2018年四川省成都七中高考数学一诊试卷（理科）

2018年四川省成都七中高考数学一诊试卷（理科）

‎2018年四川省成都七中高考数学一诊试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）已知集合A={x|x＜a}，B={x|x2﹣3x+2＜0}，若A∩B=B，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．a≤1 B．a＜1 C．a≥2 D．a＞2‎ ‎2．（5分）复数z=（i为虚数单位）的虚部为（　　）‎ A．1 B．i C．﹣2i D．﹣2‎ ‎3．（5分）“直线m与平面α内无数条直线平行”是“直线m∥平面α”的（　　）‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．（5分）设实数x，y满足约束条件，则目标函数的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．（5分）《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：‎ 卦名 符号 表示的二进制数 表示的十进制数 坤 ‎000‎ ‎0‎ 震 ‎001‎ ‎1‎ 坎 ‎010‎ ‎2‎ 兑 ‎011‎ ‎3‎ 依此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是（　　）‎ A．18 B．17 C．16 D．15‎ ‎6．（5分）在区间[1，5]随机地取一个数m，则方程m2x2+4y2=1表示焦点在y轴上的椭圆的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．（5分）已知．则m=（　　）‎ A．﹣6或1 B．﹣1或6 C．6 D．1‎ ‎8．（5分）已知S为执行如图所示的程序框图输出的结果，则二项式（S﹣）6的展开式中常数项的系数是（　　）‎ A．﹣20 B．20 C．﹣ D．60‎ ‎9．（5分）定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）是偶函数，且当x∈[0，1]时，f（x）=x（3﹣2x），则f（）=（　　）‎ A． B．﹣ C．﹣1 D．1‎ ‎10．（5分）已知函数f（x）=ln+，g（x）=ex﹣2，若g（m）=f（n）成立，则n﹣m的最小值为（　　）‎ A．1﹣ln2 B．ln2 C．2﹣3 D．e2﹣3‎ ‎11．（5分）在直角坐标平面xOy上的一列点A1（1，a1），A2（2，a2），…，An（2，an），…，简记为{An}若由构成的数列{bn}满足bn+1＞bn ‎，n=1，2，…，其中为方向与y轴正方向相同的单位向量，则称{An}为T点列．有下列说法 ‎①，为T点列；‎ ‎②若{An}为T点列，且点A2在点A1的右上方．任取其中连续三点Ak、Ak+1、Ak+2，则△AkAk+1Ak+2可以为锐角三角形；‎ ‎③若{An}为T点列，正整数若1≤m＜n＜p＜q，满足m+q=n+p，则aq﹣ap≥（q﹣p）bp；‎ ‎④若{An}为T点列，正整数若1≤m＜n＜p＜q，满足m+q=n+p，则．‎ 其中，正确说法的个数为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎12．（5分）已知F1，F2是双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M，与双曲线交于点N，且M，N均在第一象限，当直线MF1∥ON时，双曲线的离心率为e，若函数f（x）=x2+2x﹣，则f（e）=（　　）‎ A．1 B． C．2 D．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．（5分）抛物线y2=ax（a＞0）上的点到焦点F的距离为2，则a=　 　．‎ ‎14．（5分）已知递减等差数列{an}中，a3=﹣1，a4为a1，﹣a6等比中项，若Sn为数列{an}的前n项和，则S7的值为　 　．‎ ‎15．（5分）在四面体S﹣ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，SA=SC=2，二面角S﹣AC﹣B的余弦值是﹣，则该四面体的外接球的表面积是　 　．‎ ‎16．（5分）设函数f（x）=，g（x）=，对任意x1，x2∈（0，+∞），不等式≤恒成立，则正数k的取值范围是　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（12分）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2cosC（acosC+ccosA）+b=0．‎ ‎（1）求角C的大小；‎ ‎（2）若b=2，，求△ABC的面积．‎ ‎18．