上海市2001中考数学试题分类解析专题9三角形

上海市2001中考数学试题分类解析专题9三角形

‎2001-2012年上海市中考数学试题分类解析汇编（12专题）‎ 专题9：三角形 锦元数学工作室 编辑 一、 选择题 ‎1.（上海市2003年3分）已知AC平分∠PAQ，如图，点B、B’分别在边AP、AQ上，如果添加一个条件，即可推出AB＝AB’，那么该条件可以是【 】‎ ‎（A）BB’⊥AC （B）BC＝ B’C （C）∠ACB＝∠AC B’ （D）∠ABC＝∠AB’ C ‎【答案】A，C，D。‎ ‎【考点】全等三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】首先分析选项添加的条件，再根据判定方法判断：‎ 添加A选项中条件可用ASA判定△ACB≌△ACB’，从而推出AB＝AB’；‎ 添加B选项中条件无法判定△ACB≌△ACB’，推不出AB＝AB’；‎ 添加C选项中条件可用ASA判定△ACB≌△ACB’，从而推出AB＝AB’；‎ 添加D选项以后是AAS判定△ACB≌△ACB’，从而推出AB＝AB’。‎ 故选A，C，D。[来源:学。科。网Z。X。X。K]‎ ‎2.（上海市2004年3分）如图所示，在△ABC中，AB=AC，BD平分，那么在下列三角形中，与△ABC相似的三角形是【 】‎ ‎ A. △DBE B. △ADE ‎ C. △ABD D. △BDC ‎【答案】D。‎ ‎【考点】相似三角形的判定。‎ ‎【分析】∵DE∥BC，∴△ABC∽△AED，易得各个角的度数，发现△BDC中有两个角与△ABC中两个角对应相等，所以它们相似．∴与△ABC相似的三角形是△BDC。故选D。‎ ‎3.（上海市2005年3分）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，那么下列各式中，正确的 是【 】‎ A、　　　B、　　　C、　　　D、‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】锐角三角函数的定义，勾股定理。‎ ‎【分析】Rt△ABC中，根据勾股定理就可以求出斜边AB，根据三角函数的定义就可以解决：‎ 由勾股定理知，，‎ ‎∴sinB=，cosB=，，cotB=。故选C。‎ ‎4.（上海市2005年3分）在下列命题中，真命题是【 】‎ ‎　　A、两个钝角三角形一定相似　　　　　B、两个等腰三角形一定相似　　　　　‎ C、两个直角三角形一定相似　　　　　D、两个等边三角形一定相似 ‎6.（上海市2010年4分）下列命题中，是真命题的为【 】‎ A.锐角三角形都相似 B.直角三角形都相似 C.等腰三角形都相似 D.等边三角形都相似 ‎【答案】D。‎ ‎【考点】相似三角形的判定。‎ ‎【分析】根据相似三角形的判定方法进行解答：‎ ‎ A、锐角三角形的三个内角都小于90°，但不一定都对应相等，故A错误；‎ ‎ B、直角三角形的直角对应相等，但两组锐角不一定对应相等，故B错误；‎ ‎ C、等腰三角形的顶角和底角不一定对应相等，故C错误；‎ ‎ D、所有的等边三角形三个内角都对应相等（都是60°），所以它们都相似，故D正确。‎ 故选D。‎ ‎7.（上海市2011年4分）下列命题中，真命题是【 】．‎ ‎(A)周长相等的锐角三角形都全等； (B) 周长相等的直角三角形都全等；‎ ‎(C)周长相等的钝角三角形都全等； (D) 周长相等的等腰直角三角形都全等．‎ ‎2. （上海市2002年2分）在离旗杆‎20米处的地方用测角仪测得旗杆顶的仰角为α，如果测角仪高为‎1.5米，那么旗杆的高为 ▲ _米，（用含α的三角比表示）．‎ ‎【答案】1.5+20tanα。‎ ‎【考点】锐角三角函数的应用。‎ ‎【分析】由正切函数易得旗杆的高为1.5+20tanα。‎ ‎3.（上海市2002年2分）在△ABC中，如果AB＝AC＝‎5cm，BC＝‎8cm，那么这个三角形的重心G到BC的距离是 ▲ _cm．‎ ‎【答案】1。‎ ‎【考点】勾股定理，三角形的重心，等腰三角形的性质。