2012中考数学压轴题冲刺强化训练1

2012中考数学压轴题冲刺强化训练1

‎2012最新压轴题冲刺强化训练1‎ ‎1.（如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA边相切于点C， ‎（1）求证：PB是⊙O的切线； ‎（2）PO的延长线交⊙O于E，EA⊥PA于A.设PE交⊙O于另一点G，AE交⊙O于点F，连接FG，若⊙O的半径是3，＝. ‎①求弦CE的长；②求的值.‎  ‎1.(1)证明：连接OC，过点O作OD⊥PB于点D，‎ ‎ ∵PA切⊙O于点C, ∴OC⊥PA ‎∵PO平分∠BPA,‎ ‎ ∴OC=OD ‎ ∴PB是⊙O的切线； ………………………3分 ‎ （2）①连接CG，‎ ‎ ∵EA⊥PA于A∴∠APC+∠ECA=90°‎ ‎ ∵OC⊥PA, ∴∠OCE+∠EAC=90°‎ ‎∴∠OCE=∠CEA ‎∵OC=OE, ∴∠OCE=∠OEC ‎∴∠AEC=∠CEG ‎∵EG为⊙O的直径，∴∠ECG=90°‎ ‎∵tan∠AEC= , ∴tan∠CEG= ………………4分 ‎ 设CG=，则CE=，∵⊙O的半径为3，∴直径EG=6‎ ‎ ∴‎ ‎ 解之得，（不合题意，舍去）‎ ‎ ∴ ………………………6分 ‎ ②∵OC⊥PA, ∴∠OCG+∠PCG=90°‎ ‎∵OC=OE, ∴∠OCG=∠OGC 而∠ECG=90°，∴∠OGC+CEG=90°‎ ‎∴∠PCG=∠CEG ‎ ∵∠EPC=∠CPG ‎ ∴△PCG∽△PEC ∴ ………………………8分 ‎ 设PG=则PC=，在Rt△POC中，OG=OC=3‎ ‎ 用勾股定理易得 ‎ ∵∠GFE=∠PAE=90°∴GF∥PA ‎ ∴△EGF∽△EPA ‎ ‎∴ ………………………10分 ‎2.如图，正方形ABCO的边长为4，D为OC边的中点，将△DCB沿直线BD对折，C点落在M处，BM的延长线交OA于点E,OA，OC分别在x轴和y轴的正半轴上. ‎（1）求线段OE的长； ‎（2）求经过D,E两点，对称轴为直线x=2的抛物线的解析式； ‎（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使四边形P、E、D、B为顶点的四边形是梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. ‎ 2.（1）解：∵四边形ABCO为正方形，D为OC的中点，‎ ‎ ∴OA=AB=BC=CO=4，OD=DC=2, ‎ ‎ ∠BCO=COA=∠OAB=90°‎ ‎ ∵△BCD与△BMD关于BD对称，‎ ‎ ∴△BCD≌△BMD ‎ ∴∠DMB=∠BCD=90°,DM=DC=DO=2‎ ‎ ∠CDB=∠MDB ‎ ∵DE=DE ‎ ∴Rt△DOE≌Rt△DME ‎ ∴∠ODE=∠MDE ‎ ∴∠ODE+∠BCD=180°÷2=90°‎ ‎ 而∠BCD+∠CBD=90°‎ ‎ ∴∠ODE=∠CBD ‎ ∴Rt△CBD∽Rt△ODE ‎ ∴‎ ‎ ∴ ………………………4分 ‎ (2)有（1）知，D(0,2),E(1,0),设过D,E两点，对称轴为直线的抛物线的解析式为：，得 ‎ 解之得 ‎ ‎ ∴ ………………………8分 ‎ （3）存在点P，使以P、E、D、B为顶点的四边形是梯形，分三种情况讨论：‎ ‎ ①当PE∥BD，PE≠BD时，四边形PEDB是梯形.‎ ‎ 设直线PE交轴于点F，易证Rt△DEO∽Rt△EOF ‎ 可得，OF=,∴F(0，)‎ ‎ 过E,F两点，用待定系数法可求直线PE 的解析式为：‎ ‎ 当，此时P点的坐标为（2，） ……………10分 ‎ ②当PD∥BE,PD≠BE时，四边形PDEB为梯形.‎ ‎ 设直线PD交轴于点G ‎∵PD∥DE，∴∠GDE=∠DEB ‎∵∠DEG=∠DEB ∴∠GDE=∠DEG ‎∴GD=GE,设OG=，在Rt△DGO中，‎ ‎,OD=2，OE=1，‎ 易求 ，∴G(-)‎ 过D,G两点用待定系数法可求直线PD 的解析式为:‎ 当，此时点P的坐标是（2，）；…………………11分 ‎ ③当PB∥DE,PB≠DE时，四边形PDEB为梯形.