高考文科数学复习：夯基提能作业本 (12)

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第四节　数列求和 A组　基础题组 ‎1.数列{an}的通项公式是an=‎1‎n‎+‎n+1‎,前n项和为9,则n等于(　　)‎ A.9 B.99 C.10 D.100‎ ‎2.已知数列{an}满足an+1=‎1‎‎2‎+an‎-‎an‎2‎,且a1=‎1‎‎2‎,则该数列的前2 016项的和等于(　　)‎ A.1 509 B.3 018 C.1 512 D.2 016‎ ‎3.在数列{an}中,a1=1,a2=2,an+2-an=1+(-1)n,那么S100的值为(　　)‎ A.2 500 B.2 600 C.2 700 D.2 800‎ ‎4.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-6n,则{|an|}的前n项和Tn=(　　)‎ A.6n-n2 B.n2-6n+18‎ C.‎6n-‎n‎2‎‎(1≤n≤3)‎n‎2‎‎-6n+18‎‎(n>3)‎ D.‎‎6n-‎n‎2‎‎(1≤n≤3)‎n‎2‎‎-6n‎(n>3)‎ ‎5.设数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*,则a1=　　　　,S5=　　　　. ‎ ‎6.(2015课标Ⅱ,16,5分)设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn=　　　　. ‎ ‎7.对于数列{an},定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”,若a1=2,{an}的“差数列”的通项为2n,则数列{an}的前n项和Sn=　　　　. ‎ ‎8.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=3n+k.‎ ‎(1)求k的值及数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)若数列{bn}满足n=anbn,求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎9.正项数列{an}的前n项和Sn满足:Sn‎2‎-(n2+n-1)Sn-(n2+n)=0.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式an;‎ ‎(2)令bn=n+1‎‎(n+2‎‎)‎‎2‎an‎2‎,数列{bn}的前n项和为Tn.证明:对于任意的n∈N*,都有Tn<‎5‎‎64‎.‎ B组　提升题组 ‎10.在数列{an}中,an=‎2‎n‎-1‎‎2‎n,若{an}的前n项和Sn=‎321‎‎64‎,则n=(　　)‎ A.3 B.4 C.5 D.6‎ ‎11.数列{an}的通项公式为an=ncos nπ‎2‎,其前n项和为Sn,则S2 015等于(　　)‎ A.1 002 B.-1 004 C.1 006 D.-1 008‎ ‎12.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,当n≥2时,an+2Sn-1=n,则S2 015的值为(　　)‎ A.2 015 B.2 013 C.1 008 D.1 007‎ ‎13.(2016江西八校联考)在数列{an}中,已知a1=1,an+1+(-1)nan=cos[(n+1)π],记Sn为数列{an}的前n项和,则S2 015=　　　　. ‎ ‎14.