【物理】2019届一轮复习人教版万有引力与航天学案

【物理】2019届一轮复习人教版万有引力与航天学案

第 13 讲　万有引力与航天 考纲要求 考情分析 命题趋势 1.万有引力定律及其应 用Ⅱ 2．环绕速度Ⅱ 3．卫星的变轨问题Ⅱ 2016·全国卷Ⅰ， 17 本节知识点在高考中主要以选择 题题型考查．要深刻理解天体问题的 两个基本思路，熟练掌握卫星各参量 与半径的关系，会求解天体质量和密 度 1．开普勒三定律的内容、公式 定律 内容 图示或公式 开普勒第一 定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是__椭圆 __，太阳处在__椭圆__的一个焦点上 开普勒第二 定律(面积定律) 对任意一个行星来说，它与太阳的连线 在相等的时间内扫过的__面积__相等 开普勒第三 定律(周期定律) 所有行星的轨道的半长轴的__三次方__ 跟它的公转周期的__二次方__的比值都相等 a3 T2＝k，k 是一个与 行星无关的常量 2.万有引力定律 (1)内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小与__两物体的质量的乘 积__成正比，与__两物体间的距离的二次方__成反比． (2)公式：F＝__Gm1m2 r2 __，其中 G 为万有引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，其值由 卡文迪许通过扭秤实验测得． (3)使用条件：适用于两个__质点__或均匀球体；r 为两质点或均匀球体球心间的距 离． 3．宇宙速度 (1)第一宇宙速度 ①第一宇宙速度又叫__环绕__速度，其数值为__7.9__km/s. ②第一宇宙速度是人造卫星在__地面__附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度． ③第一宇宙速度是人造卫星的最小__发射__速度，也是人造卫星的最大__环绕__速 度． ④第一宇宙速度的计算方法． 由 GMm R2 ＝m v2 R得 v＝__ GM R __； 由 mg＝m v2 R得 v＝__ gR__. (2)第二宇宙速度 使物体挣脱__地球__引力束缚的最小发射速度，其数值为__11.2__km/s. (3)第三宇宙速度 使物体挣脱__太阳__引力束缚的最小发射速度，其数值为__16.7__km/s. 1．判断正误 (1)只有天体之间才存在万有引力．(　×　) (2)只要知道两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由 F＝Gm1m2 r2 来计算物体间 的万有引力．(　×　) (3)牛顿发现了万有引力定律并第一个测出了地球的质量．(　×　) (4)不同的同步卫星的质量可以不同，但离地面的高度是相同的．(　√　) (5)同步卫星的运行速度一定小于地球第一宇宙速度．(　√　) (6)发射探月卫星发射速度必须大于第二宇宙速度．(　×　) 2．在物理学发展的过程中，许多物理学家的科学研究推动了人类文明的进程．关于物 理学史，下列说法正确的是(　C　) A．经过长期的天文观测，天文学家第谷总结出行星运动三定律 B．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因 C．牛顿发现了万有引力定律，卡文迪许用扭秤实验测出了万有引力常量的数值 D．开普勒经过多年的天文观测和记录，提出了“日心说”的观点 解析　开普勒在第谷天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律，但并未找出行 星按照这些规律运动的原因，选项 A、B 均错误；牛顿发现了万有引力定律，卡文迪许用扭 秤实验测出了万有引力常量的数值，从而使万有引力定律有了真正的实用价值，选项 C 正 确；哥白尼提出了“日心说”的观点，开普勒发现了行星运动的三大规律，即开普勒三定律， 选项 D 错误． 3．关于环绕地球运动的卫星，下列说法正确的是(　C　) A．分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颗卫星，不可能具有相同的周期 B．在赤道上空运行的两颗地球同步卫星，它们的轨道半径有可能不同 C．沿椭圆轨道运行的一颗卫星，在轨道上两个不同位置可能具有相同的速率 D．某个卫星绕地球的自转轴做圆周运动且经过北京的上空 解析　根据r3 T21＝a3 T22(式中 r 为圆轨道半径，a 为椭圆的半长轴)，若 r＝a 时，两颗卫星的 周期相同，选项 A 错误；所有的同步卫星的轨道半径均相同，选项 B 错误；沿椭圆轨道运 行的一颗卫星，在轨道对称的不同位置具有相同的速率，选项 C 正确；卫星绕地球运行时， 仅受万有引力作用，且由万有引力提供向心力，而万有引力总是指向地心，所以所有绕地球 做圆周运动的卫星，轨道的圆心一定与地心重合，选项 D 错误． 　一　万有引力定律的理解与应用 1．地球表面的重力与万有引力 地面上的物体所受地球的吸引力产生两个效果，其中一个分力提供了物体绕地轴做圆周 运动的向心力，另一个分力等于重力．(1)在两极，向心力等于零，重力等于万有引力；(2) 除两极外，物体的重力都比万有引力小；(3)在赤道处，物体的万有引力分解为两个分力 F向 和 mg 刚好在一条直线上，则有 F＝F 向＋mg，所以 mg＝F－F 向＝GMm R2 －mRω 2自. 2．