‎ ‎【分析】根据等腰三角形的三线合一的性质，知三角形的重心在BC边的高上。根据勾股定理求得该高，再根据三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍，求得G到BC的距离：‎ ‎∵AB=AC=‎5cm，∴△ABC是等腰三角形。∴三角形的重心G在BC边的高。‎ 根据勾股定理，得BC边的高为‎3 cm。‎ 根据三角形的重心性质，G到BC的距离是‎1cm。‎ ‎4.（上海市2003年2分）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，CD平分∠ACB，DE∥BC，如果AC＝10，AE＝4，那么BC＝ ▲ 。‎ ‎【答案】15。‎ ‎【考点】相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】首先利用角平分线的性质和两直线平行，内错角相等的性质求证出△EDC是等腰三角形，然后再根据相似三角形对应边的比相等求解：‎ ‎∵CD平分∠ACB，∴∠ECD=∠DCB。‎ 又∵DE∥BC，∴∠EDC=∠DCB。‎ ‎∴∠EDC=∠ECD。∴△EDC是等腰三角形，即ED=EC=AC－AE=10－4=6。‎ ‎∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC。∴，即。∴BC=15。‎ ‎5.（上海市2004年2分）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE//BC，AD=1，BD=2，则=‎ ‎ ▲ 。‎ ‎【答案】1：9。‎ ‎【考点】相似三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】∵在△ABC中，若D、E分别是边AB、AC上的点，且DE∥BC，∴△ADE∽△ABC。‎ ‎∵AD=1，DB=2，∴AD：AB=1：3。∴=1：9。‎ ‎6.（上海市2004年2分）在△ABC中， ▲ （用b和θ的三角比表示）。‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】解直角三角形。‎ ‎【分析】根据三角函数定义求解：‎ 在△ABC中，∠A=90°，BC为斜边，‎ ‎∴。‎ ‎7.（上海市2004年2分） 某山路的路面坡度，沿此山路向上前进‎200米，升高了 ▲ 米。‎ ‎【答案】10。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），勾股定理。‎ ‎【分析】根据垂直高度与水平宽度的比得到垂直高度与斜坡的比，代入相应的数值计算求解：‎ ‎∵坡面坡度，∴山坡的垂直距离：山坡的水平距离=。‎ ‎∴由勾股定理得，山坡的坡长：山坡的垂直距离=20：1。‎ ‎∵沿山路行进‎200米，坡长=‎200米．‎ ‎∴山坡的垂直距离应为‎10米，即升高了‎10米。‎ ‎8.（上海市2004年2分）在△ABC中，点G为重心，若BC边上的高为6，则点G到BC边的距离为 ▲ 。‎ ‎【答案】2。‎ ‎【考点】三角形的重心。‎ ‎【分析】连接AG并延长交BC与N，过G作GM⊥BC于M，‎ ‎∵点G是重心，∴AG=2GN，‎ ‎∴ 3，因而GM=2，则点G到BC的距离为2。‎ ‎9.（上海市2004年2分） 直角三角形的两条边长分别为6和8，那么这个三角形的外接圆半径等于 ‎ ▲ 。‎ ‎【答案】5。‎ ‎【考点】三角形的外接圆与外心，勾股定理。‎ ‎【分析】根据勾股定理，得斜边是10，再根据其外接圆的半径是斜边的一半，得出其外接圆的半径：‎ ‎∵直角边长分别为6和8，∴斜边是10。‎ ‎∴这个直角三角形的外接圆的半径为5。‎ ‎10,（上海市2005年3分）如图，自动扶梯AB段的长度为‎20米，‎ 倾斜角A为α，高度BC为 ▲ 米(结果用含α的三角比表示). ‎ ‎【答案】20sinα。‎ ‎【考点】直角三角形的应用（坡度坡角问题）。‎ ‎【分析】利用所给角的正弦函数求解：∵sinα=，∴BC=AB•sinα=20sinα。‎ ‎11.