【数学】2020届一轮复习人教B版平面向量的综合应用学案
第2课时 平面向量的综合应用
题型一 平面向量与数列
例1(2018·浙江名校协作体考试)设数列{xn}的各项都为正数且x1＝1.△ABC内的点Pn(n∈N*)均满足△PnAB与△PnAC的面积比为2∶1，若＋xn＋1·＋(2xn＋1)＝0，则x4的值为( )
A．15B．17C．29D．31
答案 A
解析 因为＋xn＋1＋(2xn＋1)＝0，所以＋(2xn＋1)＝－xn＋1，如图，设(2xn＋1)＝，以PnA和PnD为邻边作平行四边形PnDEA，所以＋＝＝－xn＋1，所以＝，所以＝，又＝＝，所以＝，所以＝＝，所以xn＋1＝2xn＋1，又x1＝1，所以x2＝3，x3＝7，x4＝15，故选A.
思维升华向量与其他知识的结合，多体现向量的工具作用，利用向量共线或向量数量积的知识进行转化，“脱去”向量外衣，利用其他知识解决即可．
跟踪训练1 (1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若＝a1＋a2018，且A，B，C三点共线(该直线不过点O)，则S2018等于( )
A．1009 B．1008
C．2017 D．2018
答案 A
解析 因为＝a1＋a2018，且A，B，C三点共线，
a1＋a2018＝1，又数列{an}是等差数列，
S2018＝＝1009.
(2)(2018·浙江新高考预测)角A，B，C为△ABC的三个内角，向量m满足|m|＝，且m＝，当角A最大时，动点P使得||，||，||成等差数列，则的最大值是________．
答案
解析 设BC＝2a，BC的中点为D.
由题意得|m|2＝2＋2
＝1－cos(B＋C)＋[1＋cos(B－C)]
＝－cosBcosC＋sinBsinC＝，
则cosBcosC＝sinBsinC，化简得tanBtanC＝，
则tanA＝－tan(B＋C)＝－
＝－(tanB＋tanC)≤－×2＝－，
当且仅当tanB＝tanC＝时，等号成立，
所以当角A最大时，A＝，B＝C＝，
则易得AD＝.
因为||，||，||成等差数列，
所以2||＝||＋||，则点P在以B，C为焦点，以2||＝4a为长轴的椭圆上，由图(图略)易得当点P为椭圆的与点A在直线BC的异侧的顶点时，||取得最大值，此时||＝＝a，
则||＝||＋||＝，
所以＝＝.
题型二 和向量有关的最值问题
命题点1 与平面向量基本定理有关的最值问题
例2 (1)(2018·浙江镇海中学测试)已知△ABC内接于圆O，且A＝60°，若＝x＋y(x，y∈R)，则x＋2y的最大值是( )
A.B．1C.D．2－
答案 D
解析 设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.
由＝x＋y，
得·＝x2＋y·，
·＝x·＋y2，
所以
解得
所以x＋2y＝2－≤2－×2
＝2－(当且仅当b＝c时取等号)，
故选D.
(2)(2018·温州模拟)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，M，N分别为线段BC，CD上的点，且满足＋＝1，若＝x＋y，则x＋y的最小值为________．
答案
解析 连接MN交AC于点G.
由勾股定理，知MN2＝CM2＋CN2，
所以1＝＋＝，即MN＝CM·CM，
所以C到直线MN的距离为定值1，此时MN是以C为圆心，1为半径的圆的一条切线(如图所示)，
＝x＋y＝(x＋y)·.
由向量共线定理知，＝(x＋y)，
所以x＋y＝＝，
又因为||max＝5－1＝4，所以x＋y的最小值为.
命题点2 与数量积有关的最值问题
例3 (1)(2017·浙江)如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O，记I1＝·，I2＝·，I3＝·，则( )
A．I1＜I2＜I3 B．I1＜I3＜I2
C．I3＜I1＜I2 D．I2＜I1＜I3
答案 C
解析 ∵I1－I2＝·－·
＝·(－)＝·，
又与所成角为钝角，∴I1－I2＜0，即I1＜I2.
∵I1－I3＝·－·
＝||||cos∠AOB－||||cos∠COD
＝cos∠AOB(||||－||||)，
又∠AOB为钝角，OA＜OC，OB＜OD，
∴I1－I3＞0，即I1＞I3.∴I3＜I1＜I2，
故选C.
(2)(2018·绍兴市柯桥区质检)已知向量a，b，c满足|b|＝|c|＝2|a|＝1，则(c－a)·(c－b)的最大值是________，最小值是________．
答案 3 －
解析 由题意得|a|＝，|b|＝|c|＝1，则(c－a)·(c－b)＝|c|2－c·b－c·a＋a·b＝|c|2＋(－a－b＋c)2－(|a|2＋|b|2＋|c|2)＝－＋(－a－b＋c)2，则当向量－a，－b，c同向共线时，(c－a)·(c－b)取得最大值－＋2＝3，当－a－b＋c＝0时，(c－a)·(c－b)取得最小值－.