（12分）在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E，F分别是边CD，CB的中点，AC∩EF=O，沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接PA，PB，PD，得到如图的五棱锥，且．‎ ‎（1）求证：BD⊥平面POA；‎ ‎（2）求二面角B﹣AP﹣O的余弦值．‎ ‎19．（12分）“微信运动”已成为当下热门的健身方式，小王的微信朋友圈内也有大量好友参与了“微信运动”，他随机选取了其中的40人（男、女各20人），记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：‎ 步数 性别 ‎0～2000‎ ‎2001～5000‎ ‎5001～8000‎ ‎8001～10000‎ ‎＞10000‎ 男 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎8‎ 女 ‎0‎ ‎2‎ ‎10‎ ‎6‎ ‎2‎ ‎（1）已知某人一天的走路步数超过8000步被系统评定“积极型”，否则为“懈怠型”，根据题意完成下面的2×2列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？‎ 积极型 懈怠型 总计 男 ‎　 　‎ ‎　 　‎ ‎　 　‎ 女 ‎　 　‎ ‎　 　‎ ‎　 　‎ 总计 ‎　 　‎ ‎　 　‎ ‎　 　‎ 附：，‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎（2）若小王以这40位好友该日走路步数的频率分布来估计其所有微信好友每日走路步数的概率分布，现从小王的所有微信好友中任选2人，其中每日走路不超过5000步的有X人，超过10000步的有Y人，设ξ=|X﹣Y|，求ξ的分布列及数学期望．‎ ‎20．（12分）已知点C为圆（x+1）2+y2=8的圆心，P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP上，且有点A（1，0）和AP上的点M，满足•=0，=2．‎ ‎（Ⅰ）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）若斜率为k的直线 l与圆x2+y2=1相切，直线 l与（Ⅰ）中所求点Q的轨迹交于不同的两点F，H，O是坐标原点，且≤•≤时，求k的取值范围．‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）=aex+x2﹣bx（a，b∈R，e=2.71828…是自然对数底数），其导函数为y=f'（x）．‎ ‎（1）设b=0，若函数y=f（x）在R上有且只有一个零点，求a的取值范围；‎ ‎（2）设b=2，且a≠0，点（m，n）（m，n∈R）是曲线y=f（x）上的一个定点，是否存在实数x0（x0≠m），使得成立？证明你的结论．‎ ‎　‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎22．（10分）已知圆锥曲线C：（α为参数）和定点A（0，），F1、F2是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求直线AF2的直角坐标方程；‎ ‎（2）经过点F1且与直线AF2垂直的直线l交此圆锥曲线于M、N两点，求||MF1|﹣|NF1||的值．‎ ‎　‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎23．已知函数f（x）=m﹣|x﹣1|﹣|x+1|．‎ ‎（1）当m=5时，求不等式f（x）＞2的解集；‎ ‎（2）若函数y=x2+2x+3与y=f（x）的图象恒有公共点，求实数m的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2018年四川省成都七中高考数学一诊试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）已知集合A={x|x＜a}，B={x|x2﹣3x+2＜0}，若A∩B=B，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．a≤1 B．a＜1 C．a≥2 D．a＞2‎ ‎【解答】解：由题意，集合A={x|x＜a}，B={x|x2﹣3x+2＜0}={x|1＜x＜2}，‎ ‎∵A∩B=B，‎ ‎∴B⊆A，‎ 则：a≥2．‎ ‎∴实数a的取值范围[2，+∞）．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）复数z=（i为虚数单位）的虚部为（　　）‎ A．1 B．i C．﹣2i D．﹣2‎ ‎【解答】解：∵复数z===1﹣2i，故此复数的虚部为﹣2，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）“直线m与平面α内无数条直线平行”是“直线m∥平面α”的（　　）‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【解答】解：由“直线m∥平面α”，可得“直线m与平面α内无数条直线平行”，反之不成立．