2013年内蒙古自治区乌兰察布市中考数学试题（含答案）

2013年内蒙古自治区乌兰察布市中考数学试题（含答案）

内蒙古乌兰察布市2013年中考数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分。每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑）‎ ‎1． 计算（+2）+（﹣3）所得的结果是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1‎ B．‎ ‎﹣1‎ C．‎ ‎5‎ D．‎ ‎﹣5‎ ‎　‎ ‎2． 3tan30°的值等于（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ ‎3‎ C．‎ D．‎ ‎3． 函数y=中，自变量x的取值范围是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ x＞﹣1‎ B．‎ x＜﹣1‎ C．‎ x≠﹣1‎ D．‎ x≠0‎ ‎4． 若|a|=﹣a，则实数a在数轴上的对应点一定在（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 原点左侧 B．‎ 原点或原点左侧 C．‎ 原点右侧 D．‎ 原点或原点右侧 ‎　‎ ‎5． 已知方程x2﹣2x﹣1=0，则此方程（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 无实数根 B．‎ 两根之和为﹣2‎ C．‎ 两根之积为﹣1‎ D．‎ 有一根为﹣1+‎ ‎　‎ ‎6． 一组数据按从大到小排列为2，4，8，x，10，14．若这组数据的中位数为9，则这组数据的众数为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎6‎ B．‎ ‎8‎ C．‎ ‎9‎ D．‎ ‎10‎ ‎7． 下列事件中是必然事件的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 在一个等式两边同时除以同一个数，结果仍为等式 ‎　‎ B．‎ 两个相似图形一定是位似图形 ‎　‎ C．‎ 平移后的图形与原来图形对应线段相等 ‎　‎ D．‎ 随机抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面一定朝上 ‎　‎ ‎8． 用一个圆心角为120°，半径为2的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎9． 化简÷•，其结果是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎﹣2‎ B．‎ ‎2‎ C．‎ ‎﹣‎ D．‎ ‎　‎ ‎10． 如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1、S2的大小关系是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ S1＞S2‎ B．‎ S1=S2‎ C．‎ S1＜S2‎ D．‎ ‎3S1=2S2‎ ‎　‎ ‎11． 已知下列命题：‎ ‎①若a＞b，则c﹣a＜c﹣b；‎ ‎②若a＞0，则=a；‎ ‎③对角线互相平行且相等的四边形是菱形；‎ ‎④如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等．‎ 其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎4个 B．‎ ‎3个 C．‎ ‎2个 D．‎ ‎1个 ‎　‎ ‎12． 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b＜0；②4a+2b+c＜0；③a﹣b+c＞0；④（a+c）2＜b2．其中正确的结论是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎①②‎ B．‎ ‎①③‎ C．‎ ‎①③④‎ D．‎ ‎①②③④‎ 考点：‎ 二次函数图象与系数的关系．3718684‎ 分析：‎ 由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，利用图象将x=1，﹣1，2代入函数解析式判断y的值，进而对所得结论进行判断．