【数学】2020届一轮复习人教B版(理)34抛物线的定义、标准方程及性质作业

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【数学】2020届一轮复习人教B版(理)34抛物线的定义、标准方程及性质作业

天天练 34 抛物线的定义、标准方程及性质 小题狂练 小题是基础 练小题 提分快 一、选择题 ‎1.[2019·哈尔滨模拟]过点F(0,3)且和直线y+3=0相切的动圆圆心的轨迹方程为(  )‎ A.y2=12x B.y2=-12x C.x2=-12y D.x2=12y 答案:D 解析:由抛物线的定义知,过点F(0,3)且和直线y+3=0相切的动圆圆心的轨迹是以点F(0,3)为焦点,直线y=-3为准线的抛物线,故其方程为x2=12y.‎ ‎2.抛物线x=4y2的准线方程为(  )‎ A.y= B.y=-1‎ C.x=- D.x= 答案:C 解析:将x=4y2化为标准形式为y2=x,所以2p=,p=,开口向右,所以抛物线的准线方程为x=-.‎ ‎3.顶点在原点,对称轴为坐标轴,且过点P(-4,-2)的抛物线的标准方程是(  )‎ A.y2=-x B.x2=-8y C.y2=-8x或x2=-y D.y2=-x或x2=-8y 答案:D 解析:设抛物线为y2=mx,代入点P(-4,-2),解得m=-1,则抛物线方程为y2=-x;设抛物线为x2=ny,代入点P(-4,-2),解得n=-8,则抛物线方程为x2=-8y.故选D.‎ ‎4.[2019·广东广州天河区实验月考]抛物线x2=4y上一点P到焦点的距离为3,则点P到y轴的距离为(  )‎ A.2 B.1‎ C.2 D.3‎ 答案:A 解析:根据抛物线方程可求得焦点坐标为(0,1),准线方程为y=-1.根据抛物线定义,得yP+1=3,解得yP=2,代入抛物线方程求得xP=±2,∴点P到y轴的距离为2.故选A.‎ ‎5.已知双曲线-x2=1的两条渐近线分别与抛物线y2=2px(p>0)的准线交于A,B两点,O为坐标原点,若△AOB的面积为1,则p的值为(  )‎ A.1 B. C.2 D.4‎ 答案:B 解析:双曲线-x2=1的渐近线y=±2x与抛物线y2=2px的准线x=-的交点分别为A,B,则|AB|=2p,△AOB的面积为×2p×=1,p>0,解得p=.‎ ‎6.[2019·山东第三月考]已知点Q(0,2)及抛物线y2=4x上一动点P(x,y),则x+|PQ|的最小值为(  )‎ A.4 B.2‎ C.6 D. 答案:B 解析:抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),则由抛物线的定义得其准线方程为x=-1.设d为点P(x,y)到准线的距离.‎ ‎∴x+|PQ|=d-1+|PQ|=|PF|+|PQ|-1≥|FQ|-1,‎ ‎∴x+|PQ|的最小值是|QF|-1.‎ ‎∵点Q(0,2),∴|QF|=3.‎ ‎∴x+|PQ|的最小值是|QF|-1=3-1=2.故选B.‎ ‎7.直线x-y+1=0与抛物线y2=2px的对称轴及准线相交于同一点,则该直线与抛物线的交点的横坐标为(  )‎ A.-1 B.‎1 ‎‎ C.2 D.3‎ 答案:B 解析:由题意可得,直线x-y+1=0与抛物线y2=2px的对称轴及准线交点的坐标为,代入x-y+1=0,得-+1=0,即p=2,故抛物线的方程为y2=4x.将y2=4x与直线方程x-y+1=0联立可得交点的坐标为(1,2).故选B.‎ ‎8.[2019·广东中山一中统测]过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点.如果x1+x2=6, 那么|AB|=(  )‎ A.6 B.‎8 ‎‎ C.9 D.10‎ 答案:B 解析:由题意知,抛物线y2=4x的准线方程是x=-1.‎ ‎∵ 过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),‎ B(x2,y2)两点,∴|AB|=x1+x2+2.又∵x1+x2=6,‎ ‎∴|AB|=x1+x2+2=8.故选B.‎ 二、非选择题 ‎9.[2019·广西贺州桂梧高中月考]抛物线x2=-2py(p>0)的焦点到直线y=2的距离为5,则p=________.‎ 答案:6‎ 解析:由题意得2+=5,∴p=6.‎ ‎10.[2019·湖南益阳、湘潭联考]已知圆C1:x2+(y-2)2=4,抛物线C2:y2=2px(p>0),C1与C2相交于A,B两点.若|AB|=,则抛物线C2的方程为________.‎ 答案:y2=x 解析:由题意得圆C1与抛物线C2的其中一个交点B为原点,设A(x,y),圆C1的圆心为C(0,2).‎ ‎∵|AB|=,∴sin∠BCA==,cos∠BCA=.‎ ‎∴y=|AB|sin∠BCA=×=,x=|AB|·cos∠BCA=×=,∴点A的坐标为.‎ ‎∵点A在抛物线C2上,∴2p×=2,解得p=,‎ ‎∴抛物线C2的方程为y2=x.