‎ ‎∴“直线m与平面α内无数条直线平行”是“直线m∥‎ 平面α”的必要不充分条件．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）设实数x，y满足约束条件，则目标函数的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：由约束条件作出可行域如图，‎ 联立，得A（1，﹣1），‎ 联立，得B（1，3）．‎ 由=，而．‎ ‎∴目标函数的取值范围是[，]．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：‎ 卦名 符号 表示的二进制数 表示的十进制数 坤 ‎000‎ ‎0‎ 震 ‎001‎ ‎1‎ 坎 ‎010‎ ‎2‎ 兑 ‎011‎ ‎3‎ 依此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是（　　）‎ A．18 B．17 C．16 D．15‎ ‎【解答】解：由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符合“”表示二进制数的010001，‎ 转化为十进制数的计算为1×20+0×21+0×22+0×23+1×24+0×25=17．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）在区间[1，5]随机地取一个数m，则方程m2x2+4y2=1表示焦点在y轴上的椭圆的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：若方程m2x2+4y2=1表示焦点在y轴上的椭圆，‎ 则m2＞4，解得：m＞2，‎ 故满足条件的概率是p==，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）已知．则m=（　　）‎ A．﹣6或1 B．﹣1或6 C．6 D．1‎ ‎【解答】解：∵已知===，‎ 求得m=﹣6，或m=1，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）已知S为执行如图所示的程序框图输出的结果，则二项式（S﹣）6的展开式中常数项的系数是（　　）‎ A．﹣20 B．20 C．﹣ D．60‎ ‎【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下：‎ i=0，s=1，i=1，i＜4，是，s==﹣1；‎ i=2，2＜4，是，s==3；‎ i=3，3＜4，是，s==；‎ i=4，4＜4，否，退出循环，输出s的值为．‎ ‎∴二项式（﹣）6的展开式中的通项是 Tr+1=•（）6﹣r•（﹣）r=（﹣1）r••（）6﹣2r•x3﹣r；‎ 令3﹣r=0，得r=3；‎ ‎∴常数项是T4=（﹣1）3••（）0=﹣20．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）是偶函数，且当x∈[0，1]时，f（x）=x（3﹣2x），则f（）=（　　）‎ A． B．﹣ C．﹣1 D．1‎ ‎【解答】解：∵y=f（x）是定义在R上的奇函数，‎ ‎∴f（﹣x）=﹣f（x），‎ ‎∵函数y=f（x+1）是定义在R上的偶函数，‎ ‎∴f（﹣x+1）=f（x+1）=﹣f（x﹣1），f（x+2）=﹣f（x），可得f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x）．‎ 则f（x）的周期是4，‎ ‎∴f（）=f（4×4﹣）=f（﹣）=﹣f（）=﹣[]=﹣1，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）已知函数f（x）=ln+，g（x）=ex﹣2，若g（m）=f（n）成立，则n﹣m的最小值为（　　）‎ A．1﹣ln2 B．ln2 C．2﹣3 D．e2﹣3‎ ‎【解答】解：不妨设g（m）=f（n）=t，‎ ‎∴em﹣2=ln+=t，（t＞0）‎ ‎∴m﹣2=lnt，m=2+lnt，n=2•e 故n﹣m=2•e﹣2﹣lnt，（t＞0）‎ 令h（t）=2•e﹣2﹣lnt，（t＞0），‎ h′（t）=2•e﹣，易知h′（t）在（0，+∞）上是增函数，且h′（）=0，‎ 当t＞时，h′（t）＞0，‎ 当0＜t＜时，h′（t）＜0，‎ 即当t=时，h（t）取得极小值同时也是最小值，‎ 此时h（）=2•e﹣2﹣ln=2﹣2+ln2=ln2，即n﹣m的最小值为ln2；‎ 故选：B ‎　‎ ‎11．（5分）在直角坐标平面xOy上的一列点A1（1，a1），A2（2，a2），…，An（2，an），…，简记为{An}若由构成的数列{bn}满足bn+1＞bn，n=1，2，…，其中为方向与y轴正方向相同的单位向量，则称{An}为T点列．有下列说法 ‎①，为T点列；‎ ‎②若{An}为T点列，且点A2在点A1的右上方．