（上海市2006年3分）已知在△ABC中，AB=A1B1 ，∠A=∠A1，要使△ABC≌△A1B‎1C1，还需 添加一个条件，这个条件可以是 ▲ 。‎ ‎【答案】AC=A‎1C1或∠B=∠B1或∠C=∠C1（答案不唯一）。‎ ‎【考点】全等三角形的判定。‎ ‎【分析】根据全等三角形SAS的判定，当AC=A‎1C1时可得△ABC≌△A1B‎1C1；根据全等三角形ASA、AAS的判定，当∠B=∠B1或∠C=∠C1时可得△ABC≌△A1B‎1C1。‎ ‎12.（上海市2008年4分）如果两个相似三角形的相似比是，那么这两个三角形面积的比是 ▲ ．‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】相似三角形的性质。‎ ‎【分析】根据相似三角形面积的比是相似比平方的性质，得这两个三角形面积的比是。‎ ‎13.（上海市2010年4分）如图，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD =∠ABC，若AC = 2，AD = 1，则DB = ▲ .‎ ‎【答案】3。‎ ‎【考点】相似三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】由于∠ACD =∠ABC，∠BAC =∠CAD,所以△ADC∽△ACB，即：,所以，则AB=4，所以BD=AB-AD=3。‎ ‎14.（2012上海市4分）在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠AED=∠B，如果AE=2，△ADE的面积为4，四边形BCDE的面积为5，那么AB的长为 ▲ ．‎ ‎【答案】AB=3。‎ ‎【考点】相似三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】∵∠AED=∠B，∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB。∴。‎ ‎∵△ADE的面积为4，四边形BCDE的面积为5，∴△ABC的面积为9。‎ 又∵AE=2，∴，解得：AB=3。‎ ‎15.（2012上海市4分）我们把两个三角形的中心之间的距离叫做重心距，在同一个平面内有两个边长相等的等边三角形，如果当它们的一边重合时，重心距为2，那么当它们的一对角成对顶角时，重心距为 ‎ ▲ ．‎ ‎【答案】4。‎ ‎【考点】三角形的重心，等边三角形的性质。‎ ‎【分析】设等边三角形的中线长为a，则其重心到对边的距离为：，‎ ‎ ∵它们的一边重合时（图1），重心距为2，‎ ‎∴，解得a=3。‎ ‎∴当它们的一对角成对顶角时（图2）重心=。‎ 三、解答题 ‎1. （2001上海市7分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，BD＝4，AD＝BC，cos∠ADC＝．求：（1）DC的长；（2）sin B的值．‎ ‎【答案】解：（1）∵在Rt△ACD中，cos∠ADC=‎ ‎∴可以设DC=3x，AD=5x。‎ 根据勾股定理得到AC=4x，则BC=AD=5x。‎ ‎∵BD=4，∴5x－3x=4，解得x=2。∴DC=3x=6。‎ ‎（2）由（1）可得AD=5x=10，‎ ‎ 在Rt△ACD中，根据勾股定理得AC=8。‎ 在Rt△ABC中，由AC=8，BC=10，根据勾股定理得到AB=2。‎ ‎∴sinB=。‎ ‎【考点】解直角三角形，锐角三角函数定义，勾股定理。‎ ‎【分析】根据cos∠ADC＝就是已知CD：AD=3：5，因而可以设CD=3x，AD=5x，AC=4x．根据BD=4，就可以得到关于x的方程，就可以求出x，求出各线段的长度，求出sinB的值。‎ ‎2.（上海市2002年7分）如图，已知四边形ABCD中，BC＝CD＝DB，∠ADB＝90°，cos∠ABD＝，求S△ABD︰S△BCD．‎ ‎【答案】解：∵cos∠ABD＝， ‎ ‎∴设AB＝5k BD＝4k（k＞0），得AD＝3k。‎ ‎　　 ∴S△ABD＝AD·BD＝6k2 。