2018届二轮复习函数的应用学案
第2讲 函数的应用
1.求函数零点所在区间、零点个数及参数的取值范围是高考的常见题型，主要以选择题、填空题的形式出现．
2．函数的实际应用以二次函数、分段函数模型为载体，主要考查函数的最值问题．
热点一 函数的零点
1．零点存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
2．函数的零点与方程根的关系
函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．
例1 (1)方程ln(x＋1)－＝0(x>0)的根存在的大致区间是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2，e) D．(3,4)
答案 B
解析 设f(x)＝ln(x＋1)－，
则f(1)＝ln(1＋1)－2＝ln 2－2<0，
而f(2)＝ln 3－1>0，
所以函数f(x)的零点所在区间为(1,2)．
所以B选项正确．
(2)(2017届河北沧州一中月考)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则方程f(x)＝log3|x|的解的个数是( )
A．0 B．2
C．4 D．6
答案 C
解析 运用函数的奇偶性、周期性在同一平面直角坐标系中画出函数y＝f(x)，y＝log3|x|的
图象，结合图象可以看出：两个函数y＝f(x)，y＝log3|x|有四个不同的交点，即方程f(x)＝log3|x|有四个解，故选C.
思维升华 函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有
(1)函数零点大致存在区间的确定．
(2)零点个数的确定．
(3)两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合法求解．
跟踪演练1 (1)函数f(x)＝2x＋2x的零点所在的区间是( )
A．[－2，－1] B．[－1,0]
C．[0,1] D．[1,2]
答案 B
解析 f(－2)＝2－2＋2×(－2)<0，f(－1)＝2－1＋2×(－1)<0，f(0)＝20＋0>0，由零点存在性定理知，函数f(x)的零点在[－1,0]内，故选B.
(2)(2017届甘肃高台县一中检测)已知函数f(x)满足：①定义域为R；②∀x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)；③当x∈[－1,1]时，f(x)＝－|x|＋1，则方程f(x)＝log2|x|在区间[－3,5]内解的个数是( )
A．5 B．6 C．7 D．8
答案 A
解析 画出函数图象如图所示，由图可知，共有5个解．
热点二 函数的零点与参数的范围
解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解．
例2 (1)(2017届山东菏泽一中宏志部月考)已知偶函数f(x)满足f(x－1)＝，且当x∈[－1,0]时，f(x)＝x2，若在区间[－1,3]内，函数g(x)＝f(x)－loga(x＋2)有3个零点，则实数a
的取值范围是______．
答案 (3,5)
解析 ∵偶函数f(x)满足f(x－1)＝，
且当x∈[－1,0]时，f(x)＝x2，
∴f(x－2)＝f(x－1－1)＝＝f(x)，
∴函数f(x)的周期为2，在区间[－1,3]内函数g(x)＝f(x)－loga(x＋2)有3个零点等价于函数f(x)的图象与y＝loga(x＋2)的图象在区间[－1,3]内有3个交点．
当0
1且解得32时符合题设．
(2)(2017·全国Ⅲ)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a等于( )
A．－ B. C. D．1
答案 C
解析 方法一 f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)＝(x－1)2＋a[ex－1＋e－(x－1)]－1，
令t＝x－1，则g(t)＝f(t＋1)＝t2＋a(et＋e－t)－1.
∵g(－t)＝(－t)2＋a(e－t＋et)－1＝g(t)，
∴函数g(t)为偶函数．
∵f(x)有唯一零点，∴g(t)也有唯一零点．
又g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g(0)＝0，
∴2a－1＝0，解得a＝.故选C.
方法二 f(x)＝0⇔a(ex－1＋e－x＋1)＝－x2＋2x.
ex－1＋e－x＋1≥2＝2，
当且仅当x＝1时取“＝”．
－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，当且仅当x＝1时取“＝”．
若a＞0，则a(ex－1＋e－x＋1)≥2a，
要使f(x)有唯一零点，则必有2a＝1，即a＝.
若a≤0，则f(x)的零点不唯一．故选C.
热点三 函数的实际应用问题
解决函数模型的实际应用问题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是：(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题．(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式．(3)
解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果．(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答．
例3 (2017届湖北孝感市统考)经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y(升)与速度x(千米/小时)(50≤x≤120)的关系可近似表示为：
y＝
(1)该型号汽车速度为多少时，可使得每小时耗油量最低？
(2)已知A，B两地相距120千米，假定该型号汽车匀速从A地驶向B地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？
解 (1)当x∈[50,80)时，
y＝(x2－130x＋4 900)＝[(x－65)2＋675]
当x＝65时，y有最小值×675＝9.
当x∈[80,120]时，函数单调递减，故当x＝120时，y有最小值10.
因为9<10，故当x＝65时每小时耗油量最低．
(2)设总耗油量为l，由题意可知l＝y·.
①当x∈[50,80)时，
l＝y·＝
≥＝16，
当且仅当x＝，即x＝70时，l取得最小值16.