任取其中连续三点Ak、Ak+1、Ak+2，则△AkAk+1Ak+2可以为锐角三角形；‎ ‎③若{An}为T点列，正整数若1≤m＜n＜p＜q，满足m+q=n+p，则aq﹣ap≥（q﹣p）bp；‎ ‎④若{An}为T点列，正整数若1≤m＜n＜p＜q，满足m+q=n+p，则．‎ 其中，正确说法的个数为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【解答】解：在①中，由题意可知，‎ ‎∴=﹣，∴bn+1＞bn，∴{An}是T点列，故①正确；‎ 在②中，在△AkAk+1Ak+2中，=（﹣1，ak﹣ak+1），=（1，ak+2﹣ak+1），‎ ‎•=﹣1+（ak+2﹣ak+1）（ak﹣ak+1），‎ ‎∵点A2在点A1的右上方，∴b1=a2﹣a1＞0，‎ ‎∵{An}为T点列，∴bn≥b1＞0，‎ ‎∴（ak+2﹣ak+1）（ak﹣ak+1）=﹣bk+1bk＜0，∴•＜0，‎ ‎∴∠AkAk+1Ak+2为钝角，∴△AkAk+1Ak+2为钝角三角形，故②错误；‎ 在③中，An（n，an），An+1（n+1，an+1），‎ ‎∴=（1，an+1﹣an）．‎ 又∵=（0，1），∴bn=an+1﹣an．‎ ‎∵1≤m，且m+q=n+p．∴q﹣p=n﹣m＞0．‎ ‎∴aq﹣qp=aq﹣qq﹣1+aq﹣1﹣aq﹣2+…+ap+1﹣ap=bq﹣1+bq﹣2+…+bp．‎ ‎∵{An}为T点列，∴bn+1＞bn．‎ ‎∴bq﹣1+bq﹣2+…+bm=（q﹣p）bp．即aq﹣ap≥（q﹣p）bp．故③正确；‎ 在④中，∵1≤m＜n＜p＜q，m+q=n+p，∴q﹣p=n﹣m＞0，（1）‎ aq﹣ap=aq﹣aq﹣1+aq﹣1﹣aq﹣2+…+ap+1﹣ap=bq﹣1+bq﹣2+…+bp≥（q﹣p）bp，（2）‎ 同理an﹣am=bn﹣1+bn﹣2+…+bm≤（n﹣m）bn﹣1，（3）‎ 由于{An}为T点列，于是bp＞bn﹣1，（4）‎ 由（1）、（2）、（3）、（4）可推得aq﹣ap＞an﹣am，‎ ‎∴aq﹣an＞ap﹣am，即．故④正确．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）已知F1，F2是双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M，与双曲线交于点N，且M，N均在第一象限，当直线MF1∥ON时，双曲线的离心率为e，若函数f（x）=x2+2x﹣，则f（e）=（　　）‎ A．1 B． C．2 D．‎ ‎【解答】解：双曲线的c2=a2+b2，e=，‎ 双曲线的渐近线方程为y=±x，‎ 与圆x2+y2=c2联立，解得M（a，b），‎ 与双曲线（a＞0，b＞0）联立，解得，‎ ‎∵直线MF1与直线ON平行时，即有，‎ 即（a+c）2（c2﹣a2）=a2（2c2﹣a2），‎ 即有c3+2ac2﹣2a2c﹣2a3=0，‎ ‎∴e3+2e2﹣2e﹣2=0，即e2+2e﹣=2，‎ ‎∴f（e）=e2+2e﹣=2，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．（5分）抛物线y2=ax（a＞0）上的点到焦点F的距离为2，则a=　2　．‎ ‎【解答】解：抛物线的标准方程：y2=ax，焦点坐标为（，0），准线方程为x=﹣，‎ 由抛物线的焦半径公式|PF|=x0+=+=2，解得：a=2，‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）已知递减等差数列{an}中，a3=﹣1，a4为a1，﹣a6等比中项，若Sn为数列{an}的前n项和，则S7的值为　﹣14　．‎ ‎【解答】解：设递减等差数列{an}的公差d＜0，a3=﹣1，a4为a1，﹣a6等比中项，‎ ‎∴a1+2d=﹣1，=﹣a6×a1，即=﹣（a1+5d）×a1，‎ 联立解得：a1=1，d=﹣1．‎ 则S7=7﹣=﹣14．‎ 故答案为：﹣14．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）在四面体S﹣ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，SA=SC=2，二面角S﹣AC﹣B的余弦值是﹣，则该四面体的外接球的表面积是　6π　．‎ ‎【解答】解：由AB⊥BC，得△ABC的外接圆的圆心O′为AC中点，‎ 连接SO′，BO′，由SA=SC和AB=BC有SO′⊥AC，BO′⊥AC 而四面体外接球的球心O在平面SO′B内，连接OO′，有OO′⊥底面ABC 将平面SO′B取出，则BO′=1，SO′=，‎ 用余弦定理可得cos∠SO′B=﹣，∴SB=，‎ 作SB的中垂线，过O′作BO′的垂线，两者必相交于O，用余弦定理，cos∠O′BS=，‎ 如图，BE=O′B÷cos∠O′BS=，‎ 也就是D，E，O三点重合，‎ 外接圆的半径R=OB=，‎ ‎∴球的表面积是4πR2=6π 故答案为：6π．