【物理】2019届二轮复习 万有引力与航天 学案（全国通用）
2019届二轮复习 万有引力与航天 学案（全国通用）
1．掌握万有引力定律的内容，公式及应用。
2．理解环绕速度的含义并会求解。
3．了解第二和第三宇宙速度。
热点题型一 天体圆周运动问题
例1、（2018年北京卷）若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律，在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下，需要验证
A. 地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的1/602
B. 月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的1/602
C. 自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的1/6
D. 苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的1/60
【答案】B
【变式探究】【2017·北京卷】利用引力常量G和下列某一组数据，不能计算出地球质量的是
A．地球的半径及重力加速度（不考虑地球自转）
B．人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期
C．月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离
D．地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离
【答案】D
【变式探究】 (多选)用m表示地球的通讯卫星(同步卫星)的质量，h表示离地面的高度，用R表示地球的半径，g表示地球表面的重力加速度，ω表示地球自转的角速度，则通讯卫星所受的地球对它的万有引力的大小为 ( )
A．G B．
C．mω2(R＋h) D．m
解析：由万有引力定律得：F＝G ①
地球表面的重力加速度g＝G ②
由①②式得F＝ ③
万有引力充当向心力F＝mω2(R＋h) ④
由于D选项m中不含(R＋h)，所以上面③④两式联立消掉(R＋h)得：
F3＝m3R2gω4，由此得F＝m。
由以上分析，本题正确选项为B、C、D。
答案：BCD
【提分秘籍】
1.解决天体圆周运动问题的基本思路
思路一：把天体(或人造卫星)的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供，关系式：G
＝m＝mω2r＝m()2r。
思路二：在天体表面或附近的物体所受的重力可认为等于天体对物体的引力，即mg＝G。由此可以得出黄金变换式GM＝gR2(注意g为天体表面的重力加速度)，另外还可得到天体表面重力加速度公式g＝，空中的重力加速度表达式g′＝。
2.万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表示为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。
(1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R。
(2)在两极上：G＝mg2。
(3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和。
越靠近南北两极g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即＝mg。
【举一反三】
一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v。假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N。已知引力常量为G，则这颗行星的质量为 ( )
A． B．
C． D．
解析：行星对卫星的万有引力提供其做匀速圆周运动的向心力，有G＝m′
行星对处于其表面物体的万有引力等于物体重力，有
G＝mg
根据题意，有N＝mg
解以上三式可得M＝，选项B正确。
答案：B
热点题型二 卫星运行参量的比较与计算
例2、（2018年全国Ⅲ卷）为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍。P与Q的周期之比约为
A. 2:1 B. 4:1 C. 8:1 D. 16:1
【答案】C
【变式探究】【2017·江苏卷】“天舟一号”货运飞船于2017年4月20日在文昌航天发射中心成功发射升空，与“天宫二号”空间实验室对接前，“天舟一号”在距离地面约380 km的圆轨道上飞行，则其
（A）角速度小于地球自转角速度
（B）线速度小于第一宇宙速度
（C）周期小于地球自转周期
（D）向心加速度小于地面的重力加速度
【答案】BCD
【解析】根据知，“天舟一号”的角速度大于同步卫星的角速度，而同步卫星的角速度等于地球自转的角速度，所以“天舟一号”的角速度大于地球自转角的速度，周期小于地球自转的周期，故A错误；C正确；第一宇宙速度为最大的环绕速度，所以“天舟一号”的线速度小于第一宇宙速度，B正确；地面重力加速度为，故“天舟一号”的向心加速度a小于地面的重力加速度g，故D正确．
【变式探究】一人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，假如该卫星变轨后仍做匀速圆周运动，动能减小为原来的，不考虑卫星质量的变化，则变轨前后卫星的 ( )
A．向心加速度大小之比为4∶1
B．角速度大小之比为2∶1
C．周期之比为1∶8
D．轨道半径之比为1∶2
答案：C
【方法技巧】人造卫星问题的解题技巧
(1)利用万有引力提供向心加速度的不同表述形式。
①G＝＝man；②an＝＝rω2＝r。
(2)解决力与运动关系的思想还是动力学思想，解决力与运动的关系的桥梁还是牛顿第二定律。
①卫星的an、v、ω、T是相互联系的，其中一个量发生变化，其他各量也随之发生变化。
②an、v、ω、T均与卫星的质量无关，只由轨道半径r和中心天体质量共同决定。
【提分秘籍】
1．卫星的各物理量随轨道半径变化的规律
2．极地卫星和近地卫星
(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。
(2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9km/s。
(3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心。
【举一反三】
如图所示，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动，下列说法正确的是 ( )
A．甲的向心加速度比乙的小
B．甲的运行周期比乙的小
C．甲的角速度比乙的大
D．甲的线速度比乙的大
答案：A
热点题型三 航天器的变轨问题
