2019届二轮复习小题专练　空间几何体的视图、表面积与体积作业（全国通用）

2019届二轮复习小题专练　空间几何体的视图、表面积与体积作业（全国通用）

小题专练·作业(八)　空间几何体的三视图、表面积与体积 ‎1.如图为一个几何体的侧视图和俯视图，则它的正视图为(　　)‎ 解析　根据题中侧视图和俯视图的形状，判断出该几何体是在一个正方体的上表面上放置一个四棱锥(其中四棱锥的底面是正方体的上表面、顶点在底面上的射影是底面一边的中点)，结合选项知，它的正视图为B。‎ 答案　B ‎2．(2018·浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是(　　)‎ A．2　　　 　B．4 C．6　　　 　D．8‎ 解析　由三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何体的体积V＝×(1＋2)×2×2＝6。故选C。‎ 答案　C ‎3．(2018·太原二模)某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)‎ A． B． C． D． 解析　由三视图知该几何体是由如图所示的四棱锥P－ABCD挖去一个半圆锥后形成的，四棱锥的底面是边长为2的正方形，高是2，圆锥的底面半径是1，高是2，所以该几何体的体积V＝×2×2×2－×π×12×2＝。故选B。‎ 答案　B ‎4．(2018·福建漳州二模)如图，在边长为1的正方形组成的网格中，画出的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是(　　)‎ A．9　　　 B． C．18　　　　D．27‎ 解析　根据三视图可知该几何体是一个三棱锥，将三棱锥A－BCD还原到长方体中，长方体的长、宽、高分别为6、3、3，所以该几何体的体积V＝××6×3×3＝9。故选A。‎ 答案　A ‎5．(2018·全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为(　　)‎ A．12π B．12π C．8π D．10π 解析　根据题意，可得截面是边长为2的正方形，所以圆柱的高为2，底面圆的半径为，所以其表面积为S＝2π()2＋2π×2＝12π。故选B。‎ 答案　B ‎6．(2018·成都诊断)在三棱锥P－ABC中，已知PA⊥底面ABC，∠BAC＝60°，PA＝2，AB＝AC＝，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为(　　)‎ A． B． C．8π D．12π 解析　易知△ABC是等边三角形。如图，作OM⊥平面ABC，其中M为△ABC的中心，且点O满足OM＝PA＝1，则点O为三棱锥P－ABC外接球的球心。于是，该外接球的半径R＝OA＝＝＝。故该球的表面积S＝4πR2＝8π。故选C。‎ 答案　C ‎7．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为________。‎ 解析　由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥。设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为V1＝××1×1×1＝，剩余部分的体积V2＝13－＝。所以＝＝。‎ 答案　 ‎8．(2018·江苏高考)如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________。‎ 解析　正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体是正八面体，其中正八面体的所有棱长都是，则该正八面体的体积为×()2×1×2＝。‎ 答案　 ‎9．如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为棱AA1的中点。若AA1＝4，AB＝2，则四棱锥B－ACC1D的体积为________。‎ 解析　取AC的中点O，连接BO，则BO⊥AC，所以BO⊥平面ACC1D，因为AB＝2，所以BO＝，因为D为棱AA1的中点，AA1＝4，所以S梯形ACC1D＝(2＋4)×2＝6，所以四棱锥B－ACC1D的体积为2。‎ 答案　2 ‎10．设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥D－ABC体积的最大值为________。‎ 解析　设等边三角形ABC的边长为x，则x2sin60°＝9，得x＝6。设△ABC的外接圆半径为r，则2r＝，解得r＝2，所以球心到△ABC所在平面的距离d＝＝2，则点D到平面ABC的最大距离d1＝d＋4＝6，所以三棱锥D－ABC体积的最大值Vmax＝S△ABC×6＝×9×6＝18。‎ 答案　18 ‎11．(2018·河南新乡一模)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图中的两段圆弧均为半圆，该几何体的体积为(　　)‎ A．8－π B．8－π C．8－2π D．8＋2π 解析　由三视图可知该几何体是由正方体挖去两个半圆柱后形成的，如图。该几何体的体积为2×2×2－2××π×12×2＝8－2π。故选C。‎ 答案　C ‎12．(2018·全国卷Ⅰ)‎ 已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为(　　)‎ A． B． C． D． 解析　记该正方体为ABCD－A′B′C′D′，正方体的每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，即共点的三条棱A′A，A′B′，A′D′与平面α所成的角都相等。如图，连接AB′，AD′，B′D′，因为三棱锥A′－AB′D′是正三棱锥，所以A′A，A′B′，A′D′与平面AB′D′所成的角都相等。分别取C′D′，B′C′，BB′，AB，AD，DD′的中点E，F，G，H，I，J，连接EF，FG，GH，HI，IJ，JE，易得E，F，G，H，I，J六点共面，平面EFGHIJ与平面AB′D′平行，且截正方体所得截面的面积最大。又EF＝FG＝GH＝HI＝IJ＝JE＝，所以该正六边形的面积为6××2＝，所以α截此正方体所得截面面积的最大值为，故选A。‎ 答案　A ‎13．(2018·东北三校二模)已知某几何体的三视图如图所示，过该几何体最短两条棱的中点作平面α，使得α平分该几何体的体积，则可以作此种平面α(　　)‎ A．恰好1个 B．恰好2个 C．至多3个 D．至少4个 解析　几何体的直观图如图所示。该几何体最短两条棱为PA和BC，设PA和BC的中点分别为E，F，则过E，F且平分几何体体积的平面α，可能为：①平面PAF；②平面BCE；③‎ 平面EGFH(其中G，H为AC和PB的中点)；④平面EMFN(其中M，N为PC和AB的中点)，所以此种平面至少4个。故选D。‎ 答案　D ‎14．(2018·江西九江二模)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC是等腰直角三角形，AB＝BC＝1。点D为侧棱BB1上的动点。若△ADC1周长的最小值为＋，则三棱锥C1－ABC外接球的表面积为________。‎ 解析　将侧面展开如图，易知当D为侧棱BB1的中点时，△ADC1周长最小，此时设BD＝x，则2＋＝＋，可得x＝，所以CC1＝1，又易知三棱锥C1－ABC外接球的球心为AC1的中点，所以半径R＝，则三棱锥C1－ABC外接球的表面积为S＝4πR2＝3π。‎ 答案　3π ‎15．(2018·长春质量监测)已知圆锥的侧面展开图是半径为3的扇形，则该圆锥体积的最大值为________。‎ 解析　由题意得圆锥的母线长为3，设圆锥的底面半径为r，高为h，则h＝，所以圆锥的体积V＝πr2h＝πr2＝π。设f(r)＝9r4－r6(r>0)，则f′(r)＝36r3－6r5，令f′(r)＝36r3－6r5＝6r3(6－r2)＝0，得r＝，所以当00，f(r)单调递增，当r>时，f′(r)<0，f(r)单调递减，所以f(r)max＝f()＝108，所以Vmax＝π×＝2π。‎ 答案　2π