2019届二轮复习（理）专题二函数与导数2-3-1导数与函数的单调性、极值、最值课件（30张）（全国通用）
2.3
导数在函数中的应用
-
2
-
一、导数与函数的单调性、极值、最值
-
4
-
命题热点一
命题热点二
命题热点三
利用导数讨论函数的单调性
【思考】
函数的导数与函数的单调性具有怎样的关系
?
例
1
设
a
∈
Z
,
已知定义在
R
上的函数
f
(
x
)
=
2
x
4
+
3
x
3
-
3
x
2
-
6
x+a
在区间
(1,2)
内有一个零点
x
0
,
g
(
x
)
为
f
(
x
)
的导函数
.
(1)
求
g
(
x
)
的单调区间
;
(2)
设
m
∈
[1,
x
0
)
∪
(
x
0
,2],
函数
h
(
x
)
=g
(
x
)(
m-x
0
)
-f
(
m
),
求证
:
h
(
m
)
h
(
x
0
)
<
0;
(3)
求证
:
存在大于
0
的常数
A
,
使得对于任意的正整数
p
,
q
,
且
-
5
-
命题热点一
命题热点二
命题热点三
-
6
-
命题热点一
命题热点二
命题热点三
(2)
证明
:
由
h
(
x
)
=g
(
x
)(
m-x
0
)
-f
(
m
),
得
h
(
m
)
=g
(
m
)(
m-x
0
)
-f
(
m
),
h
(
x
0
)
=g
(
x
0
)(
m-x
0
)
-f
(
m
)
.
令函数
H
1
(
x
)
=g
(
x
)(
x-x
0
)
-f
(
x
),
则
H'
1
(
x
)
=g'
(
x
)(
x-x
0
)
.
由
(1)
知
,
当
x
∈
[1,2]
时
,
g'
(
x
)
>
0,
故当
x
∈
[1,
x
0
)
时
,
H'
1
(
x
)
<
0,
H
1
(
x
)
单调递减
;
当
x
∈
(
x
0
,2]
时
,
H'
1
(
x
)
>
0,
H
1
(
x
)
单调递增
.
因此
,
当
x
∈
[1,
x
0
)
∪
(
x
0
,2]
时
,
H
1
(
x
)
>H
1
(
x
0
)
=-f
(
x
0
)
=
0,
可得
H
1
(
m
)
>
0,
即
h
(
m
)
>
0
.
令函数
H
2
(
x
)
=g
(
x
0
)(
x-x
0
)
-f
(
x
),
则
H'
2
(
x
)
=g
(
x
0
)
-g
(
x
)
.
由
(1)
知
g
(
x
)
在区间
[1,2]
上单调递增
,
故当
x
∈
[1,
x
0
)
时
,
H'
2
(
x
)
>
0,
H
2
(
x
)
单调递增
;
当
x
∈
(
x
0
,2]
时
,
H'
2
(
x
)
<
0,
H
2
(
x
)
单调递减
.
因此
,
当
x
∈
[1,
x
0
)
∪
(
x
0
,2]
时
,
H
2
(
x
)
0
或
f'
(
x
)
<
0;
②
若已知
y=f
(
x
)
的单调性
,
则转化为不等式
f'
(
x
)
≥
0
或
f'
(
x
)
≤
0
在函数的单调区间上恒成立问题求解
.
-
10
-
命题热点一
命题热点二
命题热点三
答案
解析
解析
关闭
答案
解析
关闭
对点训练
1
设函数
f
(
x
)
=
ln(1
+x
)
-
ln(1
-x
),
则
f
(
x
)
是
(
)
A.
奇函数
,
且在区间
(0,1)
上是增函数
B.
奇函数
,
且在区间
(0,1)
上是减函数
C.
偶函数
,
且在区间
(0,1)
上是增函数
D.
偶函数
,
且在区间
(0,1)
上是减函数
-
11
-
命题热点一
命题热点二
命题热点三
利用导数求函数的极值或最值
【思考】
函数的极值与导数有怎样的关系?如何求函数的最值?