‎ ‎ 设直线PD交轴于点H,‎ ‎ ∵PB∥DE，∴∠DEB=∠EBH, ∠DEO=∠BH0,‎ ‎∵∠DEO=∠DEB, ∴∠EBH=∠EHB,‎ ‎∴EB=EH,‎ 在Rt△ABE中，AE=AO-OE=4-1=3，AB=4，‎ ‎ ∴BE=5=EH, ∴OH=OE+EH=1+5=6‎ ‎∴H(6,0)‎ 过B,H两点用待定系数法可求直线PD 的解析式为: ‎ 当，此时点P的坐标是（2，8）；………………12分 综上所述，符合条件的点P有三个，‎ 其坐标分别为（2，），（2，），（2，8）. ……………………13分 ‎3、如图，已知直线y=x+8交x轴于A点，交y轴于B点，过A、0两点的抛物线y=ax2+bx（a＜O）的顶点C在直线AB上，以C为圆心，CA的长为半径作⊙C． （1）求抛物线的对称轴、顶点坐标及解析式；（2）将⊙C沿x轴翻折后，‎ 得到⊙C ‎，求证：直线AC是⊙C′的切线； （3）若M点是⊙C的优弧 （不与0、A重合）上的一个动点，P是抛物线上的点，且∠POA=∠AM0，求满足条件的P点的坐标．‎ ‎3 解 （1）如图，由直线y=x+8图象上点的坐标特征可知，A（-8，0），B（0，8） ∵抛物线过A、O两点 ∴抛物线的对称点为x=-4 又∵抛物线的对称点在直线AB上， ∴当x=-4时，y=4 ∴抛物线的顶点C（-4，4） ， 解得 ‎ ‎∴抛物线的解析式为y=- x2-2x； （3分） （2）连接CC′、C′A ∵C、C′关于x轴对称，设CC′交x轴于D，则CD⊥x轴，且CD=4，AD=4 △ACD为等腰直角三角形 ∴△AC′D也为等腰直角三角形 ∴∠CAC′=90° ∵AC过⊙C′的半径C′A的外端点A ∴AC是⊙C′的切线； （6分） （3）∵M点是⊙O的优弧 上的一点， ∴∠AMO=∠ABO=45°， ∴∠POA=∠AMO=45° 当P点在x轴上方的抛物线上时， 设P（x，y），则y=-x， 又∵y=- x2-2x ∴ 解得 此时P点坐标为（-4，4）当P点在x轴下方的抛物线时，设P（x，y） 则y=x，又∵y=- -2x ∴ 解得 此时P点的坐标为（-12，-12） 综上所述，满足条件的P点坐标为（-4，4）或（-12，-12） （10分） ‎ ‎4．已知，O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA的长为半径的⊙O与BC相切于M，与AB、AD分别相交于E、F．‎ ‎(1) 求证：CD与⊙O相切；‎ ‎(2) 若⊙O的半径为，求正方形ABCD的边长．‎ ‎4．解 ‎（1）连接OM，过点O作ON⊥CD，垂足为N． ……………………………1分 ‎ ‎∵⊙O与BC相切于M，∴OM⊥BC． …………………………………… 2分 ‎∵正方形ABCD中，AC平分∠BCD，∴OM=ON． ………………………4分 ‎∴CD与⊙O相切 ………………………………………………………5分 ‎（2）设正方形ABCD的边长为a． ………………………………………………6分 可证得△COM∽△CAB ‎ ∴，∴ …………………………………8分 ‎ 解得 a = ‎ ‎∴正方形ABCD的边长为． …………………………10分 ‎5．直角三角板ABC中，∠A=30°，BC＝1.将其绕直角顶点C逆时针旋转一个角（且），得到Rt△.‎ ‎（1）如图，当边经过点B时，求旋转角的度数；‎ ‎（2）在三角板旋转的过程中，边与AB所在直线交于点D，过点 D作DE∥‎ 交边于点E，联结BE.‎ ‎① 当时，设AD=，BE=，求与之间的函数解析式及自变量 的取值范围；‎ ‎② 当时，求AD的长. ‎ 备用图 备用图 ‎ ‎ ‎5．解 ‎（1）在Rt△中，∵∠A=30°，∴． ………………………1‎ 分 由旋转可知：，，‎ ‎∴△为等边三角形．……………2分 ‎∴＝． ……………3分 ‎（2）① 当时，点D在AB边上（如图）. ‎ ‎∵ DE∥， ∴ .‎ ‎ 由旋转性质可知，CA =，CB=， ∠ACD=∠BCE.‎ ‎∴ ∴ . ‎ ‎∴ △CAD∽△CBE. ………………………………………………6分 ‎∴.∵∠A=30° ∴.[来源:学&科&网]‎ ‎∴（0﹤﹤2） ………………………………………………8分 ‎②当时，点D在AB边上 AD=x，，∠DBE=90°.‎ 此时，.‎ ‎ 当S =时，.整理，得 .‎ 解得 ，即AD=1. ………………………………………………10分 当时，点D在AB的延长线上（如图）.‎ ‎ 仍设AD=x，则，∠DBE=90°.‎ ‎ .‎ ‎ 当S =时，.‎ ‎ 整理，得 .‎ 解得 ，（负值，舍去）. ‎ ‎ 即. ………………………………………………12分 ‎ 综上所述：AD=1或.‎ ‎6．