地球表面附近(脱离地面)的重力与万有引力 物体在地球表面附近(脱离地面)时，物体所受的重力等于地球表面处的万有引力，即 mg ＝GMm R2 ，R 为地球半径，g 为地球表面附近的重力加速度，此处也有 GM＝gR2. 3．距地面一定高度处的重力与万有引力 物体在距地面一定高度 h 处时，mg′＝ GMm (R＋h)2 ，R 为地球半径，g′为该高度处的重力 加速度． [例 1](2018·河南郑州模拟)由中国科学院、中国工程院两院院士评出的 2012 年中国十大 科技进展新闻，于 2013 年 1 月 19 日揭晓，“神九”载人飞船与“天宫一号”成功对接和“蛟 龙”号下潜突破 7 000 米分别排在第一、第二．若地球半径为 R，把地球看做质量分布均匀 的球体，“蛟龙”下潜深度为 d，“天宫一号”轨道距离地面高度为 h.“蛟龙”号所在处与 “天宫一号”所在处的加速度之比为(　C　) A．R－d R＋h B． (R－d)2 (R＋h)2 C． (R－d)(R＋h)2 R3 D． (R－d)(R＋h) R2 解析　令地球的密度为 ρ，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有 g＝ GM R2.由于地球的质量为 M＝ρ·4 3πR3，所以重力加速度的表达式可写成 g＝GM R2 ＝ G·ρ·4 3πR3 R2 ＝4 3 πGρR.根据题意有，质量分布均匀的球壳对地壳内物体的引力为零，故在深度为 d 的地球内 部，受到地球的万有引力即为半径等于(R－d)的球体在其表面产生的万有引力，故“蛟龙号” 的重力加速度g′＝4 3πGρ(R－d)．所以有g′ g ＝R－d R .根据万有引力提供向心力G Mm (R＋h)2 ＝ma， “天宫一号”的加速度为 a＝ GM (R＋h)2 ，所以a g＝ R2 (R＋h)2 ，g′ a ＝ (R－d)(R＋h) R3 2，故选项 C 正确， A、B、D 错误． 　二　天体的质量和密度的计算 1．“g、R”计算法 利用天体表面的重力加速度 g 和天体半径 R (1)由 GMm R2 ＝mg 得天体质量 M＝gR2 G . (2)天体密度 ρ＝M V＝ M 4 3πR3 ＝ 3g 4πGR. 2．“T、r”计算法 测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径 r 和周期 T (1)由 GMm r2 ＝m 4π2r T2 得天体的质量 M＝4π2r3 GT2 . (2)若已知天体的半径 R，则天体的密度 ρ＝M V＝ M 4 3πR3 ＝ 3πr3 GT2R3.　 (3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径 r 等于天体半径 R，则天体密度 ρ＝ 3π GT2， 可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期 T，就可估算出中心天体的密度． [例 2](2018·浙江宁波模拟)(多选)科学家在研究地月组成的系统时，从地球向月球发射 激光，测得激光往返时间为 t.已知万有引力常量 G，月球绕地球公转(可看成匀速圆周运动) 周期 T，光速 c(地球到月球的距离远大于它们的半径)．则由以上物理量可以求出(　AB　) A．月球到地球的距离 B．地球的质量 C．月球受到地球的引力 D．月球的质量 解析　根据激光往返时间为 t 和激光的速度可求出月球到地球的距离，选项 A 正确； 由 GMm r2 ＝m4π2 T2 r 可求出地球的质量 M＝4π2r3 GT2 ，选项 B 正确；我们只能计算中心天体的质量， 选项 D 错误；因不知月球的质量，无法计算月球受到地球的引力，选项 C 错误． 估算天体质量和密度时应注意的问题 (1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体 的质量，并非环绕天体的质量． (2)区别天体半径 R 和卫星轨道半径 r，只有在天体表面附近的卫星才有 r≈R；计算天 体密度时，V＝4 3πR3 中的 R 只能是中心天体的半径． 　三　人造卫星的运行规律 1．卫星的各物理量随轨道半径变化的规律 规律Error! (1)解决力与运动关系的思想还是动力学思想，解决力与运动的关系的桥梁还是牛顿第 二定律． (2)卫星的 an、v、ω、T 是相互联系的，其中一个量发生变化，其他各量也随之发生变 化． (3)an、v、ω、T 均与卫星的质量无关，只由轨道半径 r 和中心天体质量共同决定． [例 3](2018·甘肃兰州调研)在同一轨道平面上的三颗人造地球卫星 A、B、C 都绕地球做 匀速圆周运动，在某一时刻恰好在同一直线上，下列说法正确的有(　C　) A．根据 v＝ gr，可知 vAFB>FC C．向心加速度大小 aA>aB>aC D．