例
2
已知
函数
f
(
x
)
=
e
x
cos
x-x.
(1)求曲线
y=f
(
x
)在点(0,
f
(0))处的切线方程
;
-
12
-
命题热点一
命题热点二
命题热点三
解
:
(1)
因为
f
(
x
)
=
e
x
cos
x-x
,
所以
f'
(
x
)
=
e
x
(cos
x-
sin
x
)
-
1,
f'
(0)
=
0
.
又因为
f
(0)
=
1,
所以曲线
y=f
(
x
)
在点
(0,
f
(0))
处的切线方程为
y=
1
.
(2)
设
h
(
x
)
=
e
x
(cos
x-
sin
x
)
-
1,
则
h'
(
x
)
=
e
x
(cos
x-
sin
x-
sin
x-
cos
x
)
=-
2e
x
sin
x.
-
13
-
命题热点一
命题热点二
命题热点三
题后反思
1
.
对于函数
y=f
(
x
),
若在点
x=a
处有
f'
(
a
)
=
0,
且在点
x=a
附近的左侧
f'
(
x
)
<
0,
右侧
f'
(
x
)
>
0,
则当
x=a
时
f
(
x
)
有极小值
f
(
a
);
若在点
x=b
处有
f'
(
b
)
=
0,
且在点
x=b
附近的左侧
f'
(
x
)
>
0,
右侧
f'
(
x
)
<
0,
则当
x=b
时
f
(
x
)
有极大值
f
(
b
)
.
2
.
求函数
y=f
(
x
)
在区间
[
a
,
b
]
上的最大值与最小值的步骤
:
(1)
求函数
y=f
(
x
)
在区间
(
a
,
b
)
内的极值
;
(2)
将函数
y=f
(
x
)
的各极值与端点处的函数值
f
(
a
),
f
(
b
)
比较
,
其中最大的一个是最大值
,
最小的一个是最小值
.
-
14
-
命题热点一
命题热点二
命题热点三
对点训练
2
已知函数
f
(
x
)
=ax
2
+
1(
a>
0),
g
(
x
)
=x
3
+bx.
(1)
若曲线
y=f
(
x
)
与曲线
y=g
(
x
)
在它们的交点
(1,
c
)
处具有公共切线
,
求
a
,
b
的值
;
(2)
当
a
2
=
4
b
时
,
求函数
f
(
x
)
+g
(
x
)
的单调区间
,
并求其在区间
(
-∞
,
-
1]
上的最大值
.
解：
(1)
f'
(
x
)
=
2
ax
,
g'
(
x
)
=
3
x
2
+b.
因为曲线
y=f
(
x
)
与曲线
y=g
(
x
)
在它们的交点
(1,
c
)
处具有公共切线
,
所以
f
(1)
=g
(1),
且
f'
(1)
=g'
(1),
即
a+
1
=
1
+b
,
且
2
a=
3
+b.
解得
a=
3,
b=
3
.
-
15
-
命题热点一
命题热点二
命题热点三
-
16
-
命题热点一
命题热点二
命题热点三
-
17
-
命题热点一
命题热点二
命题热点三
利用导数求与函数零点有关的参数的取值范围
【思考】
如何利用导数求与函数零点有关的参数的取值范围?
例
3
已知函数
f
(
x
)
=x
3
+ax
+
,
g
(
x
)
=-
ln
x.
(1)当
a
为何值时,
x
轴为曲线
y=f
(
x
)的切线;
(2)用min{
m
,
n
}表示
m
,
n
中的最小值,设函数
h
(
x
)
=
min{
f
(
x
),
g
(
x
)}(
x>
0),讨论
h
(
x
)零点的个数
.