‎ ‎11.[2019·厦门模拟]已知焦点为F的抛物线y2=2px(p>0)上一点A(m,2),若以A为圆心,|AF|为半径的圆A被y轴截得的弦长为2,则m=________.‎ 答案:2‎ 解析:因为圆A被y轴截得的弦长为2,所以=|AF|=m+ ①,‎ 又A(m,2)在抛物线上,故8=2pm ②‎ 由①与②可得p=2,m=2.‎ ‎12.[2019·浙江联考]抛物线y2=4x的焦点为F,点P(x,y ‎)为该抛物线上的动点,又点A(-1,0),则的最小值是________.‎ 答案: 解析:根据抛物线的定义,可求得|PF|=x+1,又|PA|=,‎ 所以= ①.‎ 因为y2=4x,令=t,则①式可化简为,其中t∈(0,2],即可求得的最小值为,所以的最小值为.‎ 课时测评 综合提能力 课时练 赢高分 一、选择题 ‎1.若抛物线y2=2px(p>0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6,则抛物线的方程为(  )‎ A.y2=4x      B.y2=36x C.y2=4x或y2=36x D.y2=8x或y2=32x 答案:C 解析:因为抛物线y2=2px(p>0)上一点到抛物线的对称轴的距离为6,所以若设该点为P,则P(x0,±6).因为P到抛物线的焦点F的距离为10,所以由抛物线的定义得x0+=10 ①.因为P在抛物线上,所以36=2px0 ②.由①②解得p=2,x0=9或p=18,x0=1,则抛物线的方程为y2=4x或y2=36x.‎ ‎2.[2019·重庆酉阳月考]已知F是抛物线C:y=2x2的焦点,点P(x,y)在抛物线C上,且x=1,则|PF|=(  )‎ A. B. C. D. 答案:C 解析:由y=2x2,得x2=,则p=.‎ 由x=1得y=2.由抛物线的性质,‎ 得|PF|=2+=2+=.故选C.‎ ‎3.已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线l与x轴的交点为K,P是抛物线上一点,若|PF|=5,则△PKF的面积为(  )‎ A.4 B.5‎ C.8 D.10‎ 答案:A 解析:通解 由抛物线y2=4x,知=1,则焦点F(1,0).设点P,则由|PF|=5,得 =5,解得y0=±4,所以S△PKF=×p×|y0|=×2×4=4,故选A.‎ 优解 由题意知抛物线的准线方程为x=-1.过点P作PA⊥l于点A,由抛物线的定义知|PF|=xp+=xp+1=5,所以xp=4,代入抛物线y2=4x,得yp=±4,所以S△PKF=×p×|yp|=×2×4=4,故选A.‎ ‎4.已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M到焦点F的距离等于2p,则直线MF的斜率为(  )‎ A.± B.± C.±1 D.± 答案:D 解析:设M(x,y),由题意知F,由抛物线的定义,可知x+=2p,故x=,由y2=2p×,知y=±p.当M时,kMF==,‎ 当M时,kMF==-,故kMF=±.故选D.‎ ‎5.[2018·全国卷Ⅰ]设抛物线C:y2=4x的焦点为F ‎,过点(-2,0)且斜率为的直线与C交于M,N两点,则·=(  )‎ A.5 B.6‎ C.7 D.8‎ 答案:D 解析:由题意知直线MN的方程为y=(x+2),‎ 联立直线与抛物线的方程,得 解得或 不妨设M为(1,2),N为(4,4).‎ 又∵抛物线焦点为F(1,0),∴=(0,2),=(3,4).‎ ‎∴·=0×3+2×4=8.‎ 故选D.‎ ‎6.[2019·辽宁联考]抛物线C:y2=4x的焦点为F,N为准线上一点,M为y轴上一点,∠MNF为直角,若线段MF的中点E在抛物线C上,则△MNF的面积为(  )‎ A. B. C. D.3 答案:C 解析:如图所示,不妨设点N在第二象限,连接EN,易知F(1,0),因为∠MNF为直角,点E为线段MF的中点,所以|EM|=|EF|=|EN|,又E在抛物线C上,所以EN⊥准线x=-1,E,所以N(-1,),M(0,2),所以|NF|=,|NM|=,所以△MNF的面积为,故选C.‎ ‎7.[2019·河南联考]已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,且l过点(-2,3),M在抛物线C上.若点N(1,2),则|MN|+|MF|的最小值为(  )‎ A.2 B.3‎ C.4 D.5‎ 答案:B 解析:由题意得l:x=-2,抛物线C:y2=8x.过点M作MM′⊥l,垂足为点M′,过点N作NN′⊥l,垂足为点N′.由抛物线的几何性质,得|MN|+|MF|=|MN|+|MM′|≥|NN′|=3.∴当点M为直线NN′与抛物线C的交点时,|MN|+|MF|取得最小值3.故选B.‎ ‎8.