三颗人造地球卫星各自运动一周，C 先回到原地点 解析　根据万有引力提供卫星做圆周运动的向心力可得GMm r2 ＝ma＝mv2 r ＝mω2r＝m4π2 T2 r，卫星的速度 v＝ GM r ，可见 r 越大，v 越小，则有 vA>vB>vC，故选项 A 错误；由于三颗 卫星的质量关系未知，无法根据万有引力定律 F＝G Mm r2 比较引力的大小，故选项 B 错误； 卫星的向心加速度 a＝GM r2 ，r 越大，a 越小，则有 aA>aB>aC，故选项 C 正确；卫星的周期 T ＝2π r3 GM，r 越大，T 越大，所以运动一周，A 先回到原地点，C 最晚回到原地点，故选选 项 D 错误． [例 4](多选)地球同步卫星可视为绕地球做圆周运动，下列说法正确的是(　BC　) A．同步卫星的周期可能小于 24 h B．同步卫星的速度小于第一宇宙速度 C．同步卫星的速度大于赤道上静止(相对地球)物体的速度 D．同步卫星在运行时可能经过北京的正上方 解析　同步卫星的角速度 ω 与地球自转的角速度相同，周期也是相同的，均为 24 h， 选项 A 错误；由 GMm r2 ＝m v2 r 得 v＝ GM r ，轨道半径 r 增大，卫星的速度 v 减小，故同步卫 星的运行速度小于第一宇宙速度，选项 B 正确；由 v＝ωr 结合 ω 相同，可得同步卫星的速 度大于赤道上静止物体的速度，选项 C 正确；同步卫星只能在赤道的正上方，不可能经过 北京的正上方，选项 D 错误． 同步卫星的六个“一定” 四　卫星(航天器)的变轨问题及对接问题 (1)航天器变轨问题的三点注意 ①航天器变轨后稳定在新轨道上的运行速度由 v＝ GM r 判断． ②航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大． ③航天器经过不同轨道相交的同一点时加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速 度． (2)变轨的两种情况 较低圆 轨道 近地点向后喷气 近地点向前喷气 椭圆 轨道 远地点向后喷气 远地点向前喷气较高圆轨道 [例 5](2018·北京海淀区期中测试)(多选)某载人飞船运行的轨道示意图如图所示，飞船 先沿椭圆轨道 1 运行，近地点为 Q，远地点为 P.当飞船经过点 P 时点火加速，使飞船由橢 圆轨道 1 转移到圆轨道 2 上运行，在圆轨道 2 上飞船运行周期约为 90 min.关于飞船的运行 过程，下列说法中正确的是(　BCD　) A．飞船在轨道 1 和轨道 2 上运动时的机械能相等 B．飞船在轨道 1 上运行经过 P 点的速度小于经过 Q 点的速度 C．轨道 2 的半径小于地球同步卫星的轨道半径 D．飞船在轨道 1 上运行经过 P 点的加速度等于在轨道 2 上运行经过 P 点的加速度 解析　由于飞船经过点 P 时点火加速，使飞船由椭圆轨道 1 转移到圆轨道 2 上运行， 外力做正功，机械能增加，所以飞船在轨道 2 上的机械能大于在轨道 1 上的机械能，选项 A 错误；根据开普勒第二定律，可得飞船在轨道 1 上运行经过 P 点的速度小于经过 Q 点的速 度，选项 B 正确；根据公式 T＝2π r3 GM可得半径越大周期越大，同步卫星的周期为 24 h， 大于轨道 2 上运动的飞船的周期，故轨道 2 的半径小于同步卫星的运动半径，选项 C 正确； 根据公式 a＝GM r2 ，因为在轨道 1 上运行经过 P 点和在轨道 2 上运行经过 P 点的运动半径相 同，所以加速度相同，选项 D 正确． [例 6]我国即将发射“天宫二号”空间实验室，之后发射“神舟十一号”飞船与“天宫 二号”对接．假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞 船与空间实验室的对接，下列措施可行的是(　C　) A．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接 B．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接 C．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两 者速度接近时实现对接 D．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两 者速度接近时实现对接 解析　若使飞船在空间站在同一轨道上运行，然后飞船加速，所需向心力变大，则飞船 将脱离原轨道而进入更高的轨道，不能实现对接，选项 A 错误；若使飞船与空间站在同一 轨道上运行，然后空间站减速，所需向心力变小，则空间站将脱离原轨道而进入更低的轨道， 不能实现对接，选项 B 错误；要想实现对接，可使飞船在比空间实验室半径较小的轨道上 加速，然后飞船将进入较高的空间实验室轨道，逐渐靠近空间实验室后，两者速度接近时实 现对接，选项 C 正确；若飞船在比空间实验室半径较小的轨道上减速，则飞船将进入更低 的轨道，不能实现对接，选项 D 错误． 五　天体运动中的“多星”系统 　在天体运动中，离其他星体较远的几颗星，在它们相互间万有引力的作用力下绕同一 中心位置运转，这样的几颗星组成的系统称为宇宙多星模型． 1．“双星”系统 (1)两颗恒星做匀速圆周运动所需的向心力是由它们之间的万有引力提供的，故两恒星 做匀速圆周运动的向心力大小相等． (2)两颗恒星均绕它们连线上的一点做匀速圆周运动，因此它们的运行周期和角速度是 相等的． (3)两颗恒星做匀速圆周运动的半径 r1 和 r2 与两行星间距 L 的大小关系 r1＋r2＝L. 2．