例3． (多选)如图，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B为轨道Ⅱ上的一点，如图所示，关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有 ( )
A．在轨道Ⅱ上经过A的速度小于经过B的速度
B．在轨道Ⅱ上经过A的动能小于在轨道Ⅰ上经过A 的动能
C．在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期
D．在轨道Ⅱ上经过A的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A的加速度
解析：根据开普勒定律可知，卫星在近地点的速度大于在远地点的速度，A正确；由Ⅰ轨道变到Ⅱ轨道要减速，所以B正确；类比于行星椭圆运动，由开普勒第三定律可知，＝k，R2＜R1，所以T2＜T1，C正确；根据a＝，在A点时加速度相等，D错误。
答案：ABC
【归纳总结】航天器变轨问题的三点注意事项
(1)航天器变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新轨道上的运行速度变化由v＝判断。
(2)航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大。
(3)航天器经过不同轨道相交的同一点时加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度。
【提分秘籍】
1．卫星轨道的渐变：当卫星由于某种原因速度突然改变时(开启或关闭发动机或空气阻力作用)，万有引力不再等于向心力，卫星将做变轨运行：
(1)当卫星的速度突然增加时，G
m，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v＝可知其运行速度比原轨道时增大；卫星的发射和回收就是利用这一原理。
2.卫星轨道的突变：由于技术上的需要，有时要在适当的位置短时间内启动飞行器上的发动机，使飞行器轨道发生突变，使其进入预定的轨道。如图所示，发射同步卫星时，可以分多步过程完成：
(1)先将卫星发送到近地轨道Ⅰ；
(2)使其绕地球做匀速圆周运动，速率为v1，变轨时在P点点火加速，短时间内将速率由v1增加到v2，使卫星进入椭圆形的转移轨道Ⅱ；
(3)卫星运行到远地点Q时的速率为v3，此时进行第二次点火加速，在短时间内将速率由v3增加到v4，使卫星进入同步轨道Ⅲ，绕地球做匀速圆周运动。
【举一反三】
(多选)神舟九号飞船与天宫一号目标飞行器在离地面343km
的近圆形轨道上成功进行了我国首次载人空间交会对接。对接轨道所处的空间存在极其稀薄的大气。下列说法正确的是 ( )
A．为实现对接，两者运行速度的大小都应介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间
B．如不加干预，在运行一段时间后，天宫一号的动能可能会增加
C．如不加干预，天宫一号的轨道高度将缓慢降低
D．航天员在天宫一号中处于失重状态，说明航天员不受地球引力作用
答案：BC
热点题型四 双星或多星模型
例4、双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为 ( )
A．T B．T
C．T D．T
解析：设双星的质量分别为m1、m2，两星做圆周运动的半径分别为r1、r2，则总质量M＝m1＋m2，两者之间的距离L＝r1＋r2。根据万有引力定律及牛顿第二定律得G＝m1r1、G＝m2r2，将两式相加整理可得T＝＝。当总质量变为原来的k倍，距离变为原来的n倍时，周期将变为原来的倍，故选项B正确。
答案：B
【提分秘籍】
绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示，双星系统模型有以下特点：
(1)各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即＝m1ωr1，＝m2ωr2
(2)两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2
(3)两颗星的半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L
(4)两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝
(5)双星的运动周期T＝2π
(6)双星的总质量公式m1＋m2＝
【举一反三】
宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对他们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆轨道运行。设每个星体的质量均为m。
(1)试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期；
(2)假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？
答案：(1)v＝，T＝4π (2)r＝()R
(2)设第二种形式星体之间的距离为r，则三个星体做圆周运动的半径为R′＝
由于星体做圆周运动所需要的向心力靠其他两个星体的万有引力的合力提供。由力的合成和牛顿运动定律，有
F合＝2Gcos30° F合＝mR′
由以上四式，得r＝()R
1. （2018年北京卷）若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律，在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下，需要验证
A. 地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的1/602
B. 月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的1/602
C. 自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的1/6
D. 苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的1/60
【答案】B
【解析】设月球质量为，地球质量为M，苹果质量为，则月球受到的万有引力为：，
苹果受到的万有引力为：。由于月球质量和苹果质量之间的关系未知，故二者之间万有引力的关系无法确定，A错误；根据牛顿第二定律：，。整理可以得到：，B正确；在月球表面处：
，由于月球本身的半径大小未知，故无法求出月球表面和地面表面重力加速度的关系，C错误；苹果在月球表面受到引力为：，由于月球本身的半径大小未知，故无法求出苹果在月球表面受到的引力与地球表面引力之间的关系，D错误。
2. （2018年全国II卷）2018年2月，我国500 m口径射电望远镜（天眼）发现毫秒脉冲星“J0318+0253”，其自转周期T=5.19 ms，假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为（ ）