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）设函数f（x）=，g（x）=，对任意x1，x2∈（0，+∞），不等式≤恒成立，则正数k的取值范围是　　．‎ ‎【解答】解：对任意x1，x2∈（0，+∞），不等式≤恒成立，‎ 则等价为≤恒成立，‎ f（x）==x+≥2=2，当且仅当x=，即x=1时取等号，即f（x）的最小值是2，‎ 由g（x）=，则g′（x）==，‎ 由g′（x）＞0得0＜x＜1，此时函数g（x）为增函数，‎ 由g′（x）＜0得x＞1，此时函数g（x）为减函数，‎ 即当x=1时，g（x）取得极大值同时也是最大值g（1）=，‎ 则的最大值为=，‎ 则由≥，‎ 得2ek≥k+1，‎ 即k（2e﹣1）≥1，‎ 则，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（12分）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2cosC（acosC+ccosA）+b=0．‎ ‎（1）求角C的大小；‎ ‎（2）若b=2，，求△ABC的面积．‎ ‎【解答】解：（1）△ABC中，∵2cosC（acosC+ccosA）+b=0，‎ 由正弦定理可得2cosC（sinAcosC+sinCcosA）+sinB=0，‎ ‎∴2cosCsin（A+C）+sinB=0，‎ 即2cosCsinB+sinB=0，‎ 又0°＜B＜180°，‎ ‎∴sinB≠0，‎ ‎∴，‎ 即C=120°．‎ ‎（2）由余弦定理可得，‎ ‎ 又a＞0，a=2，‎ ‎∴，‎ ‎∴△ABC的面积为．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E，F分别是边CD，CB的中点，AC∩EF=O，沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接PA，PB，PD，得到如图的五棱锥，且．‎ ‎（1）求证：BD⊥平面POA；‎ ‎（2）求二面角B﹣AP﹣O的余弦值．‎ ‎【解答】证明：（1）∵点E，F分别为CD，CB的中点，∴BD∥EF，‎ ‎∵菱形ABCD的对角线互相垂直，‎ ‎∴BD⊥AC，∴EF⊥AC，∴EF⊥AO，EF⊥PO，‎ ‎∵AO⊂平面POA，PO⊂平面POA，AO∩PO=O，‎ ‎∴EF⊥平面POA，∴BD⊥平面POA．‎ 解：（2）设AO∩BD=H，连接BO，∵∠DAB=60°，∴△ABD为等边三角形，‎ ‎∴，‎ 在Rt△BHO中，，‎ 在△PBO中，BO2+PO2=10=PB2，∴PO⊥BO，‎ ‎∵PO⊥EF，EF∩BO=O，EF⊂平面BFED，∴PO⊥平面BFED，‎ 以O为原点，OF所在直线为x轴，AO所在直线y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，‎ 则．‎ ‎∴，‎ 设平面PAB的法向量为=（x，y，z），‎ 则，取y=1，得=（﹣），‎ ‎∵BD⊥平面POA，AO∩BD=H，∴平面PAO的一个法向量为=（﹣2，0，0），‎ 设二面角B﹣AP﹣O的平面角为θ，‎ 则cosθ===，‎ ‎∴二面角B﹣AP﹣O的余弦值为．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）“微信运动”已成为当下热门的健身方式，小王的微信朋友圈内也有大量好友参与了“微信运动”，他随机选取了其中的40人（男、女各20人），记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：‎ 步数 性别 ‎0～2000‎ ‎2001～5000‎ ‎5001～8000‎ ‎8001～10000‎ ‎＞10000‎ 男 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎8‎ 女 ‎0‎ ‎2‎ ‎10‎ ‎6‎ ‎2‎ ‎（1）已知某人一天的走路步数超过8000步被系统评定“积极型”，否则为“懈怠型”，根据题意完成下面的2×2列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？‎ 积极型 懈怠型 总计 男 ‎　14　‎ ‎　6　‎ ‎　20　‎ 女 ‎　8　‎ ‎　12　‎ ‎　20　‎ 总计 ‎　20　‎ ‎　20　‎ ‎　40　‎ 附：，‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎（2）若小王以这40位好友该日走路步数的频率分布来估计其所有微信好友每日走路步数的概率分布，现从小王的所有微信好友中任选2人，其中每日走路不超过5000步的有X人，超过10000步的有Y人，设ξ=|X﹣Y|，求ξ的分布列及数学期望．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）根据题意完成下面的2×2列联表：‎ 积极型 懈怠型 总计 男 ‎14‎ ‎6‎ ‎20‎ 女 ‎8‎ ‎12‎ ‎20‎ 总计 ‎20‎ ‎20‎ ‎40‎ 解得，‎ 故没有95%以上的把握认为二者有关．