“多星”系统 (1)多颗行星在同一轨道绕同一点做匀速圆周运动，每颗行星做匀速圆周运动所需的向 心力由其他各个行星对该行星的万有引力的合力提供． (2)每颗行星转动的方向相同，运行周期、角速度和线速度大小相等． [例 7](多选)宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所 示，三颗质量均为 m 的星位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为 R，忽略其他星体对 它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心 O 做匀速圆周运动，万有引力常量为 G， 则(　ABC　) A．每颗星做圆周运动的线速度为 Gm R B．每颗星做圆周运动的角速度为 3Gm R3 C．每颗星做圆周运动的周期为 2π R3 3Gm D．每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关 解析　每颗星受到的合力为 F＝2Gm2 R2sin 60°＝ 3Gm2 R2，轨道半径为 r＝ 3 3 R，由向心力 公式 F＝ma＝mv2 r ＝mω2r＝m4π2r T2 ，解得 a＝ 3Gm R2 ，v＝ Gm R ，ω＝ 3Gm R3 ，T＝2π R3 3Gm，显 然加速度 a 与 m 有关，故 A、B、C 正确． 天体运动中的“多星”系统特点 (1)不论是双星还是三星系统模型，每个星体都做匀速圆周运动(中心星体除外)，且周期、 角速度相等． (2)注意应用数学知识，由星体距离求轨道半径． (3)只有当系统中星体质量相等时，它们的轨道半径才相等． 1．(2017·全国卷Ⅱ)(多选)如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P 为近日点，Q 为远日 点，M、N 为轨道短轴的两个端点，运行的周期为 T0.若只考虑海王星和太阳之间的相互作 用，则海王星在从 P 经 M、Q 到 N 的运动过程中(　CD　) A．从 P 到 M 所用的时间等于T0 4 B．从 Q 到 N 阶段，机械能逐渐变大 C．从 P 到 Q 阶段，速率逐渐变小 D．从 M 到 N 阶段，万有引力对它先做负功后做正功 解析　海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，由开普勒第二定律可知，从 P→Q 速度逐渐减小， 故从 P 到 M 所用时间小于T0 4 ，选项 A 错误，C 正确；从 Q 到 N 阶段，只受太阳的引力，故 机械能守恒，选项 B 错误；从 M 到 N 阶段经过 Q 点时速度最小，故万有引力对它先做负功 后做正功，选项 D 正确． 2．(2017·全国卷Ⅲ)2017 年 4 月，我国成功发射的天舟一号货运飞船与天宫二号空间实 验室完成了首次交会对接，对接形成的组合体仍沿天宫二号原来的轨道(可视为圆轨道)运 行．与天宫二号单独运行时相比，组合体运行的(　C　) A．周期变大 B．速率变大 C．动能变大 D．向心加速度变大 解析　天空二号单独运行时的轨道半径与组合体运行的轨道半径相同．由运动周期 T＝ 2π r GM，可知周期不变，选项 A 错误；由速率 v＝ GM r ，可知速率不变，选项 B 错误；因 为(m1＋m2)>m1，质量增大，故动能增大，选项 C 正确；向心加速度 a＝v2 r 不变，选项 D 错 误． 3．宇航员王亚平在“天宫一号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失 重状态下的物理现象．若飞船质量为 m，距地面高度为 h，地球质量为 M，半径为 R，引力 常量为 G.则飞船所在处的重力加速度大小为(　B　) A．0 B． GM (R＋h)2 C． GMm (R＋h)2 D．GM h2 解析　对飞船由万有引力定律和牛顿第二定律有 GMm (R＋h)2 ＝mg′，解得 g′＝ GM (R＋h)2 ， 故选项 B 正确，A、C、D 错误． 4．利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯， 目前地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的 6.6 倍，假设地球的自转周期变小，若仍仅用 三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为(　B　) A．1 h B．4 h C．8 h D．16 h 解析　地球自转周期变小，卫星要与地球保持同步，则卫星的公转周期也应随之变小， 卫星的轨道半径应变小，当一地球卫星的信号刚好覆盖赤道 120°的圆周时，卫星的轨道半 径 r＝ R sin30°＝2R；它们间的位置关系如答图所示，此时卫星周期最小，设为 T0，由 GMm r2 ＝ m4π2 T2 r 得 (6.6R)3 242 ＝ (2R)3 T20 ，解得 T0≈4 h．故选项 B 正确． 5.如图所示是月亮女神、嫦娥一号绕月做圆周运行时某时刻的图片，用 R1、R2、T1、T2 分别表示月亮女神和嫦娥一号的轨道半径及周期，用 R 表示月亮的半径． (1)请用万有引力知识证明：它们遵循R31 T21＝R32 T22＝K，其中 K 是只与月球质量有关而与卫星 无关的常量； (2)经多少时间两卫星第一次相距最远； (3)请用所给嫦娥 1 号的已知量，估测月球的平均密度． 