高考文科数学复习：夯基提能作业本 (42)

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第六节　概率与统计的综合问题 A组　基础题组 ‎1.小陈为了参加2016年全国竞走大奖赛暨奥运会选拔赛,每天坚持竞走,并用计步器对步数进行统计.小陈最近8天竞走步数的条形图及相应的消耗能量数据表如下.‎ 竞走步数(千步)‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ 消耗能量(卡路里)‎ ‎400‎ ‎440‎ ‎480‎ ‎520‎ ‎(1)求小陈这8天竞走步数的平均数;‎ ‎(2)从步数为16千步、17千步、18千步的几天中任选2天,求小陈这2天通过竞走消耗的能量和为840卡路里的概率.‎ ‎2.从某市主办的科技知识竞赛的学生成绩中随机选取了40名学生的成绩作为样本,已知这40名学生的成绩全部在40分至100分之间,现将成绩按如下方式分成6组:第一组[40,50);第二组[50,60);……;第六组[90,100],并据此绘制了如图所示的频率分布直方图.‎ ‎(1)求成绩在区间[80,90)内的学生人数;‎ ‎(2)从成绩大于等于80分的学生中随机选2名,求至少有1名学生的成绩在区间[90,100]内的概率.‎ ‎3.(2016河南郑州模拟)某园林基地培育了一种新观赏植物,经过一年的生长发育,技术人员从中抽取了部分植株的高度(单位:厘米)作为样本(样本容量为n)进行统计,按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分组作出频率分布直方图,并作出样本高度的茎叶图(图中仅列出了高度在[50,60),[90,100]的数据).‎ ‎(1)求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值;‎ ‎(2)在选取的样本中,从高度在80厘米以上(含80厘米)的植株中随机抽取2株,求所抽取的2株中至少有一株高度在[90,100]内的概率.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎4.(2016贵州贵阳模拟)为了增强消防安全意识,某中学做了一次消防知识讲座,从男生中随机抽取了50人,从女生中随机抽取了70人参加消防知识测试,统计数据得到如下的列联表:‎ 优秀 非优秀 合计 男生 ‎15‎ ‎35‎ ‎50‎ 女生 ‎30‎ ‎40‎ ‎70‎ 合计 ‎45‎ ‎75‎ ‎120‎ ‎(1)试判断能否有90%的把握认为消防知识的测试成绩优秀与否与性别有关;‎ 附:K2=‎n(ad-bc‎)‎‎2‎‎(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ k0‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎(2)为了宣传消防安全知识,从该校测试成绩获得优秀的同学中采用分层抽样的方法,随机选出6名组成宣传小组.现从这6人中随机抽取2名到校外宣传,求到校外宣传的同学中至少有1名是男生的概率.‎ B组　提升题组 ‎5.某烹饪学院为了弘扬中国传统的饮食文化,培养同学们的动手能力,举办了一次在校学生厨艺大赛.组委会为了了解本次大赛参赛学生厨员的成绩情况,从中抽取了n名学生厨员的成绩(满分为100分)作为样本,将所得数据经过分析整理后画出了频率分布直方图和茎叶图,但是这两个图均受到了不同程度的污损(如图所示),请根据可视部分的数据解答如下问题:‎ ‎(1)求样本容量n和频率分布直方图中第5个矩形的高;‎ ‎(2)大赛成绩在[80,90)之间的学生厨员称为厨霸,大赛成绩在[90,100]之间的学生厨员称为厨神,在被称为厨霸、厨神的学生厨员中随机抽取2名去参加校际之间将举办的厨艺大赛,求所抽取的人中至少有1名学生厨员是厨神的概率.‎ ‎6.某iphone手机专卖店对某市市民进行iphone手机认可度的调查,在已购买iphone手机的1 000名市民中,随机抽取100名,按年龄(单位:岁)进行统计的频数分布表和频率分布直方图如下:‎ 分组(岁)‎ 频数 ‎[25,30)‎ ‎5‎ ‎[30,35)‎ x ‎[35,40) ‎ ‎35‎ ‎[40,45)‎ y ‎[45,50]‎ ‎10‎ 合计 ‎100‎ ‎　‎ ‎(1)求频数分布表中x,y的值,并补全频率分布直方图;‎ ‎(2)在抽取的这100名市民中,从年龄在[25,30)、[30,35)内的市民中用分层抽样的方法抽取5人参加iphone手机宣传活动,现从这5人中随机选取2人各赠送一部iphone 6s手机,求这2人中恰有1人的年龄在[30,35)内的概率.