‎ 又∵△BCD是等边三角形，‎ ‎∴S△BCD＝BD2＝4k2。‎ ‎　 　∴S△ABD︰S△BCD＝6k2︰4k2＝︰2‎ ‎【考点】解直角三角形。‎ ‎【分析】‎ 设BD=4x，则可以得到AB，AD的长，从而利用三角形的面积公式分别求得两个三角形的面积，从而就可求得面积比。‎ ‎3.（上海市2003年7分）将两块三角板如图放置，其中∠C＝∠EDB＝90º，∠A＝45º，∠E＝30º，AB＝DE＝6。求重叠部分四边形DBCF的面积。‎ ‎【答案】解：在△EDB中，∵∠EDB=90°，∠E=30°，DE=6，‎ ‎∴DB=DE•tan30°=6×=。∴AD=AB－DB=6－。‎ 又∵∠A=45°，∠AFD=45°，得FD=AD。‎ ‎∴S△ADF=AD2=×（6－）2=24－12。‎ 在等腰直角三角形ABC中，斜边AB=6，∴AC=BC=3。‎ ‎∴S△ABC=AC2=9，‎ ‎∴S四边形DBCF=S△ABC－S△ADF=9－（24－12）=12－15。‎ ‎【考点】解直角三角形。‎ ‎【分析】观察可看出，所求四边形的面积等于等腰直角三角形ABC的面积减去S△ADF，从而我们只要求出这两个三角形的面积即可。综合利用解直角三角形，直角三角形的性质和三角函数的灵活运用来解答。 ‎ ‎4.（上海市2003年10分）已知：如图，△ABC中，AD是高，CE是中线，DC＝‎ BE，DG⊥CE，G是垂足。求证：（1）G是CE的中点； （2）∠B＝2∠BCE。‎ ‎【答案】证：（1）连接DE。‎ ‎ ∵∠ADB=900，点E是AB的中点, ∴DE=AE=BE。‎ ‎ 又∵DC=BE，∴DC=DE。‎ ‎ 又∵DG⊥CE，∴点G是CE的中点。‎ ‎ （2）∵DE=DC，∴∠DCE=∠DEC。‎ ‎ ∴∠EDB=∠DEC＋∠DCE=2∠BCE。‎ ‎ 又∵DE=BE，∴∠B=∠EDB。∴∠B=2∠BCE。‎ ‎【考点】直角三角形斜边上中线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质。‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接DE，根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半的性质可得DE=AE=BE，由DC=BE可得△CDE是等腰三角形；由DG⊥CE，根据等腰三角形三线合一的性质可得点G是CE的中点。‎ ‎ （2）根据等腰三角形等边对等角的性质和三角形的外角等于和它不相邻两内角之和的性质即可证得。‎ ‎5.（上海市2005年12分）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，‎ BC＝3，O是边AC上的一个动点，以点O为圆心作半圆，与边AB相切于点D，交线段OC于点E，作EP⊥ED，交射线AB于点P，交射线CB于点F。‎ （1） 如图，求证：△ADE∽△AEP；‎ （2） 设OA＝x，AP＝y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；‎ （3） 当BF＝1时，求线段AP的长.‎ ‎【答案】解：（1）证明：连接OD，‎ ‎ ∵AP切半圆于D，∴∠ODA=∠PED=90°。‎ ‎ 又∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED。‎ ‎ ∴∠ADE=∠ODE+∠ODA，∠AEP=∠OED+∠PED。‎ ‎ ∴∠ADE=∠AEP。‎ ‎ 又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△AEP。‎ ‎ （2）∵∠ABC＝90°，AB=4，BC=3，∴AC=5。‎ ‎ ∵△AOD∽△ACB，∴。∴OD=OA，AD=OA，‎ ‎ ∵△ADE∽△AEP，∴。‎ ‎ ∵AP=y，OA=x，AE=OE+OA=OD+OA=OA，‎ ‎ ∴，。‎ ‎ ∴y关于x的函数解析式为y=（0＜x≤）。‎ ‎ （3）分点B在CF上和在CF延长线上两种情况讨论：‎ ‎ 情况1：当点B在CF上，y=，BP=4－AP=4－，‎ ‎ ∵△PBF∽△PED，∴。