解析　(1)设月球的质量为 M，对绕月亮运行的卫星由牛顿第二定律均有 G Mm R2 ＝m ( 2π T )2R， 解得R3 T2＝GM 4π2 ＝常量， 即R31 T21＝R32 T22＝K，且 K 只与月球质量有关而与卫星质量无关； (2)两卫星第一次相距最远时有 ( t T1－ t T2)2π＝π， 解得 t＝ T1T2 2T2－2T1； (3)对嫦娥 1 号由牛顿第二定律有 GMm R22 ＝m( 2π T2 )2R2， 又 M＝4πR3 3 ρ， 解得 ρ＝ 3πR32 GR3T22. 答案　(1)见解析　(2) T1T2 2T2－2T1　(3) 3πR32 GR3T22 [例 1](2017·湖北宜昌质检·6 分)地球赤道上有一物体随地球自转做圆周运动，所需的向 心力为 F1，向心加速度为 a1，线速度为 v1，角速度为 ω1；绕地球表面附近做匀速圆周运动 的人造卫星(高度可忽略)所需要的向心力为 F2，向心加速度为 a2，线速度为 v2，角速度为 ω2；地球同步卫星做圆周运动所需要的向心力为 F3，向心加速度为 a3，线速度为 v3，角速 度为 ω3，已知地面的重力加速度为 g，同步卫星离地的高度为 h，若三者质量相等，则(　　) A．F1＝F2>F3 B．a1＝a2＝g>a3 C．v1＝v2>v3 D．ω1＝ω3<ω2 [答题送检]来自阅卷名师报告 错 误 致错原因 扣 分 A BC 混淆三个物体做圆周运动时的向心力来源，导致公式运用错 误. － 6 [规范答题]　 [解析]　对赤道上的物体有 F1＝GMm R2 －mg＝ma1，v1＝ω1R，对地面附近的卫星有 F2＝ GMm R2 ＝ma2＝mv22 R＝mω22R，对地球同步卫星有F 3＝ GMm (R＋h)2 ＝ma3＝m v23 R＋h＝mω23(R＋h)，ω3＝ω1， v3＝ω3(R＋h)，故有 F1F3；a1v3；ω1＝ω3<ω2. [答案]　D [例 2](2017·四川成都诊断·12 分)在天体运动中，将两颗彼此距离较近且相互绕行的行星 称为双星，由于两星间的引力而使它们之间距离保持不变，如果两个行星的质量分别为 M1 和 M2，则它们的角速度多大？ [答题送检]来自阅卷名师报告 [错解]如图所示，M 1 和 M2 做匀速圆周运动所需的向心力由它们之间的万有引力提供， 则 对于 M1：GM1M2 L2 ＝M1ω21L，得 ω1＝1 L GM2 L ， 对于 M2：GM1M2 L2 ＝M2ω22L，得 ω2＝1 L GM1 L . [致错原因]地球绕太阳、月球绕地球等运转问题，轨道半径就是两者之间的距离．按照 这个模型，不加分析地死搬硬套，认为 M1 绕 M2 运转，M2 绕 M1 运转，导致错误． [扣分]－12 [规范答题]　 [解析]　如图所示，由于两者的引力而使其距离保持不变，M1 和 M2 相当于一个用轻杆 连接的整体，以相同的角速度运转，其连线上某点保持相对静止，这一点就是它们的旋转中 心．设该点到 M1 的距离为 x，则 对于 M1：GM1M2 L2 ＝M1ω2x，① 对于 M2：GM1M2 L2 ＝M2ω2(L－x)，② 联立解得 ω＝1 L G(M1＋M2) L . [答案]　1 L G(M1＋M2) L (12 分) 1．(多选)有 a、b、c，d 四颗地球卫星，a 还未发射，在赤道表面上随地球一起转动，b 是近地轨道卫星，c 是地球同步卫星，d 是高空探测卫星，它们均做匀速圆周运动，各卫星 排列位置如图所示．下列说法正确的是(　BC　) A．a 的向心加速度等于重力加速度 g B．在相同时间内 b 转过的弧长最长 C．c 在 4 h 内转过的圆心角是π 3 D．d 的运动周期有可能是 20 h 解析　a 为赤道上的物体，由牛顿第二定律 GMm R2 －FN＝ma，又 FN＝mg，故 a≠g，选 项 A 错误；根据 GMm r2 ＝mv2 r ＝m4π2 T2 r，可以判断出 b、c、d 三颗卫星线速度 vb>vc>vd，周期 TbTc＝24 h，选项 D 错误． 2．(多选)如图所示，三颗质量均为 m 的地球同步卫星等间隔地分布在半径为 r 的圆轨 道上．已知地球质量为 M，半径为 R.下列说法正确的是(　BC　) A．地球对其中一颗卫星的引力大小为 GMm (r－R)2 B．其中一颗卫星对地球的引力大小为GMm r2 C．两颗卫星之间的引力大小为Gm2 3r2 D．三颗卫星对地球引力的合力大小为3GMm r2 解析　由万有引力定律可知，地球与每一颗卫星间的引力大小 F＝GMm r2 ，选项 A 错误，B 正确；由几何关系可知，两卫星之间的距离 d＝ 3r，故两卫星之间的引力 F＝Gmm d2 ＝Gm2 3r2 ， 选项 C 正确；由于三颗卫星对地球引力的大小相等，且方向互成 120°，由力的合成可知， 其合力大小为零，选项 D 错误． 3．(2017·河北衡水模拟)(多选)宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组 成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．设四星系统中每个星体的质量均为 m，半径均为 R，四颗星稳定分布在边长为 L 的正方形的四个顶点上，其中 L 远大于 R，已 知万有引力常量为 G，忽略星体自转效应．