【数学】2021届一轮复习人教A版（文）第四章　第7讲　解三角形应用举例作业

【数学】2021届一轮复习人教A版（文）第四章　第7讲　解三角形应用举例作业

第7讲　解三角形应用举例 ‎[基础题组练]‎ ‎1．在相距2 km的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为(　　)‎ A. km　　　　　　　　　 B. km C. km D．2 km 解析：选A.如图，在△ABC中，由已知可得∠ACB＝45°，所以＝，‎ 所以AC＝2×＝(km)．‎ ‎2．如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于(　　)‎ A．5 B．15 C．5 D．15 解析：选D.在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.‎ 由正弦定理得＝，‎ 所以BC＝15.‎ 在Rt△ABC中，‎ AB＝BCtan∠ACB＝15×＝15.‎ ‎3．如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，且∠B与∠D互补，则AC的长为(　　)‎ A．7 km B．8 km C．9 km D．6 km 解析：选A.在△ABC及△ACD中，由余弦定理得82＋52－2×8×5×cos(π－∠D)＝AC2＝32＋52－2×3×5×cos ∠D，解得cos ∠D＝－，所以AC＝＝7.‎ ‎4．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(　　)‎ A．10海里 B．10海里 C．20海里 D．20海里 解析：选A.如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，‎ 根据正弦定理得＝，‎ 解得BC＝10(海里)．‎ ‎5．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于(　　)‎ A．240(－1) m B．180(－1) m C．120(－1) m D．30(＋1) m 解析：选C.因为tan 15°＝tan(60°－45°)＝＝2－，所以BC＝60tan 60°－60tan 15°＝120(－1)(m)．‎ ‎6．海上有A，B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，那么B岛和C岛间的距离是 n mile.‎ 解析：如图，在△ABC中，AB＝10，A＝60°，B＝75°，C＝45°，‎ 由正弦定理，得＝，‎ 所以BC＝＝＝5(n mile)．‎ 答案：5 ‎7.如图，在塔底D的正西方A处测得塔顶的仰角为45°，在塔底D的南偏东60°的B处测得塔顶的仰角为30°，A，B间的距离是84 m，则塔高CD＝ m.‎ 解析：设塔高CD＝x m，‎ 则AD＝x m，DB＝x m.‎ 又由题意得∠ADB＝90°＋60°＝150°，‎ 在△ABD中，利用余弦定理，得 ‎842＝x2＋(x)2－2·x2 cos 150°，‎ 解得x＝12(负值舍去)，故塔高为12 m.‎ 答案：12 ‎8．一船自西向东匀速航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75°，距灯塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则此船航行的速度为 海里/小时．‎ 解析：如图，由题意知∠MPN＝75°＋45°＝120°，∠PNM＝45°.‎ 在△PMN中，＝，‎ 所以MN＝68×＝34(海里)．‎ 又由M到N所用的时间为14－10＝4(小时)，‎ 所以此船的航行速度v＝＝(海里/小时)．‎ 答案： ‎9．渔政船在东海某海域巡航，已知该船正以15海里/时的速度向正北方向航行，‎ 该船在A点处时发现在北偏东30°方向的海面上有一个小岛，继续航行20分钟到达B点，此时发现该小岛在北偏东60°方向上，若该船向正北方向继续航行，船与小岛的最小距离为多少海里？‎ 解：根据题意画出相应的图形，如图所示，过C作CD⊥AD于点D，‎ 由题意得：AB＝×15＝5(海里)，‎ 因为∠A＝30°，∠CBD＝60°，‎ 所以∠BCA＝30°，‎ 所以△ABC为等腰三角形，所以BC＝5.‎ 在△BCD中，‎ 因为∠CBD＝60°，CD⊥AD，BC＝5，‎ 所以CD＝，则该船向北继续航行，船与小岛的最小距离为7.5海里．‎ ‎10．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°，从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，求山高MN.‎ 解：根据题意，‎ AC＝100 m.‎ 在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°.‎ 由正弦定理得＝⇒AM＝100 m.‎ 在△AMN中，＝sin 60°，‎ 所以MN＝100×＝150(m)．‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．如图所示，一座建筑物AB的高为(30－10)m，在该建筑物的正东方向有一座通信塔CD.在它们之间的地面上的点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，塔顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD的高为(　　)‎ A．30 m B．60 m C．30 m D．40 m 解析：选B.在Rt△ABM中，AM＝＝＝＝20(m)．过点A作AN⊥CD于点N，如图所示．易知∠MAN＝∠AMB＝15°，所以∠MAC＝30°＋15°＝45°.又∠AMC＝180°－15°－60°＝105°，所以∠ACM＝30°.在△AMC中，由正弦定理得＝，解得MC＝40(m)．在Rt△CMD中，CD＝40×sin 60°＝60(m)，故通信塔CD的高为60 m.‎ ‎2.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为 米．‎ 解析：连接OC，由题意知CD＝150米，OD＝100米，∠CDO＝60°.‎ 在△COD中，由余弦定理得OC2＝CD2＋OD2－2CD·OD·cos 60°，即OC＝50.‎ 答案：50 ‎3.如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝，AD∶AB＝2∶3，BD＝，AB⊥BC.‎ ‎(1)求sin∠ABD的值；‎ ‎(2)若∠BCD＝，求CD的长．‎ 解：(1)因为AD∶AB＝2∶3，‎ 所以可设AD＝2k，AB＝3k(k＞0)．‎ 又BD＝，∠DAB＝，所以由余弦定理，‎ 得()2＝(3k)2＋(2k)2－2×3k×2kcos，‎ 解得k＝1，所以AD＝2，AB＝3，‎ sin∠ABD＝＝＝.‎ ‎(2)因为AB⊥BC，所以cos∠DBC＝sin∠ABD＝，‎ 所以sin∠DBC＝，所以＝，‎ 所以CD＝＝.‎ ‎4．(应用型)某港湾的平面示意图如图所示，O，A，B分别是海岸线l1，l2上的三个集镇，A位于O的正南方向6 km处，B位于O的北偏东60°方向10 km处．‎ ‎(1)求集镇A，B间的距离；‎ ‎(2)随着经济的发展，为缓解集镇O的交通压力，拟在海岸线l1，l2上分别修建码头M，N，开辟水上航线．勘测时发现：以O为圆心，3 km为半径的扇形区域为浅水区，不适宜船只航行．请确定码头M，N的位置，使得M，N之间的直线航线最短．‎ 解：(1)在△ABO中，OA＝6，OB＝10，∠AOB＝120°，‎ 根据余弦定理得 AB2＝OA2＋OB2－2·OA·OB·cos 120°‎ ‎＝62＋102－2×6×10×＝196，‎ 所以AB＝14.‎ 故集镇A，B间的距离为14 km.‎ ‎(2)依题意得，直线MN必与圆O相切．‎ 设切点为C，连接OC(图略)，则OC⊥MN.‎ 设OM＝x，ON＝y，MN＝c，‎ 在△OMN中，由MN·OC＝OM·ON·sin 120°，‎ 得×3c＝xysin 120°，即xy＝2c，‎ 由余弦定理，得c2＝x2＋y2－2xycos 120°＝x2＋y2＋xy≥3xy，所以c2≥6c，解得c≥6，‎ 当且仅当x＝y＝6时，c取得最小值6.‎ 所以码头M，N与集镇O的距离均为6 km时，M，N之间的直线航线最短，最短距离为6 km.‎