高考文科数学复习：夯基提能作业本 (21)

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第五节　两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式 A组　基础题组 ‎1.已知sinπ‎2‎‎+α=‎1‎‎2‎,-π‎2‎<α<0,则cosα-‎π‎3‎的值是(　　)‎ A.‎1‎‎2‎ B.‎2‎‎3‎ C.-‎1‎‎2‎ D.1‎ ‎2.已知cosx-‎π‎6‎=-‎3‎‎3‎,则cos x+cosx-‎π‎3‎=(　　)‎ A.-‎2‎‎3‎‎3‎ B.±‎2‎‎3‎‎3‎ C.-1 D.±1‎ ‎3.已知sinα-‎π‎4‎=‎7‎‎2‎‎10‎,cos 2α=‎7‎‎25‎,则sin α=(　　)‎ A.‎4‎‎5‎ B.-‎4‎‎5‎ C.‎3‎‎5‎ D.-‎‎3‎‎5‎ ‎4.(2016江西九校联考)已知锐角α,β满足sin α-cos α=‎1‎‎6‎,tan α+tan β+‎3‎tan αtan β=‎3‎,则α,β的大小关系是(　　)‎ A.α<π‎4‎<β B.β<π‎4‎<α C.π‎4‎<α<β D.π‎4‎<β<α ‎5.已知cos θ=-‎5‎‎13‎,θ∈π,‎‎3π‎2‎,则sinθ-‎π‎6‎的值为　　　　. ‎ ‎6.已知sinπ‎6‎‎-α=‎1‎‎3‎,则cos‎2‎π‎3‎‎+α的值是　　　　. ‎ ‎7.计算sin‎2‎50°‎‎1+sin10°‎=　　　　. ‎ ‎8.已知α∈‎0,‎π‎2‎,tan α=‎1‎‎2‎,求tan 2α和sin‎2α+‎π‎3‎的值.‎ ‎9.已知α∈π‎2‎‎,π,且sinα‎2‎+cosα‎2‎=‎6‎‎2‎.‎ ‎(1)求cos α的值;‎ ‎(2)若sin(α-β)=-‎3‎‎5‎,β∈π‎2‎‎,π,求cos β的值.‎ B组　提升题组 ‎10.cos π‎9‎·cos ‎2π‎9‎·cos‎-‎‎23π‎9‎=(　　)‎ A.-‎1‎‎8‎ B.-‎1‎‎16‎ C.‎1‎‎16‎ D.‎‎1‎‎8‎ ‎11.定义运算a　bc　d=ad-bc.若cos α=‎1‎‎7‎,sinα　sinβcosα　cosβ=‎3‎‎3‎‎14‎,0<β<α<π‎2‎,则β等于(　　)‎ A.π‎12‎ B.π‎6‎ C.π‎4‎ D.‎π‎3‎ ‎12.设α∈‎0,‎π‎2‎,β∈‎0,‎π‎2‎,且tan α=‎1+sinβcosβ,则(　　)‎ A.3α-β=π‎2‎ B.3α+β=π‎2‎ ‎ C.2α-β=π‎2‎ D.2α+β=‎π‎2‎ ‎13.(2015广东,16,12分)已知tan α=2.‎ ‎(1)求tanα+‎π‎4‎的值;‎ ‎(2)求sin2αsin‎2‎α+sinαcosα-cos2α-1‎的值.‎ ‎14.已知cosπ‎6‎‎+α·cosπ‎3‎‎-α=-‎1‎‎4‎,α∈π‎3‎‎,‎π‎2‎.‎ ‎(1)求sin 2α的值;‎ ‎ (2)求tan α-‎1‎tanα的值.‎ 答案全解全析 A组　基础题组 ‎1.C　由sinπ‎2‎‎+α=‎1‎‎2‎得cos α=‎1‎‎2‎,∵-π‎2‎<α<0,∴sin α=-‎3‎‎2‎,∴cosα-‎π‎3‎=‎1‎‎2‎cos α+‎3‎‎2‎sin α=-‎1‎‎2‎.