‎ ‎7.某公司的销售部门共有10名员工,他们某年的收入如下表:‎ 员工编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 年薪(万元)‎ ‎3‎ ‎3.5‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎5.5‎ ‎6.5‎ ‎7‎ ‎7.5‎ ‎8‎ ‎50‎ ‎(1)求该销售部门当年年薪的平均值和中位数;‎ ‎(2)从该销售部门中年薪高于6万元的人中任取2人,求此2人年薪高于7万元的概率;‎ ‎(3)已知员工年薪与工作年限呈正线性相关关系,若某员工工作第一年至第四年的年薪分别为3万元、4.2万元、5.6万元、7.2万元,预测该员工第七年的年薪为多少.‎ 附:线性回归方程y‎^‎=b‎^‎x+a‎^‎中系数计算公式:b‎^‎=‎∑‎i=1‎n‎(xi-x)(yi-y)‎‎∑‎i=1‎n‎(xi-‎x‎)‎‎2‎‎,‎a‎^‎=y-b‎^‎x,其中x、y表示样本均值.‎ ‎8.某购物网站为优化营销策略,对在11月11日当天在该网站进行网购消费且消费金额不超过1 000元的1 000名网购者(其中有女性800名,男性200名)进行抽样分析.根据性别采用分层抽样的方法从这1 000名网购者中抽取100名进行分析,得到下表(消费金额单位:元).‎ 女性消费情况:‎ 消费金额 ‎(0,200)‎ ‎[200,400)‎ ‎[400,600)‎ ‎[600,800)‎ ‎[800,1 000]‎ 人数 ‎5‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎47‎ ‎3‎ 男性消费情况:‎ 消费金额 ‎(0,200)‎ ‎[200,400)‎ ‎[400,600)‎ ‎[600,800)‎ ‎[800,1 000]‎ 人数 ‎2‎ ‎3‎ ‎10‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎(1)在抽出的100名且消费金额在[800,1 000](单位:元)的网购者中随机选出2名发放网购红包,求选出的2名网购者恰好是同性的概率;‎ ‎(2)若消费金额不低于600元的网购者为“网购达人”、低于600元的网购者为“非网购达人”,根据以上统计数据填写如下2×2列联表,并回答能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“是否为‘网购达人’与性别有关”.‎ 女性 男性 合计 ‎“网购达人”‎ ‎“非网购达人”‎ 合计 附:‎ P(K2≥k)‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ k ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ K2=n(ad-bc‎)‎‎2‎‎(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)‎,其中n=a+b+c+d 答案全解全析 A组　基础题组 ‎1.解析　(1)小陈这8天竞走步数的平均数为 ‎16×3+17×2+18×1+19×2‎‎8‎‎=17.25(千步).‎ ‎(2)将步数为16千步的3天分别记为A,B,C;步数为17千步的2天分别记为D,E;步数为18千步的1天记为F.则从A,B,C,D,E,F这6天中任选2天,所包含的基本事件有{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{C,D},{C,E},{C,F},{D,E},{D,F},{E,F},共15个.‎ 其中小陈这2天通过竞走消耗的能量和为840卡路里所包含的基本事件有{A,D},{A,E},{B,D},{B,E},{C,D},{C,E},共6个,所以小陈这2天通过竞走消耗的能量和为840卡路里的概率P=‎6‎‎15‎=‎2‎‎5‎.‎ ‎2.解析　(1)因为各组的频率之和为1,所以成绩在区间[80,90)内的频率为1-(0.005×2+0.015+0.020+0.045)×10=0.1,‎ 所以选取的40名学生中成绩在区间[80,90)内的学生人数为40×0.1=4.