八年级数学上册第2章三角形2-1三角形第3课时三角形内角和与外角教学课件（新版）湘教版

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2.1 三角形 第2章 三角形 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 第3课时 三角形内角和与外角 1.通过操作活动，发现三角形的内角和是180°; 2.会利用三角形的内角和求三角形中未知角的度数; （重点、 难点） 3.了解三角形的外角及性质. 学习目标 我的形状最 小，那我的 内角和最小. 我的形状最 大，那我的 内角和最大. 不对，我有一 个钝角，所以 我的内角和才 是最大的. 一天，三类三角形通过对自身的特点，讲出了自己对三角 形内角和的理解，请同学们作为小判官给它们评判一下吧. 导入新课 情境引入 我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等 于180°.与三角形的形状、大小无关，所以它们的说 法都是错误的. 思考：除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角 形的内角和为180°呢? 折叠 还可以用拼接的 方法，你知道怎 样操作吗？ 锐角三角形 测量 480 720 600 600＋480＋720＝1800 （学生运用学科工具—量角器测量演示） 剪拼 A B C 2 1 （小组合作，讨论剪拼方法。各小组代表板演剪拼过程） 三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角. 你能用数学的方法说明这个结论吗？ 还有其他的拼 接方法吗？ 讲授新课 三角形的内角和及三角形按角的分类一 探究：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下 拼合在一起. l 验证结论 三角形三个内角的和等于180°. 说明：∠A+∠B+∠C=180°. 已知：△ABC. 方法1：过点A作l∥BC， ∴∠B=∠1. (两直线平行,内错角相等) ∠C=∠2. (两直线平行,内错角相等) ∵∠2+∠1+∠BAC=180°， ∴∠B+∠C+∠BAC=180°. 1 2 方法2：延长BC到D，过点C 作CE∥BA， ∴ ∠A=∠1 . (两直线平行，内错角相等) ∠B=∠2. (两直线平行，同位角相等) 又∵∠1+∠2+∠ACB=180°， ∴∠A+∠B+∠ACB=180°. CB A E D 1 2 CB A E D F 方法3：过D作DE∥AC,作 DF∥AB. ∴ ∠C=∠EDB,∠B=∠FDC. (两直线平行，同位角相等) ∠A+∠AED=180°, ∠AED+∠EDF=180°， (两直线平行，同旁内角相补) ∴ ∠A=∠EDF. ∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°， ∴∠A+∠B+∠C=180°. 想一想：同学们还有其他的方法吗？ 思考：多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是 什么？ 借助平行线的“移角”的功能，将三 个角转化成一个平角. C A B 1 2 3 4 5 l A C B 1 2 34 5 l P 6 m A B C D E C 24 A B 3E Q D F P G H 1 B G C 24 A 3E DF H 1 试一试：同学们按照上图中的辅助线，给出证明步骤？ 例1 如图，在△ABC中， ∠BAC=40°，∠B=75°，AD是 △ABC的角平分线，求∠ADB的度数． A B C D 解：由∠BAC=40 °, AD是△ABC的角平分线，得 ∠BAD= ∠BAC=20 °.1 2 在△ABD中， ∠ADB=180°-∠B-∠BAD =180°-75°-20° =85°. 典例精析 【变式题】如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC， ∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC的度数． 解：∵∠A＝50°，∠B＝70°， ∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝60°. ∵CD是∠ACB的平分线， ∴∠BCD＝ ∠ACB＝30°. ∵DE∥BC， ∴∠EDC＝∠BCD＝30°， 在△BDC中，∠BDC＝180°－∠B－∠BCD=80°. 1 2 例2 如图，△ABC中，D在BC的延长线上，过D作 DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝ 80°，求∠D. 解：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°． ∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°， ∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°. 