【数学】2021届一轮复习人教版（文理通用）选修4-5第2讲不等式的证明与柯西不等式作业
对应学生用书[练案83理][练案72文]
第二讲 不等式的证明与柯西不等式
1．(2020·云南大理统测)已知a，b，c∈R*，a2＋b2＋c2＝1.
(1)求证：ab＋bc＋ac≤1；
(2)求证：＋＋≥1.
[证明] (1)ab＋bc＋ac＝
≤
＝a2＋b2＋c2＝1，(当且仅当a＝b＝c＝取等号．)
∴ab＋bc＋ac≤1.
(2)＋＋＋a2＋b2＋c2
＝(＋c2)＋(＋a2)＋(＋b2)
≥2＋2＋2
＝2(a2＋b2＋c2)＝2，
所以＋＋≥1，(当且仅当a＝b＝c＝取等号．)
2．(2020·湖北鄂东南期中)已知函数f(x)＝|x＋1|＋2|x－1|.
(1)求不等式f(x)≥4的解集；
(2)若函数y＝f(x)图象的最低点坐标为(p，q)，正数a，b满足pa＋qb＝2，求＋的最小值．
[解析] (1)当x≥1时，由f(x)＝3x－1≥4得x≥；
当－1
b，要证2≥a－b，
只需证2≥|a－b|，
即证4(1－ab)≥|a－b|2，
只需证4－4ab≥a2－2ab＋b2，
即4≥a2＋2ab＋b2，
即证4≥(a＋b)2，只需证2≥|a＋b|，
因为a，b∈M，所以|a＋b|≤2，
所以所证不等式成立．
5．(2019·佛山模拟)设函数f(x)＝|x＋1|＋|x－a|.
(1)若f(x)≥5对于x∈R恒成立，求实数a的取值范围；
(2)当a＝1时，函数f(x)的最小值为t，且正实数m，n满足m＋n＝t，求证：＋≥2.
[解析] (1)通解 f(x)≥5对于x∈R恒成立即|x＋1|＋|x－a|≥5，对于x∈R恒成立，
因为|x＋1|＋|x－a|≥|x＋1＋a－x|＝|a＋1|，
所以|a＋1|≥5，
故a＋1≥5或a＋1≤－5，解得a≥4或a≤－6.
即实数a的取值范围为(－∞，－6]∪[4，＋∞)．
优解 |x＋1|＋|x－a|表示数轴上的动点x到两定点－1，a的距离之和，
故当a≥4或a≤－6时，|x＋1|＋|x－a|≥5对于x∈R恒成立，
即实数a的取值范围为(－∞，－6]∪[4，＋∞)．
(2)因为|x＋1|＋|x－1|≥|x＋1＋1－x|＝2，
所以f(x)min＝2，即t＝2，故m＋n＝2，又m，n为正实数，
所以＋＝(＋)＝(1＋1＋＋)≥×(2＋2)＝2，当且仅当m＝n＝1时取等号．
6．(2019·衡水质检)已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋1|.
(1)若不等式f(x)≥a2－2a－1恒成立，求实数a的取值范围；
(2)设m>0，n>0，且m＋n＝1，求证：＋≤2.
[解析] (1)解法一：依题意，f(x)＝
∴f(x)min＝2.
∵不等式f(x)≥a2－2a－1恒成立．
∴a2－2a－3≤0，解得－1≤a≤3，
∴实数a的取值范围是[－1,3]．
解法二：∵f(x)＝|2x－1|＋|2x＋1|≥|(2x－1)－(2x＋1)|＝2，∴f(x)min＝2.
∵不等式f(x)≥a2－2a－1恒成立，∴a2－2a－3≤0，解得－1≤a≤3，∴实数a的取值范围是[－1,3]．
(2)由(1)知f(x)≥2，∴2≥2.
∵m>0，n>0，且m＋n＝1，
由柯西不等式
＋≤＝2＝2.
当且仅当m＝n＝时等号成立，
∴＋≤2.
7．(2020·广东惠州调研)已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－5|.
(1)解关于x的不等式f(x)>6；
(2)记f(x)的最小值为m，已知实数a，b，c都是正实数，且＋＋＝，求证：a＋2b＋3c≥9.
[解析] (1)f(x)＝|x－1|＋|x－5|>6可化为：
或
或解得x<0或x>6.
综上所述，不等式f(x)>6的解集为(－∞，0)∪(6，＋∞)．
(2)由f(x)≥|(x－1)＋(5－x)|＝4(当x＝3时取等号)，
∴f(x)min＝4，即m＝4，∴＋＋＝1.
证法一：a＋2b＋3c
＝(＋＋)(a＋2b＋3c)
＝3＋(＋)＋(＋)＋(＋)
≥3＋2＋2＋2＝9.
证法二：∵a>0，b>0，c>0，
∴a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)(＋＋)
≥(·＋·＋·)2＝9，
当且仅当a＝3，b＝，c＝1时取等号，
∴a＋2b＋3c≥9.
8．(2020·湖北重点高中联考协作体期中)已知关于x的不等式|x＋a|
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