则关于四星系统，下列说法正确的是(　CD　) A．四颗星做圆周运动的轨道半径均为L 2 B．四颗星做圆周运动的线速度均为 Gm L (2＋ 2 4 ) C．四颗星做圆周运动的周期均为 2π 2L3 (4＋ 2)Gm D．四颗星表面的重力加速度均为 Gm R2 解析　如图所示，四颗星均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，轨道半径 r＝ 2 2 L.取任一顶点上的星体为研究对象，它受到其他三个星体的万有引力的合力为 F 合＝ 2Gm2 L2 ＋G m2 ( 2L)2.由 F 合＝F 向＝mv2 r ＝m4π2r T2 ，可解得 v＝ Gm L (1＋ 2 4 )，T＝2π 2L3 (4＋ 2)Gm ，故选项 A、B 错误，C 正确；对于星体表面质量为 m0 的物体，受到的重力等于万有引力，则有 m0g ＝Gmm0 R2 ，故 g＝Gm R2，选项 D 正确． 1．(2017·天津卷)我国自主研制的首艘货运飞船“天舟一号”发射升空后，与已经在轨 运行的“天宫二号”成功对接形成组合体．假设组合体在距地面高为 h 的圆形轨道上绕地球 做匀速圆周运动，已知地球的半径为 R，地球表面处重力加速度为 g，且不考虑地球自转的 影响．则组合体运动的线速度大小为__R g R＋h__，向心加速度大小为__ R2 (R＋h)2g__. 解析　设组合体的质量为 m、运转线速度为 v，地球质量为 M，则 G Mm (R＋h)2 ＝ma 向＝m v2 R＋h，① 又有 GMm R2 ＝mg，② 联立上述①②两式得 a 向＝ R2 (R＋h)2g，v＝R g R＋h. 2．(2017·北京卷)利用引力常量 G 和下列某一组数据，不能计算出地球质量的是(　D　) A．地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转) B．人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期 C．月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离 D．地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离 解析　已知地球半径 R 和重力加速度 g，则 mg＝GM 地 m R2 ，所以 M 地＝gR2 G ，可求 M 地； 近地卫星做圆周运动，GM 地 m R2 ＝mv2 R，T＝2πR v ，可解得 M 地＝v2R G ＝ v3T 2πG，已知 v、T 可求 M 地；对于月球 GM 地·m r2 ＝m4π2 T 2月r，则 M 地＝4π2r3 GT 2月 ，已知 r、T 月可求 M 地；同理，对地球绕太 阳的圆周运动，只可求出太阳质量 M 太，故选项 D 正确． 3．(2017·江苏卷)(多选)“天舟一号”货运飞船于 2017 年 4 月 20 日在文昌航天发射中 心成功发射升空．与“天宫二号”空间实验室对接前，“天舟一号”在距地面约 380 km 的 圆轨道上飞行，则其(　BCD　) A．角速度小于地球自转角速度 B．线速度小于第一宇宙速度 C．周期小于地球自转周期 D．向心加速度小于地面的重力加速度 解析　由于地球同步卫星与地球自转的角速度、周期等物理量一致，故“天舟一号”可 与地球同步卫星比较．由于“天舟一号”的轨道半径小于同步卫星的轨道半径，所以，角速 度是“天舟一号”大，周期是同步卫星大，选项 A 错误，C 正确；第一宇宙速度是近地卫 星的环绕速度，故“天舟一号”的线速度小于第一宇宙速度，选项 B 正确；对“天舟一号” 有 G M 地 m (R 地＋h)2 ＝ma 向，所以 a 向＝G M 地 (R 地＋h)2 ，而地面重力加速度 g＝GM 地 R 2地 ，故 a 向a3>a1 B．a2>a1>a3 C．a3>a1>a2 D．a3>a2>a1 解析　空间站与月球周期相同，绕地球运动的半径 r1a2，故选项 D 正确． 课时达标　第 13 讲 [解密考纲]考查解决天体问题的两条基本思路，卫星各参量与半径的关系、天体质量和 密度的计算、卫星变轨分析． 1．登上火星是人类的梦想，“嫦娥之父”欧阳自远透露：中国计划于 2020 年登陆火 星．地球和火星公转视为匀速圆周运动，忽略行星自转影响．根据下表，火星和地球相比 (　B　) 行 星 半径 /m 质量 /kg 轨道半 径/m 地 球 6.4 ×106 6.0× 1024 1.5×101 1 火 星 3.4 ×106 6.4× 1023 2.3×101 1 A．火星的公转周期较小 B．火星做圆周运动的加速度较小 C．火星表面的重力加速度较大 D．火星的第一宇宙速度较大 解析　设公转半径为 r，星球半径为 R，太阳的质量为 M，由公式GMm r2 ＝m( 2π T )2r， 由题可知火星轨道半径大于地球公转轨道半径，所以火星公转周期大于地球公转周期，所以 选项 A 错误；由公式GMm r2 ＝ma 得 a＝GM r2 ，所以火星运行时的向心加速度小于地球公转时 的加速度，所以选项 B 正确；由公式Gm R2 ＝g，表格中数据估算可知 m 火≈ 1 10m 地，R 火≈1 2R 地，所以 g 火≈2 5g 地，即火星表面重力加速度小于地球表面重力加速度，所以选项 C 错误； 又由第一宇宙速度公式 v＝ Gm R，可得 v 火≈ 1 5v 地即火星的第一宇宙速度小于地球的第一宇 宙速度，所以选项 D 错误． 