‎ 解答：‎ 解：①图象开口向上，对称轴在y轴右侧，能得到：a＞0，﹣＞0，则b＜0，正确；‎ ‎②∵对称轴为直线x=1，∴x=2与x=0时的函数值相等，∴当x=2时，y=4a+2b+c＞0，错误；‎ ‎③当x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0，正确；‎ ‎④∵a﹣b+c＞0，∴a+c＞b；∵当x=1时，y=a+b+c＜0，∴a+c＜﹣b；∴b＜a+c＜﹣b，∴|a+c|＜|b|，∴（a+c）2＜b2，正确．‎ 所以正确的结论是①③④．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，将x=1，﹣1，2代入函数解析式判断y的值是解题关键，得出b＜a+c＜﹣b是本题的难点．‎ ‎　‎ 二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分。请把答案填在各题对应的横线上）‎ ‎13．（3分） 计算：=　　．‎ ‎　‎ ‎14．（3分） 某次射击训练中，一小组的成绩如表所示：已知该小组的平均成绩为8环，那么成绩为9环的人数是　3　． ‎ 环数 ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ 人数 ‎3‎ ‎4‎ ‎　‎ ‎15．（3分） 如图，点A、B、C、D在⊙O上，OB⊥AC，若∠BOC=56°，则∠ADB=　28　度．‎ ‎　‎ ‎16．（3分） 不等式（x﹣m）＞3﹣m的解集为x＞1，则m的值为　4　．‎ ‎　‎ ‎17．（3分） 设有反比例函数y=，（x1，y1），（x2，y2）为其图象上两点，若x1＜0＜x2，y1＞y2，则k的取值范围　k＜2　．‎ ‎　‎ ‎18．（3分） 如图，在三角形纸片ABC中，∠C=90°，AC=6，折叠该纸片，使点C落在AB边上的D点处，折痕BE与AC交于点E，若AD=BD，则折痕BE的长为　4　．‎ ‎　‎ ‎19．（3分） 如图，已知一条直线经过点A（0，2）、点B（1，0），将这条直线向左平移与x轴、y轴分别交与点C、点D．若DB=DC，则直线CD的函数解析式为　y=﹣2x﹣2　．‎ ‎　‎ ‎20．（3分） 如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C=　135　度．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共60分。请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在对应位置）‎ ‎21．（8分） 甲、乙两人在玩转盘游戏时，把两个可以自由转动的转盘A、B分成4等份、3等份的扇形区域，并在每一小区域内标上数字（如图所示），指针的位置固定．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，若指针所指两个区域的数字之和为3的倍数，甲胜；若指针所指两个区域的数字之和为4的倍数时，乙胜．如果指针落在分割线上，则需要重新转动转盘．‎ ‎（1）试用列表或画树形图的方法，求甲获胜的概率；‎ ‎（2）请问这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？试说明理由．‎ ‎　‎ ‎22．（8分） 如图，一根长6米的木棒（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，与地面的倾斜角（∠ABO）为60°．当木棒A端沿墙下滑至点A′时，B端沿地面向右滑行至点B′．‎ ‎（1）求OB的长；‎ ‎（2）当AA′=1米时，求BB′的长．‎ ‎　‎ ‎23．（10分） 某产品生产车间有工人10名．已知每名工人每天可生产甲种产品12个或乙种产品10个，且每生产一个甲种产品可获得利润100元，每生产一个乙种产品可获得利润180元．在这10名工人中，车间每天安排x名工人生产甲种产品，其余工人生产乙种产品．‎ ‎（1）请写出此车间每天获取利润y（元）与x（人）之间的函数关系式；‎ ‎（2）若要使此车间每天获取利润为14400元，要派多少名工人去生产甲种产品？‎ ‎（3）若要使此车间每天获取利润不低于15600元，你认为至少要派多少名工人去生产乙种产品才合适？‎ ‎　‎ ‎24．（10分） 如图，已知在△ABP中，C是BP边上一点，∠PAC=∠PBA，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且交BP于点E．‎ ‎（1）求证：PA是⊙O的切线；‎ ‎（2）过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG•AB=12，求AC的长；‎ ‎（3）在满足（2）的条件下，若AF：FD=1：2，GF=1，求⊙O的半径及sin∠ACE的值．