如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿 BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．‎ ‎（第22题）‎ ‎（1）直接写出点E、F的坐标；‎ ‎（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；‎ ‎（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．‎ ‎6．解：（1）由，得，‎ ‎，‎ ‎∴抛物线C1的顶点坐标为A（），……………………………………2分 ‎∴线段AH的中点E为（），由 ，解得 ‎∴…………………………………………………………4分 ‎（2）设直线AB的解析式为，将A，B坐标代入得：‎ ‎，解得 ‎ ‎∴ …………………………………………………………………5分 ‎∵抛物线C2的对称轴为，‎ 将代入，得 ‎∴P点坐标为，…………6分 ‎①依题意P′点与P点关于轴对称，‎ ‎∴P′点的坐标为 ，……………7分 将它代入C1的解析式，得 ，‎ 化简得：．‎ 解得（不合题意，舍去）， ．……………………………………………………………………………8分 ‎∴C1：，C2：．…………………………9分 ‎ ②设在抛物线C1上存在点Q，使得B、D、P、Q四点组成的四边形是平行四边形，‎ ‎＝‎ ‎ ⅰ）当Q点在轴右侧时，则必有BD∥PQ，‎ ‎ 当Q点在P点下方时，将P点向下平移2个单位，得Q点坐标为，‎ 将它代入C1的解析式，得 ，‎ 化简得：。‎ 解得（不合题意，舍去），．‎ ‎ ∴此时的Q点坐标为；……………………………………………………11分 ‎ 当Q点在P点上方时，将P点向上平移2个单位，得Q点坐标为，‎ 将它代入C1的解析式，得 ，‎ 化简得：．‎ 解得（不合题意，舍去），（不合题意，舍去）．‎ ‎ ∴此时的Q点不存在；……………………………………………………………12分 ‎ ⅱ）当Q点在轴左侧时，‎ ‎ ∵OB=OD， ∴必有OP=OQ，‎ ‎ ∴Q点与P点关于原点对称，‎ ‎ ∴Q点坐标为，‎ 将它代入C1的解析式，得 ，‎ 化简得：．‎ 解得（不合题意，舍去），．‎ ‎ ∴此时的Q点坐标为；‎ ‎ 综上，在抛物线C1上存在点Q或Q，使得B、D、P、Q四点组 ‎ ‎ 成的四边形是平行四边形．…………………………………………………………14分 ‎7．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD=8，DC=4，∠ABC=90°，∠A=60°．‎ M点、N点是梯形边上的动点，M、N之间的线段长或折线长始终为2，它们同时开始运动，同时停止运动．N点从A点开始先沿AD方向，再沿DC方向，到达C点时停止运动．过M点作MH⊥AB，垂足为H，与BN交于O点，连接HN．设A、N之间的线段长或折线长为．解答下列问题：‎ ‎（1）当△AHN为等边三角形时，求的值；‎ ‎（2）当MN为线段时，并且△OHB与以O、M、N三点组成的三角形相似，求的值或的取值范围；‎ ‎（3）设△AHN的面积为S，求S关于的函数解析式，并写出的取值范围．‎ ‎7．解：（1）∵∠A=60°，‎ ‎∴当AN=AH时，△AHN为等边三角形.…………1分 由已知在Rt△MAH中，∠A=60°，‎ 则∠AMH=30°，‎ ‎ ∴AH=AM =．……………………………2分 ‎ 由，解得：x=2，‎ ‎ ∴当x=2时，△AHN为等边三角形；……………3分 ‎（2）分两种情况讨论：‎ ‎ ①当N、M两点都在AD上时，如图1，‎ ‎ 过D点作DE⊥AB交AB于E，‎ ‎ ∴AE==8×=4，BE=CD=4，‎ ‎∴AB=8，…………………………………………4分 ‎∵∠MON=∠BOH，‎ ‎ ∴当∠MNO=∠BHO=90°时，△OMN∽△OBH，‎ ‎ 此时AN==8×=4，即x=4；………………………………5分 ‎②当N、M两点都在DC上时，如图2，‎ ‎ ∵AB∥CD，‎ ‎∴在这种情况下，不论x取何值，△OMN与△OHB都相似；‎ 综上所述：当x=4或8≤x<10时，△OHB与以O、M、N 三点组成的三角形相似．…………………………7分 ‎（3）分以下四种情况：‎ ‎ ①当N、M两点都在AD上，即0

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