命题点3 与模有关的最值问题
例4 (1)(2018·浙江金华一中考试)已知，，是空间两两垂直的单位向量，＝x＋y＋z，且x＋2y＋4z＝1，则|－－|的最小值为________．
答案
解析 方法一 由题意可设＝(1,0,0)，＝(0,1,0)，＝(0,0,1)．由x＋2y＋4z＝1，得x＝1－2y－4z.由＝x＋y＋z＝(x，y，z)，
则|－－|＝
＝
＝
＝≥
＝，
所以|－－|的最小值为.
方法二 由方法一得|－－|＝，又x＋2y＋4z＝1表示一个平面，所以|－－|＝的最小值d为定点(1,1,0)到平面x＋2y＋4z＝1的距离，即d＝＝.
(2)(2018·浙江学军中学模拟)已知平面向量a，b，c满足|a|＝3，|b|＝|c|＝5,0<λ<1，若b·c＝0，则|a－b＋λ(b－c)|＋的最小值为________．
答案 －3
解析 建立如图所示的平面直角坐标系，设＝a，则A在以O为圆心，3为半径的圆上运动．设＝b，＝c，则＝b－c，取D∈BC，设＝λ(b－c)，则＝(1－λ)·(b－c)，取E∈OC使得＝c，则|a－b＋λ(b－c)|＝|－＋|＝||，
＝|＋|＝||，
∴|a－b＋λ(b－c)|＋
＝||＋||，作点E关于BC的对称点E′，
则||＝||，由E(0,2)易得E′(3,5)，
∴|a－b＋λ(b－c)|＋
＝||＋||≥||≥||－3＝－3，且知当A，D在线段OE′上时取等号，
∴|a－b＋λ(b－c)|＋的最小值为－3.
思维升华和向量有关的最值问题，要回归向量的本质进行转化，利用数形结合、基本不等式或者函数的最值求解．
跟踪训练2 (1)(2013·浙江)设△ABC，P0是边AB上一定点，满足P0B＝AB，且对于边AB上任一点P，恒有·≥·，则( )
A．∠ABC＝90° B．∠BAC＝90°
C．AB＝AC D．AC＝BC
答案 D
解析 设BC中点为M，连接P0M，
则·＝2－2＝2－2
同理·＝2－2
∵·≥·恒成立，
∴| |≥| |恒成立．
即P0M⊥AB，取AB的中点N，连接CN，
又P0B＝AB，则CN⊥AB，∴AC＝BC.故选D.
(2)(2018·台州期末)已知m，n是两个非零向量，且|m|＝1，|m＋2n|＝3，则|m＋n|＋|n|的最大值为( )
A.B.C．4D．5
答案 B
解析 因为(m＋2n)2＝4n2＋4m·n＋1＝9，所以n2＋m·n＝2，所以(m＋n)2＝m2＋2m·n＋n2＝5－n2，所以|m＋n|＋|n|＝＋|n|.令|n|＝x(0
0，当2|b|
C．|b|<|a－b| D．|b|>|a－b|
答案 A
解析 设向量a，b的夹角为θ，则由|a＋b|＝|2a－b|，得(a＋b)2＝(2a－b)2，即|a|2＋2|a||b|cosθ＋|b|2＝4|a|2－4|a||b|cosθ＋|b|2，化简得|a|＝2|b|cosθ.因为向量a，b
不共线，所以cosθ∈(0,1)，所以|a|<2|b|，故选A.
3．(2018·浙江名校新高考研究联盟联考)已知向量a，b满足|a＋b|＝4，|a－b|＝3，则|a|＋|b|的取值范围是( )
A．[3,5] B．[4,5]
C．[3,4] D．[4,7]
答案 B
解析 由题意知|a|＋|b|≥max{|a＋b|，|a－b|}＝4(当a，b共线时等号成立)，又(|a|＋|b|)2＝|a|2＋|b|2＋2|a|·|b|≤2(|a|2＋|b|2)＝|a＋b|2＋|a－b|2＝25(当|a|＝|b|时取等号)，所以|a|＋|b|≤5，故|a|＋|b|的取值范围是[4,5]．
4．(2014·浙江)记max{x，y}＝min{x，y}＝设a，b为平面向量，则( )
A．min{|a＋b|，|a－b|}≤min{|a|，|b|}
B．min{|a＋b|，|a－b|}≥min{|a|，|b|}
C．max{|a＋b|2，|a－b|2}≤|a|2＋|b|2
D．max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2
答案 D
解析 由于|a＋b|，|a－b|与|a|，|b|的大小关系与夹角大小有关，故A，B错．当a，b夹角为锐角时，|a＋b|>|a－b|，此时，|a＋b|2>|a|2＋|b|2；当a，b夹角为钝角时，|a＋b|<|a－b|，此时，|a－b|2>|a|2＋|b|2；当a⊥b时，|a＋b|2＝|a－b|2＝|a|2＋|b|2，故选D.