(2017安徽师大附中模拟)用[x]表示不超过x的最大整数,例如[3]=3,[1.2]=1,[-1.3]=-2.已知数列{an}满足a1=1,an+1=an‎2‎+an,则a‎1‎a‎1‎‎+1‎‎+a‎2‎a‎2‎‎+1‎+…+‎a‎2 016‎a‎2 016‎‎+1‎=　　　　. ‎ ‎15.在数列{an}中,a2=4,a3=15,若Sn为{an}的前n项和,且数列{an+n}是等比数列,则Sn=　　　　　　. ‎ ‎16.(2015安徽,18,12分)已知数列{an}是递增的等比数列,且a1+a4=9,a2a3=8.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)设Sn为数列{an}的前n项和,bn=an+1‎SnSn+1‎,求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎17.已知{an}是递增的等差数列,a2,a4是方程x2-5x+6=0的根.‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)求数列an‎2‎n的前n项和.‎ 答案全解全析 A组　基础题组 ‎1.B　∵an=‎1‎n‎+‎n+1‎=n+1‎-n,‎ ‎∴Sn=a1+a2+…+an=(n+1‎-n)+(n-n-1‎)+…+(‎3‎-‎2‎)+(‎2‎-‎1‎)=n+1‎-1,‎ 令n+1‎-1=9,得n=99,故选B.‎ ‎2.C　因为a1=‎1‎‎2‎,an+1=‎1‎‎2‎+an‎-‎an‎2‎,所以a2=1,从而a3=‎1‎‎2‎,a4=1,……,可得an=‎1‎‎2‎‎,　n=2k-1(k∈N‎*‎),‎‎1,n=2k(k∈N‎*‎),‎故数列的前2 016项的和S2 016=1 008×‎1+‎‎1‎‎2‎=1 512.‎ ‎3.B　当n为奇数时,an+2-an=0⇒an=1,当n为偶数时,an+2-an=2⇒an=n,故an=‎1(n为奇数),‎n(n为偶数),‎于是S100=50+‎(2+100)×50‎‎2‎=2 600.‎ ‎4.C　由Sn=n2-6n知{an}是等差数列,且首项为-5,公差为2.‎ ‎∴an=-5+(n-1)×2=2n-7,‎ ‎∴n≤3时,an<0;n>3时,an>0,‎ 易得Tn=‎‎6n-‎n‎2‎‎(1≤n≤3),‎n‎2‎‎-6n+18‎‎(n>3).‎ ‎5.答案　1;121‎ 解析　由an+1=2Sn+1,得a2=2S1+1,即S2-a1=2a1+1,又S2=4,∴4-a1=2a1+1,解得a1=1.又an+1=Sn+1-Sn,∴Sn+1-Sn=2Sn+1,即Sn+1=3Sn+1,则Sn+1+‎1‎‎2‎=3Sn‎+‎‎1‎‎2‎,又S1+‎1‎‎2‎=‎3‎‎2‎,∴Sn‎+‎‎1‎‎2‎是首项为‎3‎‎2‎,公比为3的等比数列,‎ ‎∴Sn+‎1‎‎2‎=‎3‎‎2‎×3n-1,即Sn=‎3‎n‎-1‎‎2‎,∴S5=‎3‎‎5‎‎-1‎‎2‎=121.‎ ‎6.答案　-‎‎1‎n 解析　∵an+1=Sn+1-Sn,an+1=SnSn+1,∴Sn+1-Sn=Sn+1Sn,又由a1=-1,知Sn≠0,∴‎1‎Sn-‎1‎Sn+1‎=1,∴‎1‎Sn是等差数列,且公差为-1,而‎1‎S‎1‎=‎1‎a‎1‎=-1,∴‎1‎Sn=-1+(n-1)×(-1)=-n,∴Sn=-‎1‎n.‎ ‎7.