‎ 考点：‎ 圆的综合题．3718684‎ 分析：‎ ‎（1）根据圆周角定理得出∠ACD=90°以及利用∠PAC=∠PBA得出∠CAD+∠PAC=90°进而得出答案；‎ ‎（2）首先得出△CAG∽△BAC，进而得出AC2=AG•AB，求出AC即可；‎ ‎（3）先求出AF的长，根据勾股定理得：AG=，即可得出sin∠ADB=，利用∠ACE=∠ACB=∠ADB，求出即可．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：连接CD，‎ ‎∵AD是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACD=90°，‎ ‎∴∠CAD+∠ADC=90°，‎ 又∵∠PAC=∠PBA，∠ADC=∠PBA，‎ ‎∴∠PAC=∠ADC，‎ ‎∴∠CAD+∠PAC=90°，‎ ‎∴PA⊥OA，而AD是⊙O的直径，‎ ‎∴PA是⊙O的切线；‎ ‎（2）解：由（1）知，PA⊥AD，又∵CF⊥AD，∴CF∥PA，‎ ‎∴∠GCA=∠PAC，又∵∠PAC=∠PBA，‎ ‎∴∠GCA=∠PBA，而∠CAG=∠BAC，‎ ‎∴△CAG∽△BAC，‎ ‎∴=，‎ 即AC2=AG•AB，‎ ‎∵AG•AB=12，‎ ‎∴AC2=12，‎ ‎∴AC=2；‎ ‎（3）解：设AF=x，∵AF：FD=1：2，∴FD=2x，‎ ‎∴AD=AF+FD=3x，‎ 在Rt△ACD中，∵CF⊥AD，∴AC2=AF•AD，‎ 即3x2=12，‎ 解得；x=2，‎ ‎∴AF=2，AD=6，∴⊙O半径为3，‎ 在Rt△AFG中，∵AF=2，GF=1，‎ 根据勾股定理得：AG===，‎ 由（2）知，AG•AB=12，‎ ‎∴AB==，‎ 连接BD，‎ ‎∵AD是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ABD=90°，‎ 在Rt△ABD中，∵sin∠ADB=，AD=6，‎ ‎∴sin∠ADB=，‎ ‎∵∠ACE=∠ACB=∠ADB，‎ ‎∴sin∠ACE=．‎ 点评：‎ 此题主要考查了圆的综合应用以及勾股定理和锐角三角函数关系等知识，根据已知得出AG的长以及AB的长是解题关键．‎ ‎　‎ ‎25．（12分） 如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC上的一个动点，连接DE，交AC于点F．‎ ‎（1）如图①，当时，求的值；‎ ‎（2）如图②当DE平分∠CDB时，求证：AF=OA；‎ ‎（3）如图③，当点E是BC的中点时，过点F作FG⊥BC于点G，求证：CG=BG．‎ 考点：‎ 相似形综合题．3718684‎ 分析：‎ ‎（1）利用相似三角形的性质求得EF于DF的比值，依据△CEF和△CDF同高，则面积的比就是EF与DF的比值，据此即可求解；‎ ‎（2）利用三角形的外角和定理证得∠ADF=∠AFD，可以证得AD=AF，在直角△AOD中，利用勾股定理可以证得；‎ ‎（3）连接OE，易证OE是△BCD的中位线，然后根据△FGC是等腰直角三角形，易证△EGF∽△ECD，利用相似三角形的对应边的比相等即可证得．‎ 解答：‎ ‎（1）解：∵=，‎ ‎∴=．‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AD∥BC，AD=BC，‎ ‎∴△CEF∽△ADF，‎ ‎∴=，‎ ‎∴==，‎ ‎∴==；‎ ‎（2）证明：∵DE平分∠CDB，∴∠ODF=∠CDF，‎ 又∵AC、BD是正方形ABCD的对角线．‎ ‎∴∠ADO=∠FCD=45°，∠AOD=90°，OA=OD，而∠ADF=∠ADO+∠ODF，∠AFD=∠FCD+∠CDF，‎ ‎∴∠ADF=∠AFD，∴AD=AF，‎ 在直角△AOD中，根据勾股定理得：AD==OA，‎ ‎∴AF=OA．‎ ‎（3）证明：连接OE．‎ ‎∵点O是正方形ABCD的对角线AC、BD的交点．‎ ‎∴点O是BD的中点．‎ 又∵点E是BC的中点，‎ ‎∴OE是△BCD的中位线，‎ ‎∴OE∥CD，OE=CD，‎ ‎∴△OFE∽△CFD．‎ ‎∴==，‎ ‎∴=．‎ 又∵FG⊥BC，CD⊥BC，‎ ‎∴FG∥CD，‎ ‎∴△EGF∽△ECD，‎ ‎∴==．‎ 在直角△FGC中，∵∠GCF=45°．‎ ‎∴CG=GF，‎ 又∵CD=BC，‎ ‎∴==，‎ ‎∴=．‎ ‎∴CG=BG．‎ 点评：‎ 本题是勾股定理、三角形的中位线定理、以及相似三角形的判定与性质的综合应用，理解正方形的性质是关键．