5．(2018·台州市三区三校适应性考试)已知a，b为单位向量，且a⊥b，|c－a|＋|c－2b|＝，则|c－2a|＋|c－b|的最小值是( )
A．5B.C.D.
答案 B
解析 在平面直角坐标系xOy中，不妨令a＝(1,0)，b＝(0,1)，设＝c＝(x，y)，则|c－a|＋|c－2b|＝＋＝，易知C(x，y)的轨迹为线段2x＋y－2＝0(0≤x≤1)，|c－2a|＋|c－b|＝＋，所以问题转化为求点(2,0)，(0,1)与线段上点的距离之和的最小值，易知最小值为点(2,0)与点(0,1)之间的距离，为.
6.如图，在扇形OAB中，∠AOB＝，C为弧AB上与A，B不重合的一个动点，且＝x＋y，若u＝x＋λy(λ>0)存在最大值，则λ的取值范围为( )
A．(1,3) B.
C. D.
答案 D
解析 设∠BOC＝α，则∠AOC＝－α，
因为＝x＋y，
所以
即
解得x＝－cosα＋cos＝sinα，
y＝cosα－sinα，
所以u＝sinα＋λ
＝sinα＋λcosα
＝·sin(α＋β)，
其中tanβ＝，
因为0<α<，要使u存在最大值，只需满足β>，
所以>，
整理得>0，解得<λ<2，
故选D.
7．设向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，定义一种运算：a⊗b＝(a1，a2)⊗(b1，b2)＝(a1b1，a2b2)．已知向量m＝，n＝.点P在y＝cosx的图象上运动，点Q在y＝f(x)的图象上运动，且满足＝m⊗＋n(其中O为坐标原点)，则y＝f(x)在区间上的最大值是( )
A．4B．2C．2D．2
答案 A
解析 设＝(x0，y0)，＝(x，y)，由题意可得y0＝cosx0，＝(x，y)＝m⊗＋n＝⊗(x0，y0)＋＝＋＝，即x＝x0＋，y＝4y0，即x0＝2x－，y0＝y，所以y＝cos，即y＝4cos.因为点Q在y＝f(x)的图象上运动，所以f(x)＝4cos，当≤x≤时，0≤2x－≤，所以当2x－＝0时，f(x)取得最大值4.
8．已知△ABC的外心为O，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且＋＋＝0，则a，b，c的关系为________，cosB的取值范围为________．
答案 a2＋2c2＝3b2
解析 设AC边上的中点为D，
则OD⊥AC，从而有·＝(＋)·
＝·＋·＝·＋0＝b2，
同理有·＝c2，
∴·＝·(－)＝b2－c2，
同理有·＝c2－a2，·＝a2－b2，
∴由＋＋＝0，得a2＋2c2＝3b2.
∵cosB＝＝
＝≥＝(当且仅当a＝c时取等号)，
又cosB<1，∴≤cosB<1.
9．(2019·温州模拟)设向量a，b满足|a＋b|＝2|a－b|，|a|＝3，则|b|的最大值是________；最小值是________．
答案 9 1
解析 由|a＋b|＝2|a－b|两边平方，得a2＋2a·b＋b2＝4(a2－2a·b＋b2)，化简得3a2＋3b2＝10a·b≤10|a||b|，|b|2－10|b|＋9≤0，解得1≤|b|≤9.
10．(2018·绍兴市上虞区质检)已知△ABC的外接圆圆心为O，且∠A＝60°，若＝α＋β(α，β∈R)，则α＋β的最大值为________．
答案
解析 记||＝c，||＝b，
由＝α＋β，得
则由平面向量的数量积的几何意义，得
故(1－2α)(1－2β)＝αβ，
由基本不等式，有2(α＋β)＝1＋3αβ≤1＋3·2，
当且仅当α＝β时，等号成立，
解得α＋β≤(α＋β≥2舍)．
11．(2018·浙江衢州二中模拟)已知a＝(cosα，sinα)，b＝(sinβ，cosβ)，且α＋β＝.若c满足|c－a－b|＝2，则的取值范围是________．
答案 [2－，2＋]
解析 因为(a＋b)2＝2＋2(cosαsinβ＋sinαcosβ)＝2＋2sin(α＋β)＝3，即|a＋b|＝.又||c|－|a＋b||≤|c－(a＋b)|≤|c|＋|a＋b|，则解得2－≤|c|≤2＋，故＝∈[2－，2＋]．
12．在△ABC中，已知CA＝2，CB＝6，∠ACB＝60°，点O满足＝λ(λ>0)，＝m＋n，m，n∈R，且－≤n≤－，则||的取值范围是________．
答案
解析 以C为坐标原点，CB所在直线为x轴建立平面直角坐标系．不妨假设A在x轴上方，则B(6,0)，A(1，)．
由＝λ可得直线CO的方程为y＝x.
