时也考查了二次函数的最值问题，在考查函数的奇偶性时，需要注意定义域关于原点对称这一条件的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎10.函数是上的减函数，则的取值范围是( )‎ A. （0，1） B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当x＜0时，函数f（x）是减函数，当x≥0时，若函数f（x）=ax是减函数，则0＜a＜1．要使函数f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数，还需满足0+3﹣3a≥a0，‎ 从而求得a的取值范围．‎ ‎【详解】当x＜0时，函数f（x）=﹣x+3﹣3a是减函数，当x≥0时，若函数f（x）=ax是减函数，则0＜a＜1．‎ 要使函数f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数，需满足0+3﹣3a≥a0，解得a≤，故有即0＜a≤．‎ 故答案为:B．‎ ‎【点睛】本题主要考查指数函数的单调性的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．考查了分段函数已知单调性求参的问题，首先保证每一段上的单调性，之后再保证整个定义域上的单调性.‎ ‎11.已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由偶函数性质可将不等式化为，由函数在区间上的单调性得出，解出该不等式即可.‎ ‎【详解】由于函数为偶函数，则，‎ 由可得，‎ 函数在区间上单调递增，则有，即，‎ 解得，因此，实数的取值范围是.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查利用奇偶性与单调性解函数不等式，在涉及到偶函数的问题时，可充分利用性质来将不等式进行等价转化，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎12.已知是定义域为的奇函数,满足.若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.‎ 详解：因为是定义域为的奇函数，且，‎ 所以,‎ 因此，‎ 因为，所以，‎ ‎，从而，选C.‎ 点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，共4题20分）‎ ‎13.不论为何值，函数的图象一定经过点P，则点P的坐标为___________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数过的定点，即需要指数的次数等于0即可.‎ ‎【详解】不论为何值，函数的图象过的定点为：x-2=0,x=2,代入解析式求得y=2,故点P（2，2）.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了指数函数型函数所过的定点，即不受底数的影响，此时使得指数部分为0即可，形如的指数型函数过的定点是：.‎ ‎14.设函数，若，则实数 .‎ ‎【答案】-4,2.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据自变量范围分类讨论，再根据对应解析式列方程，解出结果.‎ ‎【详解】当 时， ，所以 ；‎ 当 时， ，所以 ‎ 故 .‎ ‎【点睛】本题考查根据函数值求自变量,考查分类讨论思想以及基本分析求解能力.‎ ‎15.已知，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用换元法求出函数的解析式，然后可计算出的值.‎ ‎【详解】令，得，，‎ ‎，因此，.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查函数解析式的求解，同时也考查了函数值的计算，解题的关键就是利用换元法求出函数的解析式，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎16.设a>0，且a≠1，函数y＝a2x＋2ax－1在[－1，1]上的最大值是14，则实数a的值为________．‎ ‎【答案】或3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先换元，设，函数变为，再分和两种情况讨论的范围，根据的范围求二次函数的最大值，求得实数的范围.‎ ‎【详解】令t＝ax(a>0，且a≠1)，‎ 则原函数化y＝f(t)＝(t＋1)2－2(t>0)．‎ ‎①当01时，x∈[－1，1]，t＝ax∈，‎ 此时f(t)在上是增函数．所以f(t)max＝f(a)＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3或a＝－5(舍去)．综上得a＝或3.‎ ‎【点睛】本题考查了二次型函数求值域，考查了分类讨论的思想，属于中档题型.‎ 三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17.化简求值：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据指数的运算律可计算出结果；‎ ‎（2）根据对数的运算律、对数恒等式以及换底公式可计算出结果.‎ ‎【详解】（1）原式；‎ ‎（2）原式.‎ ‎【点睛】本题考查指数与对数的计算，解题时要充分熟悉指数与对数的运算律、对数恒等式以及换底公式，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎18.已知集合，.‎ ‎（1）当时，求，；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1），或；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将代入集合，利用并集、补集的定义可得出集合和；‎ ‎（2）由得出，可得出关于的不等式组，解不等式组即可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1）当时，集合，‎ 因为集合，所以，‎ 因此，或；‎ ‎（2）因为集合，且，则，‎ 所以，解得，因此，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查集合并集和补集的运算，同时也考查了利用集合的包含关系求参数，在处理无限数集的运算时，可充分结合数轴来理解，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎19.