‎ ‎2.C　∵cosx-‎π‎6‎=-‎3‎‎3‎,∴cos x+cosx-‎π‎3‎=cos x+cos xcosπ‎3‎+sin xsinπ‎3‎ ‎=‎3‎‎2‎cos x+‎3‎‎2‎sin x=‎‎3‎‎3‎‎2‎cosx+‎1‎‎2‎sinx ‎=‎3‎cosx-‎π‎6‎=‎3‎×‎-‎‎3‎‎3‎=-1.‎ ‎3.C　由sinα-‎π‎4‎=‎7‎‎2‎‎10‎得sin α-cos α=‎7‎‎5‎,①‎ 由cos 2α=‎7‎‎25‎得cos2α-sin2α=‎7‎‎25‎,‎ 所以(cos α-sin α)·(cos α+sin α)=‎7‎‎25‎,②‎ 由①②可得cos α+sin α=-‎1‎‎5‎,③‎ 由①③可得sin α=‎3‎‎5‎.‎ ‎4.B　∵α为锐角,sin α-cos α=‎1‎‎6‎>0,∴α>π‎4‎.‎ 又tan α+tan β+‎3‎tan αtan β=‎3‎,‎ ‎∴tan(α+β)=tanα+tanβ‎1-tanαtanβ=‎3‎,‎ 由题意知0<α+β<π,‎ ‎∴α+β=π‎3‎,又α>π‎4‎,∴β<π‎4‎<α.‎ ‎5.答案　‎‎5-12‎‎3‎‎26‎ 解析　由cos θ=-‎5‎‎13‎,θ∈π,‎‎3π‎2‎得sin θ=-‎1-cos‎2‎θ=-‎12‎‎13‎,故sinθ-‎π‎6‎ ‎=sin θcosπ‎6‎-cosθsinπ‎6‎=-‎12‎‎13‎×‎3‎‎2‎-‎-‎‎5‎‎13‎×‎1‎‎2‎=‎5-12‎‎3‎‎26‎.‎ ‎6.答案　-‎‎7‎‎9‎ 解析　∵sinπ‎6‎‎-α=‎1‎‎3‎,‎ ‎∴cosπ‎3‎‎-2α=cos‎2‎π‎6‎‎-α ‎=1-2sin2π‎6‎‎-α=‎7‎‎9‎,‎ ‎∴cos‎2‎π‎3‎‎+α=cos‎2π‎3‎‎+2α ‎=cosπ-‎π‎3‎‎-2α=-cosπ‎3‎‎-2α=-‎7‎‎9‎. ‎ ‎7.答案　‎‎1‎‎2‎ 解析　sin‎2‎50°‎‎1+sin10°‎=‎1-cos100°‎‎2(1+sin10°)‎=‎1-cos(90°+10°)‎‎2(1+sin10°)‎=‎1+sin10°‎‎2(1+sin10°)‎=‎1‎‎2‎.‎ ‎8.解析　∵tan α=‎1‎‎2‎,‎ ‎∴tan 2α=‎2tanα‎1-tan‎2‎α=‎2×‎‎1‎‎2‎‎1-‎‎1‎‎4‎=‎4‎‎3‎,‎ 且sinαcosα=‎1‎‎2‎,即cos α=2sin α,‎ 又sin2α+cos2α=1,‎ ‎∴5sin2α=1,而α∈‎0,‎π‎2‎,‎ ‎∴sin α=‎5‎‎5‎,则cos α=‎2‎‎5‎‎5‎.‎ ‎∴sin 2α=2sin αcos α=2×‎5‎‎5‎×‎2‎‎5‎‎5‎=‎4‎‎5‎,‎ cos 2α=cos2α-sin2α=‎4‎‎5‎-‎1‎‎5‎=‎3‎‎5‎,‎ ‎∴sin‎2α+‎π‎3‎=sin 2αcosπ‎3‎+cos 2αsinπ‎3‎=‎4‎‎5‎×‎1‎‎2‎+‎3‎‎5‎×‎3‎‎2‎=‎4+3‎‎3‎‎10‎.‎ ‎9.解析　(1)将sinα‎2‎+cosα‎2‎=‎6‎‎2‎两边同时平方,得1+sin α=‎3‎‎2‎,则sin α=‎1‎‎2‎.‎ 又π‎2‎<α<π,所以cos α=-‎1-sin‎2‎α=-‎3‎‎2‎.‎ ‎(2)因为π‎2‎<α<π,π‎2‎<β<π,所以-π‎2‎<α-β<π‎2‎.‎ 所以由sin(α-β)=-‎3‎‎5‎,得cos(α-β)=‎4‎‎5‎,‎ 所以cos β=cos[α-(α-β)]‎ ‎=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)‎ ‎=-‎3‎‎2‎×‎4‎‎5‎+‎1‎‎2‎×‎-‎‎3‎‎5‎=-‎4‎3‎+3‎‎10‎.