又∵∠CFD＝∠AFE， ∴∠CFD＝60°. ∴在△CDF中，∠CFD＝60°，∠FCD＝80°， ∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝40°. 基本图形 由三角形的内角和易得∠A+∠B=∠C+∠D. 由三角形的内角和易得∠1+∠2=∠3+∠4. 总结归纳 4 例3 在△ABC 中， ∠A 的度数是∠B 的度数的3倍， ∠C 比∠B 大15°，求∠A，∠B，∠C的度数. 解: 设∠B为x°，则∠A为(3x)°， ∠C为(x ＋ 15)°， 从而有 3x ＋ x ＋(x ＋ 15)＝ 180. 解得 x ＝ 33. 所以 3x ＝ 99 ， x ＋ 15 ＝ 48. 即 ∠A， ∠B， ∠C的度数分别为99°， 33°， 48°. 和差倍分问题借助 方程来解. 这是一个 重要的数学思想. 一个三角形的三个内角中，最多有几个直角？ 最多有几个钝角？ 因为三角形的内角和等 于180°，因此最多有一个 直角或一个钝角. 议一议 三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形； 锐角三角形 有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形. 钝角三角形 有一个角是直角的三角形叫做直角三角形； 直角三角形 直角边 直 角 边 斜 边 A B C 直角三角形ABC可以写成Rt△ABC； ②在△ABC中，∠A :∠B:∠C=1:2:3，则△ABC是 _________三角形 . 练一练： ①在△ABC中，∠A=35°，∠ B=43 °，则∠ C= . ③在△ABC中， ∠A= ∠B+10°, ∠C= ∠A + 10°, 则 ∠A= ， ∠ B= ，∠ C= . 102° 直角 60° 50° 70° 三角形的外角的概念二 u定义 如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这 样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫 做三角形的外角. ∠ACD是△ABC的一个外角 CB A D 问题1 如图，延长AC到E,∠BCE是不是△ABC的一个 外角？∠DCE是不是△ABC的一个外角？ E 在三角形每个顶点处都有两个外角. ∠ACD 与∠BCE为对顶角，∠ACD =∠BCE； CB A D ∠BCE是△ABC的一 个外角，∠DCE不是 △ABC的一个外角. 问题2 如图，∠ACD与∠BCE有什么关系？在三角形的 每个顶点处有多少个外角？ A B C 画一画 画出△ABC的所有外角，共有几个呢? 每一个三角形都 有6个外角． 每一个顶点相对 应的外角都有2个， 且这2个角为对顶角. 三角形的外角应具备的条件： ①角的顶点是三角形的顶点； ②角的一边是三角形的一边； ③另一边是三角形中一边的延长线. ∠ACD是△ABC的一个外角 CB A D 每一个三角形都有6个外角． 总结归纳 F A B C D E 如图,∠ BEC是哪个三角形的外角？∠AEC是哪个三 角形的外角？∠EFD是哪个三角形的外角？ ∠BEC是△AEC的外角; ∠AEC是△BEC的外角; ∠EFD是△BEF和△DCF 的外角. 练一练 三角形的外角 A C B D 相邻的内角 不相邻的内角 三角形的外角的性质三 问题1 如图，△ABC的外角∠BCD与其相邻的内角 ∠ACB有什么关系？ ∠BCD与∠ACB互补. 问题2 如图，△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两 内角(∠A，∠B)有什么关系？ 三角形的外角 A C B D 相邻的内角 不相邻的内角 ∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠BCD+∠ACB=180°， ∴∠A+∠B=∠BCD. 你能用作平行线的方 法证明此结论吗？ D 解：过C作CE平行于AB， A B C 12 ∴∠1= ∠B， （两直线平行，同位角相等） ∠2= ∠A ， （两直线平行，内错角相等） ∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B. E 已知：如图，△ABC，试说明：∠ACD=∠A+∠B. 验证结论 u三角形外角的性质： A B C D ( ( ( 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. u应用格式： ∵ ∠ACD是△ABC的一个外角 ∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B. 