已知函数f(x)＝x＋，且f(1)＝2.‎ ‎(1)判断函数f(x)的奇偶性；‎ ‎(2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；‎ ‎(3)若f(a)>2，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】(1)奇函数；（2）证明见解析；（3）(0，1)∪(1，＋∞).‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】∵，且 ‎∴，解得，‎ ‎(1)为奇函数，‎ 证：∵，定义域为，关于原点对称，‎ 又，‎ 所以为奇函数；‎ ‎（2）在上的单调递增，‎ 证明：设，‎ 则 ‎∵ ，‎ ‎∴，，‎ 故，即，在上的单调递增；‎ ‎（3）又，即，显然，‎ 化简，即，‎ 解得且.‎ 本题考查函数的性质，考查学生的计算能力，证明函数的单调性按照取值、作差、变形定号，下结论的步骤进行．（1）函数为奇函数．确定函数的定义域，利用奇函数的定义，即可得到结论；（2）按照取值、作差、变形定号，下结论的步骤进行证明，作差后要因式分解；（3）根据函数单调性，得到不等式的解集.‎ ‎20.已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示，请根据图象．‎ ‎（1）写出函数的增区间；‎ ‎（2）写出函数的解析式；‎ ‎（3）若函数，求函数的最小值．‎ ‎【答案】（1）和；（2）；‎ ‎（3）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据偶函数的图象关于轴对称，可作出的图象，由图象可得的单调递增函数；‎ ‎（2）令，则，根据条件可得，利用函数是定义在上的偶函数，可得，从而可得函数的解析式；‎ ‎（3）先求出抛物线对称轴，然后分当时，当，当时三种情况，根据二次函数的增减性解答.‎ ‎ 试题解析：‎ ‎（1）在区间，上单调递增.‎ ‎（2）设，则.‎ ‎∵函数是定义在上的偶函数，且当时，.‎ ‎∴ ，‎ ‎∴.‎ ‎（3），对称轴方程为：，‎ 当时，为最小；‎ 当时，为最小；‎ 当时，为最小.‎ 综上，有：的最小值为.‎ ‎ 点睛：本题主要考查了函数的综合应用问题，其中解答中涉及到分段函数的解析式，分段函数的单调性，函数最值的求解等知识点的综合考查，试题有一定的难度，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，解答中熟记分析函数性质的求解方法是解答的关键.‎ ‎21.某产品生产厂家生产一种产品，每生产这种产品（百台），其总成本为万元，其中固定成本为42万元，且每生产1百台的生产成本为15万元总成本固定成本生产成本销售收入万元满足，假定该产品产销平衡即生产的产品都能卖掉，根据上述条件，完成下列问题：‎ 写出总利润函数的解析式利润销售收入总成本；‎ 要使工厂有盈利，求产量的范围； ‎ 工厂生产多少台产品时，可使盈利最大？‎ ‎【答案】(1)(2) 当产量大于100台，小于820台时，能使工厂有盈利 (3) 当工厂生产400台时，可使赢利最大为54万元．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据利润=销售收入﹣总成本，且总成本为42+15x即可求得利润函数y=f（x）的解析式． ‎ ‎（2）使分段函数y=f（x）中各段均大于0，再将两结果取并集． ‎ ‎（3）分段函数y=f（x）中各段均求其值域求最大值，其中最大的一个即为所求．‎ ‎【详解】解：（1）由题意得G（x）=42+15x．‎ ‎∴f（x）=R（x）﹣G（x）=．‎ ‎（2）①当0≤x≤5时，由﹣6x2+48x﹣42＞0得：x2﹣8x+7＜0，解得1＜x＜7．‎ 所以：1＜x≤5．‎ ‎②当x＞5时，由123﹣15x＞0解得x＜8.2．所以：5＜x＜8.2．‎ 综上得当1＜x＜8.2时有y＞0．‎ 所以当产量大于100台，小于820台时，能使工厂有盈利． ‎ ‎（3）当x＞5时，∵函数f（x）递减，‎ ‎∴f（x）＜f（5）=48（万元）．‎ 当0≤x≤5时，函数f（x）=﹣6（x﹣4）2+54，‎ 当x=4时，f（x）有最大值为54（万元）．‎ 所以，当工厂生产400台时，可使赢利最大为54万元．‎ ‎【点睛】解决函数模型应用解答题，还有以下几点容易造成失分：①读不懂实际背景，不能将实际问题转化为函数模型．②对涉及的相关公式，记忆错误．③在求解的过程中计算错误.另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解．含有绝对值的问题突破口在于分段去绝对值，分段后在各段讨论最值的情况.‎ ‎22.已知指数函数满足：，又定义域为的函数是奇函数.‎ ‎（1）确定的解析式；‎ ‎（2）求的值；‎ ‎（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】①;②，;③．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：①设指数函数，过点，代入求;‎ ‎②因为定义域为R,且是奇函数，所以解得，又根据是奇函数，满足代入后解得;‎ ‎③根据奇函数将不等式化简为恒成立，根据②所求得函数的解析式，判定函数的单调性，从而得到恒成立，根据求的范围．‎ 试题解析：解：①设，∵，则，∴，‎ ‎∴．‎ ‎②由①知．∵是奇函数，且定义域为R，∴，‎ 即，∴，∴，又，∴，‎ ‎∴． 故，．‎ ‎③由②知，易知在R上为减函数．‎ 又∵是奇函数，从而不等式等价于，即恒成立，‎ ‎∵在R上为减函数，∴有，‎ 即对于一切R有恒成立，∴判别式，‎ ‎∴．‎ 故实数的取值范围是．‎ 考点：1．指数函数的性质；2．抽象不等式．‎ ‎ ‎