答案　2n+1-2‎ 解析　由题意知an+1-an=2n,‎ ‎∴当n≥2时,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1‎ ‎=2n-1+2n-2+…+22+2+2‎ ‎=‎2-‎‎2‎n‎1-2‎+2=2n-2+2=2n,‎ 又a1=2满足上式,∴an=2n(n∈N*),‎ ‎∴Sn=‎2-‎‎2‎n+1‎‎1-2‎=2n+1-2.‎ ‎8.解析　(1)当n≥2时,由an=Sn-Sn-1=3n+k-3n-1-k=2·3n-1,得等比数列{an}的公比q=3,首项为2.‎ ‎∴a1=S1=3+k=2,数列{an}的通项公式为an=2·3n-1,‎ ‎∴k=-1.‎ ‎(2)由n=anbn,可得bn=n‎2·‎‎3‎n-1‎,‎ 即bn=‎3‎‎2‎·n‎3‎n.‎ ‎∴Tn=‎3‎‎2‎×‎1‎‎3‎‎1‎‎+‎2‎‎3‎‎2‎+‎3‎‎3‎‎3‎+…+‎n‎3‎n,‎ ‎∴‎1‎‎3‎Tn=‎3‎‎2‎×‎1‎‎3‎‎2‎‎+‎2‎‎3‎‎3‎+‎3‎‎3‎‎4‎+…+‎n‎3‎n+1‎,‎ ‎∴‎2‎‎3‎Tn=‎3‎‎2‎×‎1‎‎3‎‎+‎1‎‎3‎‎2‎+‎1‎‎3‎‎3‎+…+‎1‎‎3‎n-‎n‎3‎n+1‎,‎ ‎∴Tn=‎9‎‎4‎×‎1‎‎2‎‎-‎1‎‎2·‎‎3‎n-‎n‎3‎n+1‎.‎ ‎9.解析　(1)由Sn‎2‎-(n2+n-1)Sn-(n2+n)=0,得[Sn-(n2+n)]·(Sn+1)=0.‎ 由于{an}是正项数列,所以Sn>0,Sn=n2+n.‎ 于是a1=S1=2,n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n.a1=2适合上式,‎ 故数列{an}的通项公式为an=2n.‎ ‎(2)证明:由于an=2n,bn=n+1‎‎(n+2‎‎)‎‎2‎an‎2‎,‎ 所以bn=n+1‎‎4n‎2‎(n+2‎‎)‎‎2‎=‎1‎‎16‎×‎1‎n‎2‎-‎1‎‎(n+2‎‎)‎‎2‎.‎ 所以Tn=‎1‎‎16‎×1-‎1‎‎3‎‎2‎+‎1‎‎2‎‎2‎-‎1‎‎4‎‎2‎+‎1‎‎3‎‎2‎-‎1‎‎5‎‎2‎+…+‎1‎‎(n-1‎‎)‎‎2‎-‎1‎‎(n+1‎‎)‎‎2‎+‎1‎n‎2‎-‎1‎‎(n+2‎‎)‎‎2‎=‎1‎‎16‎×‎1+‎1‎‎2‎‎2‎-‎1‎‎(n+1‎‎)‎‎2‎-‎‎1‎‎(n+2‎‎)‎‎2‎<‎1‎‎16‎×1+‎1‎‎2‎‎2‎=‎5‎‎64‎.‎ B组　提升题组 ‎10.D　由an=‎2‎n‎-1‎‎2‎n=1-‎1‎‎2‎n得Sn=n-‎1‎‎2‎‎+‎1‎‎2‎‎2‎+…+‎‎1‎‎2‎n=n-‎1-‎‎1‎‎2‎n,Sn=‎321‎‎64‎=n-‎1-‎‎1‎‎2‎n,将各选项中的值代入验证得n=6.‎ ‎11.D　由题意得a1=0,a2=-2,a3=0,a4=4,a5=0,a6=-6,a7=0,a8=8,a9=0,a10=-10,……,所以数列{an}的奇数项都为0,a2,a6,a10,…是以-2为首项,-4为公差的等差数列,a4,a8,…是以4为首项,4为公差的等差数列,所以S2 015=1 008×0+(-2)×504+‎504×(504-1)‎‎2‎×(-4)+4×503+‎503×(503-1)‎‎2‎×4=-1 008.‎ ‎12.C　n≥2时,an+2Sn-1=n,∴an+1+2Sn=n+1,两式相减整理得,an+1+an=1(n≥2)①,n=2时,a2+2a1=2,又a1=1,∴a2=0,∴a2+a1=1,∴当n=1时符合①式,所以an+1+an=1(n∈N*),且n是奇数时,an=1,n是偶数时,an=0,所以S2 015=1 008.‎ ‎13.