‎ ‎ 又∵△ADE∽△AEP，∴。‎ ‎ ∴，即。 解得：x=。‎ ‎ ∴AP==2。‎ ‎ 情况2：如图，当点B在CF延长线上，‎ ‎ ∵∠CEF=900－∠AED=900－∠P=∠CFE，‎ ‎ ∴CE=CF=BC－BF=3－1=2。‎ ‎ 过点E作EG⊥BC，交BC于点G，‎ ‎ 则。‎ ‎ 解得，EG=，CG=。‎ ‎ ∴FG=FC－CG=2－。‎ ‎ 又∵，∴PB=，AP=AB+PB=4+2=6。‎ ‎ 综上所述，当BF＝1时，线段AP的长为2或6。‎ ‎【考点】切线的性质；根据实际问题列一次函数关系式；相似三角形的判定与性质。‎ ‎【分析】（1）证△ADE∽△AEP，两组对应角相等即可。连接OD，根据切线的性质，得∠ODA=90°，而∠ODE=∠OED，因此∠ADE和∠AEP都是90°加上一个等角，因此∠AEP=∠ADE；再加上两三角形的公共角∠A，即可证得两三角形相似。‎ ‎ （2）由△AOD∽△ACB，可得OD=OA，AD=OA；又由△ADE∽△AEP，可得y=。‎ 又∵以点O为圆心的半圆交线段OC于点E，∴0＜AE≤AC，即0＜x≤5，0＜x≤。‎ ‎ （3）分点B在CF上和在CF延长线上两种情况讨论即可。‎ ‎6.（上海市2006年10分）已知：如图，在中，是边上的高，为边的中点，，，．求（1）线段的长；（2）的值。‎ ‎【答案】解：（1）在中，，，，‎ ‎　　 　∴。∴。‎ ‎　　　 ∴.‎ ‎　　　 （2）在中，，.‎ ‎　　　 ∵是斜边上的中线，∴。‎ ‎　　　 ∴ 。∴ 。‎ ‎【考点】直角三角形斜边上的中线的性质，解直角三角形。‎ ‎【分析】（1）在中，根据已知条件求出边的长，再由的长，可以求出的长。 （2）根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，求出，从而求出的值即求出了的值。‎ ‎7.（上海市2007年10分）如图，在直角坐标平面内，为原点，点的坐标为，点在第一象限内，，．‎ 求：（1）点的坐标（6分）；（2）的值（4分）．‎ ‎【答案】解：（1）如图，作，垂足为，‎ ‎ 在中，∵，，‎ ‎ ∴。∴。∴点的坐标为。‎ ‎ （2）∵，，∴。‎ ‎ 在中，∵，∴。‎ ‎ ∴。‎ ‎【考点】解直角三角形，坐标与图形性质。‎ ‎【分析】作出恰当的辅助线，构成直角三角形，根据题中所给的条件，在直角三角形中解题，根据角的三角函数值与三角形边的关系，可求出各边的长，然后再代入三角函数进行求解．‎ ‎8.（上海市2009年12分）已知线段与相交于点，联结，为的中点，为的中点，联结（如图所示）．‎ ‎（1）添加条件，，‎ 求证：．‎ ‎（2）分别将 “”记为①，“”记为②，“”记为③，添加条件①、③，以②为结论构成命题1，添加条件②、③，以①为结论构成命题2．命题1是 命题，命题2是 命题（选择“真”或“假”填入空格）．‎ ‎【答案】解：（1）证明：∵，∴，即。‎ ‎ ∵为的中点，为的中点，∴。‎ ‎ 又 ∵，，‎ ‎ ∴。∴。‎ ‎ （2）真；假。‎ ‎【考点】等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，真假命题。‎ ‎【分析】（1）由等腰三角形等角对等边的判定，可得，从而由已知得，结合已知，根据可得。因此根据全等三角形对应边相等的性质可得。‎ ‎ （2）对于命题1，由于①、③是条件，可得，从而，得，因此根据等腰三角形等边对等角的性质可得②。所以命题1是真命题。‎ ‎ 对于命题2，由于②、③是条件，只满足 条件，构不成全等，可能相等可能互补。所以命题2是假命题。‎ ‎9.（上海市2010年10分）机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”，如图所示，“海宝”从圆心O出发，先沿北偏西67.4°方向行走‎13米至点A处，再沿正南方向行走‎14米 至点B处，最后沿正东方向行走至点C处，点B、C都在圆O上.（1）求弦BC的长；（2）求圆O的半径长.