②当x∈[80,120]时，l＝y·＝－2为减函数．
当x＝120时，l取得最小值10.
因为10<16，所以当速度为120千米/小时时，总耗油量最少．
思维升华 (1)关于解决函数的实际应用问题，首先要耐心、细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建立函数关系式，然后借助函数的知识求解，解答后再回到实际问题中去．
(2)对函数模型求最值的常用方法：单调性法、基本不等式法及导数法．
跟踪演练3 (2017届运城期中)为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似的表示为y＝x2－200x＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？
解 (1)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为
＝x＋－200≥2－200＝200，
当且仅当x＝，即x＝400时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．
(2)设该单位每月获利为S，
则S＝100x－y＝100x－
＝－x2＋300x－80 000＝－(x－300)2－35 000，
因为400≤x≤600，
所以当x＝400时，S有最大值－40 000.
故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40 000元，才能不亏损．
真题体验
1．(2016·天津改编)已知函数f(x)＝sin2＋sin ωx－ (ω>0，x∈R)．若f(x)在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是______________．
答案 ∪
解析 f(x)＝＋sin ωx－
＝(sin ωx－cos ωx)＝sin.
因为函数f(x)在区间(π，2π)内没有零点，
所以>2π－π，所以>π，所以0<ω<1.
当x∈(π，2π)时，ωx－∈，若函数f(x)在区间(π，2π)内有零点，则ωπ－g，g(4)＝3>2，g(－1)＝－2，所以两个函数图象的交点一共有5个，所以f(x)＝2sin πx－x＋1的零点个数为5.
2．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是( )
A．[－1,1) B．[0,2]
C．(－2,2] D．[－1,2)
押题依据 利用函数零点个数可以得到函数图象的交点个数，进而确定参数范围，较好地体现了数形结合思想．
答案 D
解析 g(x)＝f(x)－2x＝要使函数g(x)恰有三个不同的零点，只需g(x)＝0恰有三个不同的实数根，
所以或
所以g(x)＝0的三个不同的实数根为x＝2(x>a)，x＝－1(x≤a)，x＝－2(x≤a)．
再借助数轴，可得－1≤a<2.
所以实数a的取值范围是[－1,2)，故选D.
3．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________m.
押题依据 函数的实际应用是高考的必考点，函数的最值问题是应用问题考查的热点．
答案 20
解析 如图，
过A作AH⊥BC交BC于点H，交DE于点F，
易知＝＝＝⇒AF＝x⇒FH＝40－x，
则S＝x(40－x)≤2，当且仅当40－x＝x，
即x＝20时取等号，所以满足题意的边长x为20 m.
A组 专题通关
1．已知函数f(x)＝x－sin x, 则f(x)在[0,2π]上的零点个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 C
解析 由题意得f(x)在[0,2π]上的零点个数即为函数y＝x与函数y＝sin x在[0,2π]上的交点个数，如图所示，结合图象可得函数y＝x与函数y＝sin x在[0,2π]上交点的个数为2，故选C.
2．(2017届遵义期中)某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产，第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加3万元，该设备每年生产的收入均为21万元，设该设备使用了n(n∈N*)年后，盈利总额达到最大值(盈利额等于收入减去成本)，则n等于( )
A．6 B．7
C．8 D．7或8
答案 B
解析 盈利总额为21n－9－＝－n2＋n－9，
由于对称轴为n＝，所以当n＝7时，取最大值，故选B.
3．(2017届陕西西安铁一中三模)如图是函数f(x)＝x2＋ax＋b的部分图象，则函数g(x)＝ln x＋f′(x)的零点所在的区间是( )
A. B.
C．(1,2) D．(2,3)
答案 B
解析 由函数图象可知即
函数g(x)＝ln x＋2x＋a＝ln x＋2x－1－b，
g＝ln ＋1－1－b＝－ln 2－b<0，
g(1)＝ln 1＋2－1－b＝1－b>0，
所以零点所在的一个区间为，故选B.
4．已知函数y＝f(x)的周期为2，当x∈[0,2]时，f(x)＝(x－1)2，如果g(x)＝f(x)－log5|x－1|，则方程g(x)＝0的所有根之和为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
答案 D
解析 在平面直角坐标系中画出函数y＝f(x)及y＝log5|x－1|的图象，结合函数的图象可以看出函数共有8个零点，且关于x＝1对称，故所有零点的和为2×4＝8，故选D.
5．(2017届湖南长沙一中月考)将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t min后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线y＝aent.假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min甲桶中的水只有升，则m的值为( )
A．5 B．6
C．8 D．10
答案 A
解析 根据题知，因为5 min后甲桶和乙桶的水量相等，所以函数y＝aent，满足f(5)＝ae5n＝a，可得n＝ln ，因此当k min后甲桶中的水只有升，即f(k)＝，即ln ·k＝ln ，所以ln ·k＝2ln ，
解得k＝10，k－5＝5，即m＝5，故选A.