2．(多选) 如图所示，飞行器 P 绕某星球做匀速圆周运动，星球相对飞行器的张角为 θ， 下列说法正确的是(　AC　) A．轨道半径越大，周期越长 B．轨道半径越大，速度越大 C．若测得周期和张角，可得到星球的平均密度 D．若测得周期和轨道半径，可得到星球的平均密度 解析　根据 GMm R2 ＝mR4π2 T2 ，可知半径越大则周期越大，故选项 A 正确；根据 GMm R2 ＝m v2 R，可知轨道半径越大则环绕速度越小，故选项 B 错误；若测得周期 T，则有 M＝4π2R3 GT2 ， 如果知道张角 θ，则该星球半径为 r＝R sin θ 2，所以 M＝4π2R3 GT2 ＝4 3π(R sin θ 2)3ρ，可得到星球的 平均密度，故选项 C 正确，而选项 D 无法计算星球半径，则无法求出星球的平均密度，选 项 D 错误． 3．(2017·吉林长春调研)(多选)我国志愿者王跃曾与俄罗斯志愿者一起进行“火星－ 500”的实验活动．假设王跃登陆火星后，测得火星的半径是地球半径的1 2，质量是地球质量 的1 9.已知地球表面的重力加速度是 g，地球的半径为 R，王跃在地面上能向上竖直跳起的最 大高度是 h，忽略自转的影响，下列说法正确的是(　ABD　) A．火星的密度为 2g 3πGR B．火星表面的重力加速度是 4 9g C．火星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度相等 D．王跃以与在地球上相同的初速度在火星上起跳后，能达到的最大高度是 9 4h 解析　由 GMm R2 ＝mg，得到 g＝GM R2 ，已知火星半径是地球半径的1 2，质量是地球质量的 1 9，则火星表面的重力加速度是地球表面重力加速度的4 9，即为 4 9g，选项 B 正确．设火星质 量为 M′，由万有引力等于重力可得 GM′m r2 ＝mg′，解得 M′＝gR2 9G，密度为 ρ＝M′ V ＝ gR2 9G 4π·1 8R3 3 ＝ 2g 3πGR，故选项 A 正确；由 GMm R2 ＝mv2 R，得到 v＝ GM R ，火星的第一宇宙速度是地 球第一宇宙速度的 2 3 倍，故选项 C 错误；王跃以 v0 在地球起跳时，根据竖直上抛的运动规 律得出可跳的最大高度是 h＝v20 2g，由于火星表面的重力加速度是 4 9g，王跃以相同的初速度在 火星上起跳时，可跳的最大高度 h′＝9 4h，故选项 D 正确． 4．如图所示，搭载着“嫦娥二号”卫星的“长征三号丙”运载火箭在西昌卫星发射中 心点火发射，卫星由地面发射后，进入地月转移轨道，经多次变轨最终进入距离月球表面 100 千米、周期约为 118 分钟的工作轨道，开始对月球进行探测(　B　) A．卫星在轨道Ⅲ上的运行速度比月球的第一宇宙速度大 B．卫星在轨道Ⅰ上的机械能比在轨道Ⅱ上大 C．卫星在轨道Ⅲ上经过 P 点的速度比在轨道 Ⅰ 上经过 P 点时大 D．卫星在轨道Ⅲ上经过 P 点的加速度比在轨道Ⅰ上经过 P 点时大 解析　第一宇宙速度是发射卫星的最小速度，等于近月卫星的速度，大于所有卫星的速 度，选项 A 错误；卫星由Ⅰ轨道进入Ⅱ或Ⅲ轨道，需减速做近心运动，机械能减小，选项 B 正确，选项 C 错误；卫星在轨道Ⅲ或Ⅰ上经过 P 点时，到月心的距离相等，根据GMm r2 ＝ma 可知，加速度应相等，选项 D 错误． 5．一人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，假如该卫星变轨后做匀速圆周运动，动能 减小为原来的1 4，不考虑卫星质量的变化，则变轨前后卫星的(　C　) A．向心加速度大小之比为 4∶1 B．角速度大小之比为 2∶1 C．周期之比为 1∶8 D．轨道半径之比为 1∶2 解析　由GMm r2 ＝m v2 r 可得 v＝ GM r ，卫星动能减小为原来的1 4，速度减小为原来的1 2，则 轨道半径增加到原来的 4 倍，故选项 D 错误；由 an＝v2 r 可知向心加速度减小为原来的 1 16， 故选项 A 错误；由 ω＝v r可知，角速度减小为原来的1 8，故选项 B 错误；由周期与角速度成 反比可知，周期增大到原来的 8 倍，故选项 C 正确． 6．(多选)已知地球质量为 M，半径为 R，自转周期为 T，地球同步卫星质量为 m，引力 常量为 G.有关同步卫星，下列表述正确的是(　BD　) A．卫星距地面的高度为3 GMT2 4π2 B．卫星的运行速度小于第一宇宙速度 C．卫星运行时受到的向心力大小为 GMm R2 D．卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度 解析　天体运动的基本原理为万有引力提供向心力，地球的引力使卫星绕地球做匀速圆 周运动，即 F 引＝F 向＝mv2 r ＝4π2mr T2 .当卫星在地表运行时，GMm R2 ＝mg，设同步卫星离地面 高度为 h，则 GMm (R＋h)2 ＝ma 向Tb C．线速度的大小关系为 vaab>ac 解析　a、b、c 都受到万有引力作用，选项 A 错误；赤道上的物体 a、同步卫星 c 的周 期相同，所以角速度一样，根据r3 T2＝k，所以 c 的周期大于 b 的周期，所以选项 B 正确．