-
18
-
命题热点一
命题热点二
命题热点三
(2)
当
x
∈
(1,
+∞
)
时
,
g
(
x
)
=-
ln
x<
0,
从而
h
(
x
)
=
min{
f
(
x
),
g
(
x
)}
≤
g
(
x
)
<
0,
故
h
(
x
)
在
(1,
+∞
)
无零点
.
故
x=
1
是
h
(
x
)
的零点
;
若
a<-
,
则
f
(1)
<
0,
h
(1)
=
min{
f
(1),
g
(1)}
=f
(1)
<
0,
故
x=
1
不是
h
(
x
)
的零点
.
当
x
∈
(0,1)
时
,
g
(
x
)
=-
ln
x>
0
.
所以只需考虑
f
(
x
)
在
(0,1)
的零点个数
.
(
ⅰ
)
若
a
≤
-
3
或
a
≥
0,
则
f'
(
x
)
=
3
x
2
+a
在
(0,1)
无零点
,
故
f
(
x
)
在
(0,1)
单调
.
-
19
-
命题热点一
命题热点二
命题热点三
-
20
-
命题热点一
命题热点二
命题热点三
题后反思
与函数零点有关的参数范围问题
,
往往利用导数研究函数的单调区间和极值点
,
并结合特殊点
,
从而判断函数的大致图象
,
讨论其图象与
x
轴的交点个数问题
(
或者转化为两个熟悉函数的交点问题
),
进而确定参数的取值范围
.
-
21
-
命题热点一
命题热点二
命题热点三
对点训练
3
设函数
f
(
x
)
=
(1
+x
)
2
-
2ln(1
+x
)
.
(1)
求函数
f
(
x
)
的单调区间
;
(2)
若关于
x
的方程
f
(
x
)
=x
2
+x+a
在区间
[0,2]
上恰有两个相异实根
,
求实数
a
的取值范围
.
解：
(1)
函数的定义域为
(
-
1,
+∞
),
因为
f
(
x
)
=
(1
+x
)
2
-
2ln(1
+x
),
由
f'
(
x
)
>
0,
得
x>
0;
由
f'
(
x
)
<
0,
得
-
1
0,
得
x>
1;
由
g'
(
x
)
<
0,
得
-
1
0的解集;若
f
(
x
)在
M
上单调递增,则
f'
(
x
)
≥
0在
M
上恒成立
.
2
.f
(
x
)在区间
A
上单调递减与
f
(
x
)的单调递减区间为
A
不同,当
f
(
x
)在区间
A
上单调递减时,
A
可能是
f
(
x
)的单调递减区间的一个真子集
.
若
f
(
x
)的单调递减区间为[
m
,
n
],则在
x=m
(
x=n
)两侧导数值异号,
f'
(
m
)
=
0(
f'
(
n
)
=
0)
.
3
.
求可导函数极值的步骤:
(1)确定函数
f
(
x
)的定义域;(2)求
f'
(
x
);(3)求
f'
(
x
)
=
0在定义域内的根;(4)判定根两侧导数的符号;(5)下结论
.
要注意函数的极值点对应的导数为0,但导数为0的点不一定是函数的极值点,必须是导数为0的点的左右附近对应的导数异号
.
-
24
-
规律总结
拓展演练
4
.
求函数
f
(
x
)
在区间
[
a
,
b
]
上的最大值与最小值
,
首先求出各极值及区间端点处的函数值
;
然后比较其大小
,
得出结论
(
最大的就是最大值
,
最小的就是最小值
)
.
5
.
对于研究方程根的个数的相关问题
,
利用导数这一工具和数形结合的数学思想就可以很好地解决
.
这类问题求解的通法是
:(1)
构造函数
,
并求其定义域
;(2)
求导数
,
得函数的单调区间和极值点
;(3)
画出函数图象的草图
;(4)
数形结合
,
挖掘隐含条件
,
确定函数的图象与
x
轴的交点情况进而求解
.
-
25
-
规律总结
拓展演练
1
.