答案　-1 006‎ 解析　由a1=1,an+1+(-1)nan=cos[(n+1)π],得a2=a1+cos 2π=1+1=2,a3=-a2+cos 3π=-2-1=-3,a4=a3+cos 4π=-3+1=-2,a5=-a4+cos 5π=2-1=1,……,‎ 由此可知,数列{an}是以4为周期的周期数列,且a1+a2+a3+a4=-2,所以S2 015=503×(a1+a2+a3+a4)+a2 013+a2 014+a2 015=503×(-2)+a1+a2+a3=-1 006.‎ ‎14.答案　2 015‎ 解析　∵a1=1,an+1=an‎2‎+an>1,∴‎1‎an+1‎=‎1‎an‎(an+1)‎=‎1‎an-‎1‎an‎+1‎,∴‎1‎an‎+1‎=‎1‎an-‎1‎an+1‎,‎ ‎∴‎1‎a‎1‎‎+1‎+‎1‎a‎2‎‎+1‎+…+‎1‎a‎2 016‎‎+1‎=‎1‎a‎1‎‎-‎‎1‎a‎2‎+‎1‎a‎2‎‎-‎‎1‎a‎3‎+…+‎1‎a‎2 016‎‎-‎‎1‎a‎2 017‎=1-‎1‎a‎2 017‎∈(0,1).‎ 又anan‎+1‎=1-‎1‎an‎+1‎,‎ ‎∴a‎1‎a‎1‎‎+1‎+a‎2‎a‎2‎‎+1‎+…+a‎2 016‎a‎2 016‎‎+1‎=2 016-‎1-‎‎1‎a‎2 017‎,‎ ‎∴a‎1‎a‎1‎‎+1‎‎+a‎2‎a‎2‎‎+1‎+…+‎a‎2 016‎a‎2 016‎‎+1‎=2 015.‎ ‎15.答案　3n-n‎2‎‎+n‎2‎-1‎ 解析　∵{an+n}是等比数列,‎ ‎∴数列{an+n}的公比q=a‎3‎‎+3‎a‎2‎‎+2‎=‎15+3‎‎4+2‎=‎18‎‎6‎=3,‎ 则{an+n}的通项为an+n=(a2+2)·3n-2=6·3n-2=2·3n-1,则an=2·3n-1-n,‎ ‎∴Sn=‎2(1-‎3‎n)‎‎1-3‎-n(1+n)‎‎2‎=3n-n‎2‎‎+n‎2‎-1.‎ ‎16.解析　(1)由题设知a1·a4=a2·a3=8,‎ 又a1+a4=9,可解得a‎1‎‎=1,‎a‎4‎‎=8‎或a‎1‎‎=8,‎a‎4‎‎=1‎(舍去).‎ 由a4=a1q3得q=2,故an=a1qn-1=2n-1.‎ ‎(2)Sn=a‎1‎‎(1-qn)‎‎1-q=2n-1,又bn=an+1‎SnSn+1‎=Sn+1‎‎-‎SnSnSn+1‎=‎1‎Sn-‎1‎Sn+1‎,‎ 所以Tn=b1+b2+…+bn=‎1‎S‎1‎‎-‎‎1‎S‎2‎+‎1‎S‎2‎‎-‎‎1‎S‎3‎+…+‎1‎Sn‎-‎‎1‎Sn+1‎=‎1‎S‎1‎-‎1‎Sn+1‎=1-‎1‎‎2‎n+1‎‎-1‎.‎ ‎17.解析　(1)方程x2-5x+6=0的两根分别为2,3,由题意得a2=2,a4=3.‎ 设数列{an}的公差为d,则a4-a2=2d,故d=‎1‎‎2‎,从而a1=‎3‎‎2‎.‎ 所以{an}的通项公式为an=‎1‎‎2‎n+1.‎ ‎(2)设an‎2‎n的前n项和为Sn,由(1)知an‎2‎n=n+2‎‎2‎n+1‎,‎ 则Sn=‎3‎‎2‎‎2‎+‎4‎‎2‎‎3‎+…+n+1‎‎2‎n+n+2‎‎2‎n+1‎,‎ ‎1‎‎2‎Sn=‎3‎‎2‎‎3‎+‎4‎‎2‎‎4‎+…+n+1‎‎2‎n+1‎+n+2‎‎2‎n+2‎.‎ 两式相减得‎1‎‎2‎Sn=‎3‎‎4‎+‎1‎‎2‎‎3‎‎+‎1‎‎2‎‎4‎+…+‎‎1‎‎2‎n+1‎-n+2‎‎2‎n+2‎=‎3‎‎4‎+‎1‎‎4‎‎1-‎‎1‎‎2‎n-1‎-n+2‎‎2‎n+2‎.‎ 所以Sn=2-n+4‎‎2‎n+1‎.‎