v＝ GM r ，c 的半径大于 b，所以 vcva，所以选项 C 正确；a＝GM r2 ，所以 ab>ac，又根据 a＝rω2 可知．ac>aa，所以选项 D 错误． 9．如图所示，人造卫星 A、B 在同一平面内绕地心 O 做匀速圆周运动，已知 A、B 连 线与 A、O 连线间的夹角最大为 θ，则卫星 A、B 的线速度之比为(　C　) A．sin θ B． 1 sin θ C． sin θ D． 1 sin θ 解析　本题的关键是审出 A、B 连线与 AO 连线间何时夹角最大，经分析是 OB 垂直 AB 时，设 A 的轨道半径为 r1，B 的轨道半径为 r2，当 OB⊥AB 时，sin θ＝r2 r1.卫星绕地心做圆周 运动时，万有引力提供向心力，GMm r2 ＝mv2 r ，得 v＝ GM r ，所以 A、B 的线速度之比v1 v2＝ r2 r1 ＝ sin θ，故选项 C 正确． 10．2002 年四月下旬，天空中出现了水星、金星、火星、木星、土星近乎直线排列的“五 星连珠”的奇观．假设火星和木星绕太阳做匀速圆周运动，周期分别是 T1 和 T2，而且火星 离太阳较近，它们绕太阳运动的轨道基本上在同一平面内，若某一时刻火星和木星都在太阳 的同一侧，三者在一条直线上排列，那么再经过多长的时间将第二次出现这种现象(　C　) A．T1＋T2 2 B． T1T2 C． T1T2 T2－T1 D． T21＋T22 2 解析　根据万有引力提供向心力得GMm r2 ＝m4π2r T2 ，解得 T＝2π r3 GM，火星离太阳较近， 即轨道半径小，所以周期小．设再经过时间 t 将第二次出现这种现象，此为两个做匀速圆周 运动的物体追及相遇的问题，虽然不在同一轨道上，但是当它们相遇时，运动较快的物体比 运动较慢的物体多运行 2π 弧度．所以 2π T1t－2π T2t＝2π，解得 t＝ T1T2 T2－T1，选项 C 正确． 11．假设地球是一半径为 R、质量分布均匀的球体．一矿井深度为 d.已知质量分布均匀 的球壳对壳内物体的引力为零．矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为(　A　) A．1－d R B．1＋d R C．(R－d R )2 D．( R R－d)2 解析　物体在地面上时的重力加速度可由 g＝GM R2 得出，根据题中条件，球壳对其内部 物体的引力为零，矿井底部可以等效为地面，设矿井以下剩余部分地球的质量为 M′，矿 井底部处重力加速度可由 g′＝ GM′ (R－d)2 得出，而M′ M ＝ (R－d)3 R3 ，所以 g′＝(1－d R)g.选项 A 正确． 12．如图为宇宙中一恒星系的示意图，A 为该星系的一颗行星，它绕中央恒星 O 运行 的轨道近似为圆．天文学家观测得到 A 行星运动的轨道半径为 R0，周期为 T0.长期观测发现， A 行星实际运动的轨道与圆轨道总有一些偏离，且每隔 t0 时间发生一次最大偏离，天文学家 认为形成这种现象的原因可能是 A 行星外侧还存在着一颗未知的行星 B(假设其运动轨道与 A 在同一平面内，且与 A 的绕行方向相同)，它对 A 行星的万有引力引起 A 轨道的偏离，由 此可推测未知行星 B 的运动轨道半径为(　C　) A． t0 t0－T0R0 B．R0 3 (t0－T0 t0 )2 C．R0 3 ( t0 t0－T0 )2 D．R0 ( t0 t0－T0 )3 解析　对 A 行星有 GMmA R20 ＝mA( 2π T0 )2R0，对 B 行星有 GMmB R21 ＝mB( 2π T1 )2R1，由 A、B 最近到 A、B 再次最近，有 2π T0t0－2π T1t0＝2π，求得 R1＝R0 3 ( t0 t0－T0)2.选项 C 正确． 13．(多选)中国新闻网宣布：在摩洛哥坠落的陨石被证实来自火星．某同学想根据平时 收集的部分火星资料(如图所示)计算出火星的密度，再与这颗陨石的密度进行比较．下列计 算火星密度的公式，正确的是(引力常量 G 已知，忽略火星自转的影响)(　ACD　) A．ρ＝ 3g0 2πGd B．ρ＝g0T2 3πd C．ρ＝ 3π GT2 D．ρ＝6M πd3 解析　由 ρ＝M V，V＝πd3 6 ，所以 ρ＝6M πd3，选项 D 正确；由 GMm r2 ＝m( 2π T )2r，r＝d 2，GMm r2 ＝mg0 可得 ρ＝ 3g0 2πGd，ρ＝ 3π GT2，选项 A、C 正确． 14．(2017·安徽安庆模拟)人类对自己赖以生存的地球的研究，是一个永恒的主题．我国 南极科学考察队在地球的南极用弹簧测力计称得某物体重为 P，在回国途径赤道时用弹簧测 力计称得同一物体重为 0.9P.若已知地球自转周期为 T，引力常量为 G，假设地球是质量均 匀分布的球体，则由以上物理量可以求得(　D　) A．物体的质量 m B．地球的半径 R C．地球的质量 M D．地球的密度 ρ 解析　因为两极处的万有引力等于物体的重力，故 P＝GMm R2 ，由于赤道处的向心力等 于万有引力与物体在赤道处的重力之差，故 P－0.9P＝m( 2π T )2R，故 M＝40π2R3 GT2 .物体的质 量是任意的，故无法求解出，故选项 A 错误．由于不知道地球半径，故无法求解地球的质 量，故选项 B、C 均错误．地球密度 ρ＝M V＝ 40π2R3 GT2 4 3πR3 ＝30π GT2，故选项 D 正确．