[2019·湘潭调研]如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A,B,交其准线l于点C,若F是AC的中点,且|AF|=4,则线段AB的长为(  )‎ A.5 B.‎6 ‎‎ C. D. 答案:C 解析:‎ 解法一 如图,设l与x轴交于点M,过点A作AD⊥l交l于点D,由抛物线的定义知,|AD|=|AF|=4,由F是AC的中点,知|AF|=2|MF|=2p,所以2p=4,解得p=2,抛物线的方程为y2=4x.设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|=x1+=x1+1=4,所以x1=3,解得y1=2,所以A(3,2),又F(1,0),所以直线AF的斜率k==,所以直线AF的方程为y=(x-1),代入抛物线方程y2=4x得,3x2-10x+3=0,所以x1+x2=,|AB|=x1+x2+p=.故选C.‎ 解法二 如图,设l与x轴交于点M,过点A作AD⊥l交l于点D,由抛物线的定义知,|AD|=|AF|=4,由F是AC的中点,知|AF|=2|MF|=2p,所以2p=4,解得p=2,抛物线的方程为y2=4x.设A(x1,‎ y1),B(x2,y2),则|AF|=x1+=x1+1=4,所以x1=3,又x1x2==1,所以x2=,所以|AB|=x1+x2+p=.故选C.‎ 解法三 如图,设l与x轴交于点M,过点A作AD⊥l交l于点D,由抛物线的定义知,|AD|=|AF|=4,由F是AC的中点,知|AF|=2|MF|=2p,所以2p=4,解得p=2,抛物线的方程为y2=4x.设A(x1,y1),B(x2,y2),因为+=,|AF|=4,所以|BF|=,所以|AB|=|AF|+|BF|=4+=.故选C.‎ 二、非选择题 ‎9.[2019·宁夏模拟]已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,抛物线上的点P(m,-2)到焦点的距离为4,则m的值为________.‎ 答案:±4‎ 解析:由题意可设抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0).由定义知P到准线的距离为4,故+2=4,即p=4,所以抛物线的方程为x2=-8y,代入点P的坐标得m=±4.‎ ‎10.抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值是________.‎ 答案: 解析:‎ 解法一 如图,设与直线4x+3y-8=0平行且与抛物线y=-x2相切的直线为4x+3y+b=0,切线方程与抛物线方程联立得消去y整理得3x2-4x-b=0,则Δ=16+12b=0,解得b=-,所以切线方程为4x+3y-=0,抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值是这两条平行线间的距离d==.‎ 解法二 由y=-x2,得y′=-2x.如图,设与直线4x+3y-8=0平行且与抛物线y=-x2相切的直线与抛物线的切点是T(m,-m2),则切线斜率k=y′|x=m=-‎2m=,所以m=,即切点T,点T到直线4x+3y-8=0的距离d==,由图知抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值是.‎ ‎11.[2019·云南大理州模拟]已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点F在x轴的正半轴上,过点F的直线l与抛物线C相交于A、B两点,且满足·=-.‎ ‎(1)求抛物线C的标准方程;‎ ‎(2)若点M在抛物线C的准线上运动,其纵坐标的取值范围是[-1,1],且·=9,点N是以线段AB为直径的圆与抛物线C的准线的一个公共点,求点N的纵坐标的取值范围.‎ 解析:(1)设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0),其焦点F的坐标为,直线l的方程为x=ty+,A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程消去x得:y2-2pty-p2=0,所以y1+y2=‎2pt,y1y2=-p2,x1x2=×==.因为·=x1x2+y1y2=-=-,解得p=1,所以所求抛物线C的标准方程为y2=2x.‎ ‎(2)设点M,-1≤m≤1,由(1)知,x1x2=,y1y2=-1,y1+y2=2t,所以x1+x2=2t2+1,因为·=+(y1-m)(y2-m)=(t-m)2,所以(t-m)2=9得t=m+3或t=m-3,因为-1≤m≤1,∴2≤t≤4或-4≤t≤-2,由抛物线定义可知,以线段AB为直径的圆与抛物线C的准线相切,所以点N的纵坐标为=t,所以点N的纵坐标的取值范围是[-4,-2]∪[2,4].‎
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