(2018
全国
Ⅰ
,
理
5)
设函数
f
(
x
)
=x
3
+
(
a-
1)
x
2
+ax
,
若
f
(
x
)
为奇函数
,
则曲线
y=f
(
x
)
在点
(0,0)
处的切线方程为
(
)
A
.y=-
2
x
B
.y=-x
C
.y=
2
x
D
.y=x
D
解析
因为
f
(
x
)
为奇函数
,
所以
f
(
-x
)
=-f
(
x
),
即
-x
3
+
(
a-
1)
x
2
-ax=-x
3
-
(
a-
1)
x
2
-ax
,
解得
a=
1,
则
f
(
x
)
=x
3
+x.
由
f'
(
x
)
=
3
x
2
+
1,
得在
(0,0)
处的切线斜率
k=f'
(0)
=
1
.
故所求的切线方程为
y=x.
-
26
-
规律总结
拓展演练
2
.
若
x=-
2
是函数
f
(
x
)
=
(
x
2
+ax-
1)e
x-
1
的极值点
,
则
f
(
x
)
的极小值为
(
)
A
.-
1 B
.-
2e
-
3
C
.
5e
-
3
D
.
1
A
解析
由题意可得
,
f'
(
x
)
=
(2
x+a
)e
x-
1
+
(
x
2
+ax-
1)e
x-
1
=
[
x
2
+
(
a+
2)
x+a-
1]e
x-
1
.
因为
x=-
2
是函数
f
(
x
)
的极值点
,
所以
f'
(
-
2)
=
0
.
所以
a=-
1
.
所以
f
(
x
)
=
(
x
2
-x-
1)e
x-
1
.
所以
f'
(
x
)
=
(
x
2
+x-
2)e
x-
1
.
令
f'
(
x
)
=
0,
解得
x
1
=-
2,
x
2
=
1
.
当
x
变化时
,
f'
(
x
),
f
(
x
)
的变化情况如下表
:
所以当
x=
1
时
,
f
(
x
)
有极小值
,
并且极小值为
f
(1)
=
(1
-
1
-
1)e
1
-
1
=-
1,
故选
A
.
-
27
-
规律总结
拓展演练
3
.
(2018
全国
Ⅱ
,
理
13)曲线
y=
2ln(
x+
1)在点(0,0)处的切线方程为
.
y=
2
x
∴
当
x=
0
时
,
y'=
2,
∴
曲线在
(0,0)
处的切线方程为
y=
2
x.
-
28
-
规律总结
拓展演练
4
.
(1)
讨论函数
f
(
x
)
=
e
x
的单调性
,
并证明当
x>
0
时
,(
x-
2)e
x
+x+
2
>
0;
(2
)
证明
:
当
a
∈
[0,1)
时
,
函数
g
(
x
)
=
(
x>
0)
有最小值
.
设
g
(
x
)
的最小值为
h
(
a
),
求函数
h
(
a
)
的值域
.
解：
(1)
f
(
x
)
的定义域为
(
-∞
,
-
2)
∪
(
-
2,
+∞
)
.
当且仅当
x=
0
时
,
f'
(
x
)
=
0,
所以
f
(
x
)
在
(
-∞
,
-
2),(
-
2,
+∞
)
单调递增
.
因此当
x
∈
(0,
+∞
)
时
,
f
(
x
)
>f
(0)
=-
1
.
所以
(
x-
2)e
x
>-
(
x+
2),(
x-
2)e
x
+x+
2
>
0
.
-
29
-
规律总结
拓展演练
由
(1)
知
,
f
(
x
)
+a
单调递增
.
对任意
a
∈
[0,1),
f
(0)
+a=a-
1
<
0,
f
(2)
+a=a
≥
0
.
因此
,
存在唯一
x
a
∈
(0,2],
使得
f
(
x
a
)
+a=
0,
即
g'
(
x
a
)
=
0
.
当
0
x
a
时
,
f
(
x
)
+a>
0,
g'
(
x
)
>
0,
g
(
x
)
单调递增
.
-
30
-
规律总结
拓展演练