‎ ‎（Ⅱ）由题知，小王的微信好友中任选一人，其每日走路步数不超过5000步的概率为，超过10000步的概率为，‎ 且当X=Y=0或X=Y=1时，ξ=0，，‎ 当X=1，Y=0或X=0，Y=1时，ξ=1，，‎ 当X=2，Y=0或X=0，Y=2时，ξ=2，，‎ ‎∴ξ的分布列为：‎ ‎ ξ ‎ 0‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ Eξ==．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）已知点C为圆（x+1）2+y2=8的圆心，P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP上，且有点A（1，0）和AP上的点M，满足•=0，=2．‎ ‎（Ⅰ）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）若斜率为k的直线 l与圆x2+y2=1相切，直线 l与（Ⅰ）中所求点Q的轨迹交于不同的两点F，H，O是坐标原点，且≤•≤时，求k的取值范围．‎ ‎【解答】解：（I）由题意知MQ中线段AP的垂直平分线，∴，‎ ‎∴点Q的轨迹是以点C，A为焦点，焦距为2，长轴为的椭圆，，‎ 故点Q的轨迹方程是．‎ ‎（II）设直线l：y=kx+b，F（x1，y1），H（x2，y2）‎ 直线l与圆x2+y2=1相切 联立，（1+2k2）x2+4kbx+2b2﹣2=0，‎ ‎△=16k2b2﹣4（1+2k2）2（b2﹣1）=8（2k2﹣b2+1）=8k2＞0，可得k≠0，‎ ‎∴，‎ ‎===，‎ ‎∴‎ 为所求．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）=aex+x2﹣bx（a，b∈R，e=2.71828…是自然对数底数），其导函数为y=f'（x）．‎ ‎（1）设b=0，若函数y=f（x）在R上有且只有一个零点，求a的取值范围；‎ ‎（2）设b=2，且a≠0，点（m，n）（m，n∈R）是曲线y=f（x）上的一个定点，是否存在实数x0（x0≠m），使得成立？证明你的结论．‎ ‎【解答】解（1）当b=0时，f（x）=aex+x2，由题意aex+x2=0只有一解．‎ 由aex+x2=0得，令，则，令G'（x）=0得x=0或x=2‎ 当x≤0时，G'（x）≤0，G（x）单调递减，G（x）的取值范围为[0，+∞）；‎ 当0＜x＜2时，G'（x）＞0，G（x）单调递增，G（x）的取值范围为；‎ 当x≥2时，G'（x）≤0，G（x）单调递减，G（x）的取值范围为；‎ 由题意，得﹣a=0或，从而a=0或，‎ 所以，当a=0或时，函数f（x）只有一个零点．‎ ‎（2）f（x）=aex+x2﹣2x，f'（x）=aex+2x﹣2，‎ 假设存在，则有 即，‎ ‎∴，∵a≠0，∴，‎ 不妨设t=x0﹣m＞0，则，两边同除em，得（*），‎ 令，‎ 令，‎ ‎∴h（t）在（0，+∞）上单调递增，‎ ‎∵h（0）=0，∴h（0）＞0对t∈（0，+∞）恒成立，‎ ‎∴g（t）在（0，+∞）上单调递增 又g（0）=0，∴g（t）＞0对t∈（0，+∞）恒成立，‎ ‎∴方程te=et﹣1无解，‎ ‎∴不存在实数x0（x0≠m），使得成立．‎ ‎　‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎22．（10分）已知圆锥曲线C：（α为参数）和定点A（0，），F1、F2是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求直线AF2的直角坐标方程；‎ ‎（2）经过点F1且与直线AF2垂直的直线l交此圆锥曲线于M、N两点，求||MF1|﹣|NF1||的值．‎ ‎【解答】解：（1）由圆锥曲线C：（α为参数）化为，‎ 可得F2（1，0），‎ ‎∴直线AF2的直角坐标方程为：，化为y=．‎ ‎（2）设M（x1，y1），N（x2，y2）．‎ ‎∵直线AF2的斜率为，∴直线l的斜率为．‎ ‎∴直线l的方程为：，‎ 代入椭圆的方程可得：=12，‎ 化为=0，‎ t1+t2=，‎ ‎∴||MF1|﹣|NF1||=|t1+t2|=．‎ ‎　‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎23．已知函数f（x）=m﹣|x﹣1|﹣|x+1|．‎ ‎（1）当m=5时，求不等式f（x）＞2的解集；‎ ‎（2）若函数y=x2+2x+3与y=f（x）的图象恒有公共点，求实数m的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）当m=5时，，‎ 由f（x）＞2的不等式的解集为．‎ ‎（2）由二次函数y=x2+2x+3=（x+1）2+2，‎ 该函数在x=﹣1处取得最小值2，‎ 因为，在x=﹣1处取得最大值m﹣2，‎ 所以要使二次函数y=x2+2x+3与函数y=f（x）的图象恒有公共点，‎ 只需m﹣2≥2，即m≥4．‎ ‎　‎