设O，其中x>0.
由＝m＋n，得
＝m＋n，
所以
解得n＝.
由－≤n≤－，
可得≤x≤，
所以||＝x∈.
13．如图所示，已知点D为△ABC的边BC上一点，＝3，En(n∈N*)为边AC上的一系列点，满足＝an＋1·－(3an＋2)，其中实数列{an}中，an＞0，a1＝1，则数列{an}的通项公式为an＝________.
答案 2·3n－1－1
解析 因为＝3，
所以＝＋
＝＋
＝＋(＋)
＝－＋.
设m＝，
则由＝an＋1－(3an＋2)，
得－＝0，
即－m＝an＋1，m＝－(3an＋2)，
所以an＋1＝(3an＋2)，
所以an＋1＋1＝3(an＋1)．
因为a1＋1＝2，
所以数列{an＋1}是以2为首项，3为公比的等比数列，
所以an＋1＝2·3n－1，
所以an＝2·3n－1－1.
14．(2018·浙江重点中学考试)已知在△ABC中，AC⊥AB，AB＝3，AC＝4.若点P在△ABC的内切圆上运动，则·(＋)的最小值为________．
答案 －2
解析 因为AC⊥AB，所以以A为坐标原点，以AB，AC所在的直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A(0,0)，B(3,0)，C(0,4)．
由题意可知△ABC内切圆的圆心为D(1,1)，半径为1.因为点P在△ABC的内切圆上运动，
所以可设P(1＋cosθ，1＋sinθ)(0≤θ≤2π)．
所以＝(－1－cosθ，－1－sinθ)，＋
＝(1－2cosθ，2－2sinθ)，
所以·(＋)
＝(－1－cosθ)(1－2cosθ)＋(－1－sinθ)(2－2sinθ)
＝－1＋cosθ＋2cos2θ－2＋2sin2θ
＝－1＋cosθ≥－1－1＝－2，
当cosθ＝－1，即P(0,1)时，·(＋)取到最小值，且最小值为－2.
15．(2018·浙江杭州二中考试)如图，在边长为1的正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧(在正方形内，包括边界点)上的任意一点，则·的取值范围是________．若向量＝λ＋μ，则λ＋μ的最小值为________．
答案 [0,1]
解析 以点A为坐标原点，分别以AB，AD所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则易得A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，E，P(cosθ，sinθ)，则·＝(cosθ，sinθ)·(cosθ－1，sinθ)＝cos2θ－cosθ＋sin2θ＝1－cosθ，又因为0≤θ≤，
所以·＝1－cosθ∈[0,1]．
由＝λ＋μ，
得(1,1)＝λ＋μ(cosθ，sinθ)
＝，
所以解得
则λ＋μ＝＋
＝，
当θ＝时，λ＋μ＝＝5，
当θ≠时，λ＋μ＝
＝，
设f(x)＝(x≥0)，
则f′(x)＝
＝>0(x≥0)，
所以函数f(x)＝在[0，＋∞)上单调递增；
则当tanθ＝0时，λ＋μ＝取得最小值.综上所述，λ＋μ的最小值为.
16．已知非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝－2a·b＝1，且a－c和b－c的夹角为，则(a＋c)·(b＋c)的最小值是________．
答案 －
解析 由题可知，单位向量a和b的夹角为，
又a－c和b－c的夹角为，
所以点C的轨迹是以O为圆心，1为半径的圆的劣弧和劣弧关于直线AB对称的弧，即过点A，O，B的弧(如图)．
以O为坐标原点，垂直于AB的直线为x轴(向右为正方向)，建立平面直角坐标系(图略)，则A，B.
当点C在劣弧上时，
设C(cosθ，sinθ)，
则有a＋c＝，
b＋c＝，
所以(a＋c)·(b＋c)
＝·＋·
＝＋cosθ∈.
当点C在过点A，O，B的弧上时，
设C(1＋cosθ，sinθ)，
则有a＋c＝，
b＋c＝，
所以(a＋c)·(b＋c)
＝·＋·
＝＋3cosθ∈，
当且仅当θ＝π时，取最小值－.
故(a＋c)·(b＋c)的最小值为－.