‎ B组　提升题组 ‎10.A　cos π‎9‎·cos ‎2π‎9‎·cos‎-‎‎23π‎9‎ ‎=cos 20°·cos 40°·cos 100°‎ ‎=-cos 20°·cos 40°·cos 80°‎ ‎=-‎sin20°·cos20°·cos40°·cos80°‎sin20°‎ ‎=-‎‎1‎‎2‎sin40°·cos40°·cos80°‎sin20°‎ ‎=-‎‎1‎‎4‎sin80°·cos80°‎sin20°‎ ‎=-‎1‎‎8‎sin160°‎sin20°‎=-‎1‎‎8‎sin20°‎sin20°‎=-‎1‎‎8‎.‎ ‎11.D　依题意得sin α·cos β-cos α·sin β=sin(α-β)=‎3‎‎3‎‎14‎.∵0<β<α<π‎2‎,∴0<α-β<π‎2‎,∴cos(α-β)=‎13‎‎14‎.‎ ‎∵cos α=‎1‎‎7‎,0<α<π‎2‎,‎ ‎∴sin α=‎4‎‎3‎‎7‎.∴sin β=sin[α-(α-β)]=sin α·cos(α-β)-cos α·sin(α-β)=‎4‎‎3‎‎7‎×‎13‎‎14‎-‎1‎‎7‎×‎3‎‎3‎‎14‎=‎3‎‎2‎,∴β=π‎3‎.故选D.‎ ‎12.C　由tan α=‎1+sinβcosβ,得sinαcosα=‎1+sinβcosβ,即sin αcos β=cos α+sin βcos α,所以sin(α-β)=cos α,‎ 又cos α=sinπ‎2‎‎-α,所以sin(α-β)=sinπ‎2‎‎-α,又因为α∈‎0,‎π‎2‎,β∈‎0,‎π‎2‎,所以-π‎2‎<α-β<π‎2‎,0<π‎2‎-α<π‎2‎,因此α-β=π‎2‎-α,所以2α-β=π‎2‎,故选C.‎ ‎13.解析　(1)因为tan α=2,‎ 所以tanα+‎π‎4‎=‎tanα+tanπ‎4‎‎1-tanα·tanπ‎4‎ ‎=‎2+1‎‎1-2×1‎=-3.‎ ‎(2)因为tan α=2,‎ 所以sin2αsin‎2‎α+sinαcosα-cos2α-1‎ ‎=‎‎2sinαcosαsin‎2‎α+sinαcosα-(cos‎2‎α-sin‎2‎α)-(sin‎2‎α+cos‎2‎α)‎ ‎=‎‎2sinαcosαsin‎2‎α+sinαcosα-2cos‎2‎α ‎=‎2tanαtan‎2‎α+tanα-2‎=‎2×2‎‎2‎‎2‎‎+2-2‎=1.‎ ‎14.解析　(1)cosπ‎6‎‎+α·cosπ‎3‎‎-α=cosπ‎6‎‎+α·sinπ‎6‎‎+α=‎1‎‎2‎sin2α+π‎3‎=-‎1‎‎4‎,‎ 即sin‎2α+‎π‎3‎=-‎1‎‎2‎.‎ ‎∵α∈π‎3‎‎,‎π‎2‎,∴2α+π‎3‎∈π,‎‎4π‎3‎,‎ ‎∴cos‎2α+‎π‎3‎=-‎3‎‎2‎,‎ ‎∴sin 2α=sin‎2α+‎π‎3‎‎-‎π‎3‎=sin‎2α+‎π‎3‎cosπ‎3‎-cos‎2α+‎π‎3‎sinπ‎3‎=‎1‎‎2‎.‎ ‎(2)∵α∈π‎3‎‎,‎π‎2‎,∴2α∈‎2π‎3‎‎,π,‎ 又由(1)知sin 2α=‎1‎‎2‎,∴cos 2α=-‎3‎‎2‎.‎ ‎∴tan α-‎1‎tanα=sinαcosα-cosαsinα=sin‎2‎α-cos‎2‎αsinαcosα=‎-2cos2αsin2α=(-2)×‎-‎‎3‎‎2‎‎1‎‎2‎=2‎3‎.‎