知识要点 练一练：说出下列图形中∠1和∠2的度数： A B C D ( ( ( 80 ° 60 ° ( 21 (1) A B C ( ( ( ( 2 1 50 ° 32 ° (2) ∠1=40 °, ∠2=140 ° ∠1=18 °, ∠2=130 ° 例4 如图,∠A=42°,∠ABD=28°,∠ACE=18°,求 ∠BFC 的度数. ∵ ∠BEC是△AEC的一个外角， ∴ ∠BEC= ∠A+ ∠ACE， ∵∠A=42° ，∠ACE=18°， ∴ ∠BEC=60°. ∵ ∠BFC是△BEF的一个外角， ∴ ∠BFC= ∠ABD+ ∠BEF， ∵ ∠ABD=28° ，∠BEC=60°， ∴ ∠BFC=88°. 解： F A C D E B 例5 如图，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°， ∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度数． 解析：延长BP交AC于E或连接AP并延长，构造三角 形的外角，再利用外角的性质即可求出∠A的度数． E 解：延长BP交AC于点E， 则∠BPC，∠PEC分别为△PCE，△ABE的外角， ∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE， ∠PEC＝∠ABE＋∠A， ∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE ＝150°－30°＝120°. ∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°. 【变式题】 (一题多解)如图，∠A=51°，∠B=20°， ∠C=30°，求∠BDC的度数. A B C D( ( ( 51 ° 20 ° 30 ° 思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为 三角形问题. A B C D ( ( 20 ° 30 ° 解法一：连接AD并延长于点E. 在△ABD中，∠1+∠ABD=∠3， 在△ACD中，∠2+∠ACD=∠4. 因为∠BDC=∠3+∠4， ∠BAC=∠1+∠2， 所以 ∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD =51° +20°+30° =101°. E )) 1 2 ) 3 ) 4 你发现了什 么结论？ A B C D( ( ( 51 ° 20 ° 30 ° E ) 1 解法二：延长BD交AC于点E. 在△ABE中，∠1=∠ABE+∠BAE， 在△ECD中，∠BDC=∠1+∠ECD. 所以∠BDC =∠BAC+∠ABD+∠ACD =51° +20°+30°=101°. 解法三:连接延长CD交AB于点F（解题过程同解法二）. ) 2 F 解题的关键是正确的构造三角形，利用三角形外角 的性质及转化的思想，把未知角与已知角联系起来求解. 总结 如图 ，试比较∠2 、∠1的大小； 如图 ，试比较∠3 、∠2、 ∠1的大小.   图 图 解：∵∠2=∠1+∠B, ∴∠2＞∠1. 解：∵∠2=∠1+∠B, ∠3=∠2+∠D, ∴∠3＞∠2＞∠1. 拓展探究 三角形的 外角大于 与它不相 邻的内角. 当堂练习 1.求出下列各图中的x值． x=70 x=60 x=30 x=50 2.（1）如图，∠BDC是________ 的外角,也是 的外角； (2)若∠B=45 °， ∠BAE=36 °, ∠BCE=20 °,试求∠AEC的度数. A B C D E△ADE △ADC 解：根据三角形外角的性质有 ∠ADC= ∠B+ ∠BCE, ∠AEC= ∠ADC+ ∠BAE. 所以∠AEC= ∠B+∠BCE+ ∠BAE =45 °+20 °+36 °=101 °. 解：因为∠ADC是△ABD的外角. 3 .如图，D是△ABC的BC边上一点,∠B=∠BAD, ∠ADC=80°，∠BAC=70°，求： （1）∠B 的度数；（2）∠C的度数. 在△ABC中， ∠B+∠BAC+∠C=180°， ∠C=180º-40º-70º=70°. 所以∠ADC=∠B+∠BAD=80°. 又因为∠B=∠BAD， A B180 40 , 2 B    所以 CD 4.如图，四边形ABCD中，点E在BC 上,∠A+∠ADE=180°，∠B=78°，∠C=60°，求 ∠EDC的度数． 解：∵∠A+∠ADE=180°， ∴AB∥DE， ∴∠CED=∠B=78°． 又∵∠C=60°， ∴∠EDC=180°-（∠CED+∠C） =180°-（78°+60°） =42°． A B C D E 1 2 F G 解：∵∠1是△FBE的外角, ∴∠1=∠B+ ∠E, 同理∠2=∠A+∠D. 在△CFG中, ∠C+∠1+∠2=180º, ∴∠A+ ∠ B+∠C+ ∠ D+∠E = 180º. 5.如图，求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数. 能力提升： 课堂小结 三角形 三角形内角和定理 三角形外角的性质 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 三个内角和为180° ↑ 三角形的一个外角 等于与它不相邻的 两个内角的和 ↓