【数学】2019届一轮复习人教A版（理科）第68讲参数方程学案

【数学】2019届一轮复习人教A版（理科）第68讲参数方程学案

第68讲　参数方程 考试说明 1. 了解参数方程,了解参数的意义.‎ ‎2. 能选择适当参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.‎ ‎【课前双基巩固】‎ 知识聚焦 ‎1. 参数方程　参数 ‎【课堂考点探究】‎ 例1　[思路点拨 (1)依据直线的参数方程和圆的参数方程的概念可直接写出它们的参数方程;(2)将圆C的参数方程化为普通方程,再将直线l的参数方程代入,利用Δ≥0即可求出a的取值范围.‎ 解:(1)依题意,直线l的参数方程为 ‎(t为参数),即(t为参数).‎ 圆C的参数方程为(θ为参数).‎ ‎(2)将圆C的参数方程化为普通方程得(x‎-2a)2+(y‎-2a)2=2,‎ 将直线l的参数方程代入,得+=2, ‎ 整理得t2-at+a2-2=0,因为直线l和圆C有公共点,‎ 所以Δ=(-a)2-4(a2-2)≥0,解得-2≤a≤2.‎ 变式题　解:直线l的普通方程为x+y=2,曲线C的普通方程为y=(x-2)2(y≥0),‎ 联立两方程得x2-3x+2=0,求得两交点的坐标分别为(1,1),(2,0),所以|AB|=.‎ 例2　[思路点拨 (1)由题意知y=3-2sin αcos α-2cos2α=3sin2α-2sin αcos α+cos2α=(sin α-cos α)2,将x整体代入即可得y=x2,根据x=sin α-cos α=2sin,可知-2≤x≤2.将ρsin=m展开可得ρsin θ-ρcos θ=m,把x=ρcos θ,y=ρsin θ代入,可得y-x=m.‎ ‎(2)联立C1,C2的直角坐标方程,可得m=x2-x,-2≤x≤2,求x2-x的范围可得实数m的取值范围.‎ 解:(1)由曲线C1的参数方程为(α为参数),可得其直角坐标方程为y=x2(-2≤x≤2),‎ 由曲线C2的极坐标方程为ρsin=m,可得其直角坐标方程为x-y+m=0.‎ ‎(2)联立曲线C1与曲线C2的方程,可得x2-x-m=0,‎ ‎∴m=x2-x=-,‎ ‎∵-2≤x≤2,曲线C1与曲线C2有公共点,∴-≤m≤6.‎ 变式题　解:(1)l的普通方程为y=(x-1),C1的普通方程为x2+y2=1,由得l与C1的交点为A(1,0),B,则|AB|=.‎ ‎(2)C2的参数方程为(θ为参数),设点P的坐标是,从而点P到直线l的距离d==,故当sin(θ-φ)=1时,d取得最大值,最大值为+.‎ 例3　[思路点拨 (1)由消去参数α,求得曲线C的普通方程.由ρsin=,得ρsin θ-ρcos θ=2,把x=ρcos θ,y=ρsin θ代入,得y=x+2,从而求得直线l的倾斜角.‎ ‎(2)由(1)知,点P(0,2)在直线l上,可得直线l的参数方程为(t为参数),代入+y2=1并化简,得5t2+18t+27=0,利用韦达定理结合参数的几何意义求得|PA|+|PB|的值.‎ 解:(1)由消去参数α,得+y2=1, ‎ 即曲线C的普通方程为+y2=1.‎ 由ρsin=,得ρsin θ-ρcos θ=2,( )‎ 将代入( ),化简得y=x+2,所以直线l的倾斜角为.‎ ‎(2)由(1)知,点P(0,2)在直线l上,可得直线l的参数方程为(t为参数),即(t为参数),‎ 代入+y2=1并化简,得5t2+18t+27=0,Δ=(18)2-4×5×27=108>0,设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,‎ 则t1+t2=-<0,t1·t2=>0,所以t1<0,t2<0,‎ 所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=-(t1+t2)=.‎ 变式题　解:(1)∵直线l过点P且倾斜角为α,‎ ‎∴直线l的参数方程为(t为参数).‎ ‎(2)把代入x2+y2=1,‎ 得t2+(cos α+3sin α)t+2=0,‎ ‎∵直线l与曲线C:x2+y2=1相交于不同的两点M,N,‎ ‎∴Δ=(cos α+3sin α)2-8>0,即sin2>,又α∈[0,π),‎ ‎∴0,设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,‎ 则 又直线l过点P(1,2),结合t的几何意义得 ‎|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|==≥=2.‎ 故+==≥,所以所求的最小值为.‎ 变式题　解:(1)∵曲线C1的参数方程为(t为参数),∴其普通方程为(x+4)2+(y-3)2=1,‎ ‎∴C1为圆心是(-4,3),半径是1的圆.‎ ‎∵曲线C2的参数方程为(θ为参数),∴其普通方程为+=1,‎ ‎∴C2为中心是坐标原点,焦点在x轴上,长半轴长是8,短半轴长是3的椭圆.