‎ ‎(2)设A表示事件“从成绩大于等于80分的学生中随机选2名,至少有1名学生的成绩在区间[90,100]内”,由(1)可知成绩在区间[80,90)内的学生有4人,记这4名学生分别为a,b,c,d,‎ 成绩在区间[90,100]内的学生有0.005×10×40=2(人),记这2名学生分别为e, f,‎ 选取2名学生的所有可能结果为(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a, f),(b,c),(b,d),(b,e),(b, f),(c,d),(c,e),(c, f),(d,e),(d, f),(e, f),共15种,‎ 事件“至少有1名学生的成绩在区间[90,100]内”的可能结果为(a,e),(a, f),(b,e),(b, f),(c,e),(c, f),(d,e),(d, f),(e, f),共9种,‎ 所以P(A)=‎9‎‎15‎=‎3‎‎5‎.‎ ‎3.解析　(1)由题意可知,样本容量n=‎8‎‎0.016×10‎=50,则y=‎2‎‎50×10‎=0.004,则x=0.100-0.004-0.010-0.016-0.040=0.030.‎ ‎(2)由题意及(1)可知,高度在[80,90)内的株数为5,记这5株分别为a1,a2,a3,a4,a5,高度在[90,100]内的株数为2,记这2株分别为b1,b2.‎ 抽取2株的所有情况有21种,分别为:‎ ‎(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,a5),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,a4),(a2,a5),(a2,b1),(a2,b2),(a3,a4),(a3,a5),(a3,b1),(a3,b2),(a4,a5),(a4,b1),(a4,b2),(a5,b1),(a5,b2),(b1,b2),‎ 其中2株的高度都不在[90,100]内的情况有10种,分别为:‎ ‎(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,a5),(a2,a3),(a2,a4),(a2,a5),(a3,a4),(a3,a5),(a4,a5).‎ ‎∴所抽取的2株中至少有一株高度在[90,100]内的概率P=1-‎10‎‎21‎=‎11‎‎21‎.‎ ‎4.解析　(1)由题意得K2=‎120×(15×40-35×30‎‎)‎‎2‎‎50×70×45×75‎≈2.057,‎ 因为2.057<2.706,‎ 所以没有90%的把握认为消防知识的测试成绩优秀与否与性别有关.‎ ‎(2)用分层抽样的方法抽取时,抽取比例是‎6‎‎45‎=‎2‎‎15‎,则抽取女生30×‎2‎‎15‎=4人,抽取男生15×‎2‎‎15‎=2人,‎ 抽取的同学分别记为B1,B2,B3,B4,C1,C2(其中C1,C2为男生),从中随机抽取2名同学共有15种情况:(C1,B1),(C1,B2),(C1,B3),(C1,B4),(C2,B1),(C2,B2),(C2,B3),(C2,B4),(C1,C2),(B1,B2),(B1,B3),(B1,B4),(B2,B3),(B2,B4),(B3,B4).其中至少有1名是男生的事件为:(C1,B1),(C1,B2),(C1,B3),(C1,B4),(C2,B1),(C2,B2),(C2,B3),(C2,B4),(C1,C2),有9种情况.‎ 记“到校外宣传的同学中至少有1名是男生”为事件M,则P(M)=‎9‎‎15‎=‎3‎‎5‎.‎ B组　提升题组 ‎5.解析　(1)由题意可知,样本容量n=‎5‎‎0.012 5×10‎=40,‎ 所以第5个矩形的高为‎3‎‎40×10‎=0.007 5.