6．(2017届陕西黄陵中学月考)函数f(x)的定义域为[－1,1]，图象如图1所示，函数g(x)的定义域为[－2,2]，图象如图2所示，方程f(g(x))＝0有m个实数根，方程g(f(x))＝0有n个实数根，则m＋n等于( )
A．6 B．8
C．10 D．12
答案 C
解析 注意到f(－1)＝f(0)＝f(1)＝0，g(x)＝－1有2个根，g(x)＝0有3个根，g(x)＝1有2个根，故m＝7.注意到g＝g(0)＝g＝0，－1≤f(x)≤1，f(x)＝0有3个根，故n＝3，所以m＋n＝10.
7．(2017届江苏无锡市普通高中期中)若函数y＝在区间(－2,2)上有两个零点，则实数a的取值范围为________．
答案 [0,2＋ln 2)
解析 由题设可知函数y＝x2－a与函数y＝x－a＋ln x在给定的区间(－2,0]和区间(0,2)内分别有一个根，结合图象可得即
所以0≤a<2＋ln 2.
8．(2017届江苏泰州中学期中)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f(x＋5)＝16，当x∈(－1,4]时，f(x)＝x2－2x，则函数f(x)在区间[0,2 016]上的零点个数是________．
答案 605
解析 因为f(x)＋f(x＋5)＝16，则f(x＋5)＋f(x＋10)＝16，所以f(x)＝f(x＋10)，所以该函数的周期是T＝10.由于函数y＝f(x)在(－1,4]上有三个零点，因此在区间(－1,9)上只有三个零点，而2 016÷5＝403＋1，故在区间[0,2 016]上共有(403×3＋1)÷2＝(1 209＋1)÷2＝605(个)交点．
9．(2017届河南省郑州市第一中学质量检测)对于函数f(x)与g(x)，若存在λ∈{x∈R|f(x)＝0}，μ∈{x∈R|g(x)＝0}，使得|λ－μ|≤1，则称函数f(x)与g(x)互为“零点密切函数”，现已知函数f(x)＝ex－2＋x－3与g(x)＝x2－ax－x＋4互为“零点密切函数”，则实数a的取值范围是________．
答案
解析 由题意知，函数f(x)的零点为x＝2，设g(x)满足|2－μ|≤1的零点为μ，因为|2－μ|≤1，解得1≤μ≤3.
因为函数g(x)的图象开口向上，所以要使g(x)的一个零点落在区间[1,3]上，
则需满足g(1)g(3)≤0或
解得≤a≤4或3≤a<，取并集得3≤a≤4.
故实数a的取值范围为.
10．(2017届江西抚州市七校联考)食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a(单位：万元)满足P＝80＋4，Q＝a＋120.设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f(x)(单位：万元)
(1)求f(50)的值；
(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f(x)最大？
解 (1)因为甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元，
所以f(50)＝80＋4＋×150＋120＝277.5.
(2)f(x)＝80＋4＋(200－x)＋120＝－x＋4＋250，
依题意得⇒20≤x≤180，
故f(x)＝－x＋4＋250(20≤x≤180)．
令t＝∈[2，6]，
则y＝－t2＋4t＋250＝－(t－8)2＋282，
当t＝8，即x＝128时，f(x)max＝282，
所以当甲大棚投入128万元，乙大棚投入72万元时，总收益最大，且最大收益为282万元．
B组 能力提高
11．(2017届湖北孝感统考)定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝则关于x的方程f(x)－a＝0(02时，方程f(x)＝a有一个正根，一个小于－4的负根，∴f ＝a有四个根，
∴f ＝a根的个数可能为2,3,4,6,7,8，故选D.
13．(2017届重庆市第八中学二调)已知函数f(x)＝|x|(2－x)，关于x的方程f(x)＝m(m∈R)有三个不同的实数解x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围为____________．
答案 (1－，0)
解析 f(x)＝|x|(2－x)＝
如图所示，关于x的方程f(x)＝m恰有三个互不相等的实根x1，x2，x3，即函数y＝f(x)的图象与直线y＝m有三个不同的交点，则00时，由对称性知，x2＋x3＝2,00且a≠1)在R上单调递减，且关于x的方程|f(x)|＝2－x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是_____．
答案 ∪
解析 画出函数y＝|f(x)|的图象如图，结合图象可知当直线y＝2－x与函数y＝x2＋3a相切时，由Δ＝1－4(3a－2)＝0，解得a＝，此时满足题设；由函数y＝f(x)是单调递减函数可知，0＋3a≥loga(0＋1)＋1，即a≥，所以当2≥3a时，即≤a≤时，函数y＝|f(x)|与函数y＝2－x恰有两个不同的交点，即方程|f(x)|＝2－x恰好有两个不相等的实数解，综上所求实数a的取值范围是≤a≤或a＝.