‎ ‎（本题参考数据：sin 67.4° = ，cos 67.4° = ，tan 67.4° = ）‎ ‎【答案】解：（1）过点O作OD⊥AB，则∠AOD+∠AON=,‎ ‎∴sin∠AOD=cos∠AON= ‎∴AD=AO×=5,OD=AO×sin 67.4° =AO× =12‎ ‎ 又∵沿正南方向行走‎14米至点B处，最后沿正东方向行走至点C处，‎ ‎∴AB∥NS，AB⊥BC。∴E点是BC的中点，且BE=DO=12。‎ ‎ ∴BC=24。‎ ‎（2）连接OB，则OE=BD=AB－AD=14－5=9。‎ 又在Rt△BOE中，BE=12， ‎ ‎∴， 即圆O的半径长为15 。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数，平行的性质，弦径定理，勾股定理。‎ ‎【分析】（1）作OD⊥AB，构造直角三角形AOD，应用锐角三角函数求出AD和OD。由已知，根据弦径定理可得E点是BC的中点，从而求得BC=24。‎ ‎ （2）连接OB，构造直角三角形OBE，应用勾股定理即可求得圆O的半径长。‎ ‎10.（上海市2010年14分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.半径为1的圆A与边AB相交于点D，与 边AC相交于点E，连结DE并延长，与线段BC的延长线交于点P.‎ ‎（1）当∠B＝30°时，连结AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长；‎ ‎（2）若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值；‎ ‎（3）若，设CE=x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式. ‎ ‎【答案】解：（1）∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝60°。‎ ‎ ∵AD=AE， ∴∠AED＝60°=∠CEP。∴∠EPC＝30°。‎ ‎ ∴△BDP为等腰三角形。‎ ‎ ∵△AEP∽△BDP，∴∠EAP=∠EPA=∠DBP=∠DPB=30°。‎ ‎ ∴AE=EP=1.‎ ‎ ∴在Rt△ECP中，EC=EP=。‎ ‎ （2）设BD=BC=x，则AB=x＋1‎ ‎ ∵AE=1，EC=2，∴AC=3。‎ ‎ 在 Rt△ABC中，由勾股定理得，AB2=AC2＋BC2，即（x＋1）2=32＋x2 。‎ ‎ 解得，x=4，即 BD=BC=4。‎ ‎ 过点D作DQ⊥AC于点Q，∵∠ACB＝90°，‎ ‎ ∴DQ∥BC。∴△ADQ∽△ABC。‎ ‎ ∴。‎ ‎ ∵AD=1，AB=5，AC=3，BC=4。‎ ‎ ∴。∴。∴。‎ ‎ 由DQ∥BC得，∠BPD=∠QDE，‎ ‎ ∴。‎ ‎ (3) 设AQ=，则QE=1－。‎ ‎ 过D点作DQ⊥AC于点Q，则△DQE∽△PCE。‎ ‎ ∴。∴‎ ‎ 在Rt△ADQ中，根据据勾股定理得，，‎ ‎ 即，解之得。‎ ‎ ∴AQ=，DQ=。‎ ‎ ∵△ADQ∽△ABC，∴。‎ ‎ ∵AQ=，AC=1＋x，AD=1，DQ=。‎ ‎ ∴，即。‎ ‎ ∴△ABC的周长。‎ ‎ 即：，其中x>0。‎ ‎【考点】等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，含300角直角三角形的性质，勾股定理，平行的性质，锐角三角函数定义，解方程。‎ ‎【分析】（1）由已知，证出△BDP为等腰三角形。由△AEP∽△BDP证出AE=EP=1和△ECP是含300角的直角三角形，根据300角所对边是斜边一半的性质得EC=EP=。‎ ‎ （2）Rt△ABC中，由勾股定理求得BD=BC=4。过点D作DQ⊥AC于点Q，根据相似三角形的判定和性质证得△ADQ∽△ABC，从而得到，求得，。根据平行线内错角相等的性质和锐角三角函数定义，得到。‎ ‎ （3）设AQ=，过D点作DQ⊥AC于点Q，则△DQE∽△PCE。根据相似三角形的性质和求得。 