‎ ‎(2)由题意可知,厨霸有0.015 0×10×40=6人,分别记为a1,a2,a3,a4,a5,a6,厨神有3人,分别记为b1,b2,b3,厨霸、厨神共9人,从中任意抽取2人共有如下36种结果:(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,a5),(a1,a6),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,a3),(a2,a4),(a2,a5),(a2,a6),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(a3,a4),(a3,a5),(a3,a6),(a3,b1),(a3,b2),(a3,b3),(a4,a5),(a4,a6),(a4,b1),(a4,b2),(a4,b3),(a5,a6),(a5,b1),(a5,b2),(a5,b3),(a6,b1),(a6,b2),(a6,b3),(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3),其中至少有1名学生厨员是厨神的情况有21种,‎ 所以至少有1名学生厨员是厨神的概率为‎21‎‎36‎=‎7‎‎12‎.‎ ‎6.解析　(1)由频数分布表和频率分布直方图可知‎5+x+35+y+10=100,‎‎0.04×5×100=x,‎ 解得x=20,‎y=30.‎ 频率分布直方图中年龄在[40,45)内的人数为30,对应的频率组距为‎30‎‎100×5‎=0.06,‎ 所以补全的频率分布直方图如下:‎ ‎(2)由频数分布表知,在抽取的5人中,‎ 年龄在[25,30)内的市民的人数为5×‎5‎‎25‎=1,记为A,年龄在[30,35)内的市民的人数为5×‎20‎‎25‎=4,分别记为B1,B2,B3,B4.‎ 从这5人中任取2人的所有基本事件为:{A,B1},{A,B2},{A,B3},{A,B4},{B1,B2},{B1,B3},{B1,B4},{B2,B3},{B2,B4},{B3,B4},共10个.‎ 记“恰有1人的年龄在[30,35)内”为事件M,则M所包含的基本事件有4个:{A,B1},{A,B2},{A,B3},{A,B4}.‎ 所以这2人中恰有1人的年龄在[30,35)内的概率P(M)=‎4‎‎10‎=‎2‎‎5‎.‎ ‎7.解析　(1)由题意知该销售部门当年年薪的平均值为‎3+3.5+4+5+5.5+6.5+7+7.5+8+50‎‎10‎=10万元,中位数为‎5.5+6.5‎‎2‎=6万元.‎ ‎(2)该销售部门中年薪高于6万元的有5人,编号分别为6,7,8,9,10.年薪高于7万元的有3人,编号分别为8,9,10.‎ 从这5个人中任取2人有:{6,7},{6,8},{6,9},{6,10},{7,8},{7,9},{7,10},{8,9},{8,10},{9,10},共10种不同的取法;‎ 其中从编号为8,9,10的员工中,任取2人有:{8,9},{8,10},{9,10},共3种不同的取法.根据古典概型的概率计算公式,得此2人年薪高于7万元的概率P=‎3‎‎10‎.‎ ‎(3)设xi,yi(i=1,2,3,4)分别表示工作年限及相应年薪,则x=2.5,y=5,‎ 则‎∑‎i=1‎‎4‎(xi-x)2=2.25+0.25+0.25+2.25=5,‎ ‎∑‎i=1‎‎4‎‎(xi-x)(yi-y)=-1.5×(-2)+(-0.5)×(-0.8)+0.5×0.6+1.5×2.2=7,‎ 所以b‎^‎=‎∑‎i=1‎‎4‎‎(xi-x)(yi-y)‎‎∑‎i=1‎‎4‎‎(xi-‎x‎)‎‎2‎=‎7‎‎5‎=1.4,‎ 则a‎^‎=y-b‎^‎x=5-1.4×2.5=1.5,‎ 所以所求线性回归方程为y‎^‎=1.4x+1.5.‎ 当x=7时,y‎^‎=1.4×7+1.5=11.3,‎ 故可预测该员工第七年的年薪为11.3万元.‎ ‎8.解析　(1)依题意,抽出的100名且消费金额在[800,1 000](单位:元)的网购者中有3名女性,记为A,B,C;2名男性,记为a,b.从5人中任选2人的基本事件有:(A,B),(A,C),(A,a),(A,b),(B,C),(B,a),(B,b),(C,a),(C,b),(a,b),共10个,‎ 设“选出的2名网购者恰好是同性”为事件M,‎ 则事件M包含的基本事件有:(A,B),(A,C),(B,C),(a,b),共4个.‎ ‎∴P(M)=‎4‎‎10‎=‎2‎‎5‎.‎ ‎(2)2×2列联表如下所示:‎ 女性 男性 合计 ‎“网购达人”‎ ‎50‎ ‎5‎ ‎55‎ ‎“非网购达人”‎ ‎30‎ ‎15‎ ‎45‎ 合计 ‎80‎ ‎20‎ ‎100‎ 则K2=‎100×(50×15-30×5‎‎)‎‎2‎‎80×20×55×45‎≈9.091,‎ 又9.091>7.879,‎ 所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下可以认为“是否为‘网购达人’与性别有关”.‎