‎ ‎　‎ ‎26．（12分） 已知抛物线y=x2﹣3x﹣的顶点为点D，并与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C．‎ ‎（1）求点A、B、C、D的坐标；‎ ‎（2）在y轴的正半轴上是否存在点P，使以点P、O、A为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）取点E（﹣，0）和点F（0，﹣），直线l经过E、F两点，点G是线段BD的中点．‎ ‎①点G是否在直线l上，请说明理由；‎ ‎②在抛物线上是否存在点M，使点M关于直线l的对称点在x轴上？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．3718684‎ 专题：‎ 代数几何综合题．‎ 分析：‎ ‎（1）令y=0，解关于x的一元二次方程求出A、B的坐标，令x=0求出点C的坐标，再根据顶点坐标公式计算即可求出顶点D的坐标；‎ ‎（2）根据点A、C的坐标求出OA、OC的长，再分OA和OA是对应边，OA和OC是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求出OP的长，从而得解；‎ ‎（3）①设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），利用待定系数法求一次函数解析式求出直线l的解析式，再利用中点公式求出点G的坐标，然后根据直线上点的坐标特征验证即可；‎ ‎②设抛物线的对称轴与x轴交点为H，求出OE、OF、HD、HB的长，然后求出△OEF和△HDB相似，根据相似三角形对应角相等求出∠OFE=∠HBD，然后求出EG⊥BD，从而得到直线l是线段BD的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质点D关于直线l的对称点就是B，从而判断出点M就是直线DE与抛物线的交点，再设直线DE的解析式为ymx+n，利用待定系数法求一次函数解析求出直线DE的解析式，然后与抛物线解析式联立求解即可得到符合条件的点M．‎ 解答：‎ 解：（1）令y=0，则x2﹣3x﹣=0，整理得，4x2﹣12x﹣7=0，‎ 解得x1=﹣，x2=，‎ 所以，A（﹣，0），B（，0），‎ 令x=0，则y=﹣，‎ 所以，C（0，﹣），‎ ‎∵﹣=﹣=，==﹣4，‎ ‎∴顶点D（，﹣4）；‎ ‎（2）在y轴正半轴上存在符合条件的点P，设点P的坐标为（0，y），‎ ‎∵A（﹣，0），C（0，﹣），‎ ‎∴OA=，OC=，OP=y，‎ ‎①若OA和OA是对应边，则△AOP∽△AOC，‎ ‎∴=，‎ y=OC=，‎ 此时点P（0，），‎ ‎②若OA和OC是对应边，则△POA∽△AOC，‎ ‎∴=，‎ 即=，‎ 解得y=，‎ 此时点P（0，），‎ 所以，符合条件的点P有两个，P（0，）或（0，）；‎ ‎（3）①设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），‎ ‎∵直线l经过点E（﹣，0）和点F（0，﹣），‎ ‎∴，‎ 解得，‎ 所以，直线l的解析式为y=﹣x﹣，‎ ‎∵B（，0），D（，﹣4），‎ ‎（+）=，[0+（﹣4）]=﹣2，‎ ‎∴线段BD的中点G的坐标为（，﹣2），‎ 当x=时，y=﹣×﹣=﹣2，‎ 所以，点G在直线l上；‎ ‎②在抛物线上存在符合条件的点M．‎ 设抛物线的对称轴与x轴交点为H，则点H的坐标为（，0），‎ ‎∵E（﹣，0）、F（0，﹣），B（，0）、D（，﹣4），‎ ‎∴OE=，OF=，HD=4，HB=﹣=2，‎ ‎∵==，∠OEF=∠HDB，‎ ‎∴△OEF∽△HDB，‎ ‎∴∠OFE=∠HBD，‎ ‎∵∠OEF+∠OFE=90°，‎ ‎∴∠OEF+∠HBD=90°，‎ ‎∴∠EGB=180°﹣（∠OEF+∠HBD）=180°﹣90°=90°，‎ ‎∴直线l是线段BD的垂直平分线，‎ ‎∴点D关于直线l的对称点就是点B，‎ ‎∴点M就是直线DE与抛物线的交点，‎ 设直线DE的解析式为y=mx+n，‎ ‎∵D（，﹣4），（﹣，0），‎ ‎∴，‎ 解得，‎ 所以，直线DE的解析式为y=﹣x﹣2，‎ 联立，‎ 解得，，‎ ‎∴符合条件的点M有两个，是（，﹣4）或（，﹣）．‎ 点评：‎ 本题是二次函数综合题型，主要考查了抛物线与坐标轴的交点的求解，求顶点坐标，待定系数法求一次函数解析式，点在直线上的验证，相似三角形的判定与性质，联立两函数解析式求交点坐标的方法，综合性较强，难度较大，（2）要根据对应边的不同分情况讨论，（3）求出直线l是线段BD的垂直平分线是解题的关键．‎ ‎　‎