‎ ‎(2)由t=,得P(-4,4),设Q(8cos θ,3sin θ),故M-2+4cos θ,2+sin θ,‎ ρ(cos θ-2sin θ)=7可化为x-2y=7,‎ 故M到C3的距离d=|4cos θ-3sin θ-13|=|5cos(θ+φ)-13|其中tan φ=,‎ 从而当cos(θ+φ)=1时,d取得最小值,为.‎ ‎【备选理由】例1考查了圆的参数方程与普通方程的转化,直线与圆相交求弦长;例2考查了直线的参数方程与普通方程,圆的极坐标方程与直角坐标方程的转化,直线参数方程的应用;例3考查了曲线的极坐标方程与参数方程的转化,以及曲线参数方程的应用;例4考查了曲线参数方程与极坐标方程之间的转化,以及曲线极坐标方程的应用.以上几题覆盖了曲线参数方程与极坐标方程的几种常见组合,是对例题的补充.‎ ‎1 [配例2使用 [2017·珠海调研 已知在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(φ为参数),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρsin=2.‎ ‎(1)求曲线C的极坐标方程;‎ ‎(2)求直线l被曲线C截得的弦长.‎ 解:(1)曲线C的普通方程为(x-2)2+y2=4,‎ 即x2+y2-4x=0,将代入,化简得ρ=4cos θ,∴曲线C的极坐标方程是ρ=4cos θ.‎ ‎(2)∵直线l的直角坐标方程为x+y-4=0,‎ 联立得直线l与曲线C的交点坐标为(2,2),(4,0),‎ ‎∴所求弦长为=2.‎ ‎2 [配例3使用 已知直线l的参数方程为(t为参数),以直角坐标系xOy的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=4sin.‎ ‎(1)求直线l的普通方程与圆C的直角坐标方程;‎ ‎(2)设圆C与直线l交于A,B两点,若P点的直角坐标为(2,1),求||PA|-|PB||的值.‎ 解:(1)易得直线l的普通方程为y=x-1.‎ 因为曲线C的极坐标方程为ρ=4sin=4sin θ+4cos θ,即ρ2=4ρsin θ+4ρcos θ,‎ 所以圆C的直角坐标方程为x2+y2-4x-4y=0(或写成(x-2)2+(y-2)2=8).‎ ‎(2)点P(2,1)在直线l上,且在圆C内,把代入x2+y2-4x-4y=0,得t2-t-7=0,‎ 设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=,t1t2=-7<0,即t1,t2异号,‎ 所以||PA|-|PB||=||t1|-|t2||=|t1+t2|=.‎ ‎3 [配例4使用 在直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C:ρ2=,直线l:2ρsin=.‎ ‎(1)判断曲线C与直线l的位置关系,写出直线l的参数方程;‎ ‎(2)设直线l与曲线C的两个交点分别为A,B,求|AB|的值.‎ 解:(1)曲线C的直角坐标方程为+=1,直线l的直角坐标方程为x+y=,与y轴的交点为P(0,),将P(0,)代入椭圆方程左边得0+<1,故点P(0,)在椭圆的内部,所以直线l与曲线C相交.直线l的参数方程为(t为参数).‎ ‎(2)由(1)知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的直角坐标方程为+=1,将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程,得3+=15,即t2+2t-8=0,设点A,B对应的参数分别为t1,t2,则t2+t1=-2,t2t1=-8,‎ 所以|AB|===6.‎ ‎4 [配例4使用 [2018·岳阳一中月考 直角坐标系xOy中,直线l:(t为参数),曲线C1:(φ为参数),以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=-2cos θ+2sin θ.‎ ‎(1)分别求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程;‎ ‎(2)设直线l交曲线C1于O,A两点,交曲线C2于O,B两点,求|AB|.‎ 解:(1)曲线C1:(φ为参数),化为普通方程是x2+(y-1)2=1,展开可得x2+y2-2y=0,‎ 可得其极坐标方程为ρ2-2ρsin θ=0,即ρ=2sin θ.‎ 曲线C2的极坐标方程为ρ=-2cos θ+2sin θ,‎ 即ρ2=ρ(-2cos θ+2sin θ),化为直角坐标方程是x2+y2=-2x+2y.‎ ‎(2)直线l:(t为参数),化为普通方程是y=-x,可得其极坐标方程是θ=(ρ∈R),‎ ‎∴|OA|=2sin=,|OB|=-2cos+2sin=-2×+2×=4,‎ ‎∴|AB|=|OB|-|OA|=4-.‎