在Rt△ADQ中，根据据勾股定理得，从而求得AQ=，DQ=。由△ADQ∽△ABC，根据相似三角形的性质得，从而得到 ‎，即可求刘y关于x的函数关系式。‎ ‎11.（上海市2011年14分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30，AB＝50．点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于E．点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM＝EN，．‎ ‎（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；‎ ‎（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP＝，BN＝，求关于的函数关系式，并写出函数的定义域；‎ ‎（3）若△AME∽△ENB（△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应），求AP的长． ‎ ‎【答案】解：（1）∵∠ACB=90°，∴AC= 。‎ ‎∵CP⊥AB，∴ △ABC∽△CPB。∴ ，即。∴CP=24。‎ ‎∴CM=。‎ ‎（2）∵ ，∴设EP=12，则EM=13，PM=5。‎ ‎∵EM=EN，∴EN=13，PN=5。‎ ‎∵△AEP∽△ABC，∴ ，即 。∴=16，，∴BP=50－16，‎ ‎∴y=50－21，=50－21· ，=50－。‎ 由（1），当点E与点C重合时，AP=，‎ ‎∴函数的定义域是：0＜＜32。‎ ‎（3）①当点E在AC上时，如图2，由（2）知，AP=16，BN= y=50－，‎ EN=EM=13，AM=AP－MP=16－5=11。‎ ‎∵△AME∽△ENB，∴ ，即。∴。 ∴AP=16×=22。‎ ‎②当点E在BC上时，如图，设EP=12，则EM=13，MP=NP=5，‎ ‎∵△EBP∽△ABC，∴，即。∴BP=9。‎ ‎∴BN=9－5=4，AM=50－9－5=50－14。‎ ‎∵△AME∽△ENB，，即。‎ ‎∴。∴AP=50－9×=42。‎ 综上所述，AP的长为：22或42。 ‎ ‎【考点】勾股定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的应用。‎ ‎【分析】（1）根据已知条件得出AC的值，再根据CP⊥AB求出CP，从而得出CM的值。‎ ‎（2）根据EM＝EN，，设出EP的值，从而得出EM和PM的值，再得出△AEP∽△ABC，即可求出 ，求出的值，即可得出关于的函数关系式，并且能求出函数的定义域．‎ ‎（3）设EP的值，得出则EM和MP的值，然后分点E在AC上和点E在BC上两种情况，根据△EBP∽△ABCC，求出AP的值，从而得出AM和BN的值，再根据△AME∽△ENB，求出的值，得出AP的长。‎ ‎12.（2012上海市10分）如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB的中点，BE⊥CD，垂足为点E．已知AC=15，cosA=．‎ ‎（1）求线段CD的长；‎ ‎（2）求sin∠DBE的值．‎ ‎【答案】解：（1）∵在Rt△ABC中，AC=15，cosA=，∴AB=25。‎ ‎∵△ACB为直角三角形，D是边AB的中点，∴CD=。‎ ‎（2）在Rt△ABC中，。‎ 又AD=BD=CD=，设DE=x，EB=y，则 ‎ 在Rt△BDE中，①，‎ ‎ 在Rt△BCE中，②，‎ ‎ 联立①②，解得x=。‎ ‎ ∴。‎ ‎【考点】解直角三角形，锐角三角函数定义，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理。‎ ‎【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出AB的长，即可求出CD的长；‎ ‎（2）由于D为AB上的中点，求出AD=BD=CD= ，设DE=x，EB=y，利用勾股定理即可求出x的值，据此解答即可。‎