A. B.
C. D.
3. （2018年江苏卷）我国高分系列卫星的高分辨对地观察能力不断提高．今年5月9日发射的“高分五号”轨道高度约为705 km，之前已运行的“高分四号”轨道高度约为36 000 km，它们都绕地球做圆周运动．与“高分四号冶相比，下列物理量中“高分五号”较小的是（ ）
A. 周期
B. 角速度
C. 线速度
D. 向心加速度
【答案】A
【解析】本题考查人造卫星运动特点，意在考查考生的推理能力。设地球质量为M，人造卫星质量为
m，人造卫星做匀速圆周运动时，根据万有引力提供向心力有，得，，，，因为“高分四号”的轨道半径比“高分五号”的轨道半径大，所以选项A正确，BCD错误。
4. （2018年全国Ⅲ卷）为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍。P与Q的周期之比约为
A. 2:1 B. 4:1 C. 8:1 D. 16:1
【答案】C
5．（2018浙江）土星最大的卫星叫“泰坦”（如图），每16天绕土星一周，其公转轨道半径约为，已知引力常量，则土星的质量约为
A. B.
C. D.
【答案】 B
【解析】卫星绕土星运动，土星的引力提供卫星做圆周运动的向心力设土星质量为M：，解得
带入计算可得：，故B正确，A、C、D错误；故选B。
6. （2018年天津卷）2018年2月2日，我国成功将电磁监测试验卫星“张衡一号”
发射升空，标志我国成为世界上少数拥有在轨运行高精度地球物理场探测卫星的国家之一。通过观测可以得到卫星绕地球运动的周期，并已知地球的半径和地球表面处的重力加速度。若将卫星绕地球的运动看作是匀速圆周运动，且不考虑地球自转的影响，根据以上数据可以计算出卫星的
A. 密度 B. 向心力的大小 C. 离地高度 D. 线速度的大小
【答案】CD
7. （2018年全国Ⅰ卷）2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈，将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星（ ）
A. 质量之积 B. 质量之和 C. 速率之和 D. 各自的自转角速度
【答案】BC
【解析】本题考查天体运动、万有引力定律、牛顿运动定律及其相关的知识点。双中子星做匀速圆周运动的频率f=12Hz（周期T=1/12s），由万有引力等于向心力，可得，G=m1r1（2πf）2，G=m2r2（2πf）2，r1+ r2=r=40km，联立解得：（m1+m2）=（2πf）2Gr3，B正确，A错误；由v1=ωr1=2πf r1，v2=ωr2=2πf r2，联立解得：v1+ v2=2πf r，C正确；不能得出各自自转的角速度，D错误。
1．【2017·北京卷】利用引力常量G和下列某一组数据，不能计算出地球质量的是
A．地球的半径及重力加速度（不考虑地球自转）
B．人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期
C．月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离
D．地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离
【答案】D
，会消去两边的M；故BC能求出地球质量，D不能求出。
【 考点定位】万有引力定律的应用、动能
3．【2017·江苏卷】“天舟一号”货运飞船于2017年4月20日在文昌航天发射中心成功发射升空，与“天宫二号”空间实验室对接前，“天舟一号”在距离地面约380 km的圆轨道上飞行，则其
（A）角速度小于地球自转角速度
（B）线速度小于第一宇宙速度
（C）周期小于地球自转周期
（D）向心加速度小于地面的重力加速度
【答案】BCD
【 考点定位】开普勒行星运动定律；机械能守恒的条件
5．【2017·天津卷】我国自主研制的首艘货运飞船“天舟一号”发射升空后，与已经在轨运行的“天宫二号”成功对接形成组合体。假设组合体在距地面高度为h的圆形轨道上绕地球做匀速圆周运动，已知地球的半径为R，地球表面处重力加速度为g，且不考虑地球自转的影响。则组合体运动的线速度大小为__________
，向心加速度大小为___________。
【答案】
【
4.[2016·天津卷] 我国即将发射“天宫二号”空间实验室，之后发射“神舟十一号”飞船与“天宫二号”对接．假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是( )
图1
A．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接
B．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接
C．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接
D．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接
【答案】C【解析】若使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，则飞船加速后，万有引力不足以提供向心力，飞船将远离原来的轨道，不能实现对接，A
错误；若使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，则空间实验室减速将会使空间实验室进入低轨道，也不能实现对接，故B错误；实现对接的方法是使飞船在比空间实验室低的轨道上加速，然后飞船进入较高的空间实验室轨道后实现对接，C正确；若使飞船在比空间实验室低的轨道上减速，则飞船将进入更低的轨道上去运行，无法实现对接，D错误．
5.[2016·江苏卷] 如图1所示，两质量相等的卫星A、B绕地球做匀速圆周运动，用R、T、Ek、S分别表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时间内扫过的面积．下列关系式正确的有( )
图1
A．TA>TB
B．EkA>EkB
C．SA＝SB
D.＝
6.[2016·江苏卷] 据报道，一法国摄影师拍到“天宫一号”空间站飞过太阳的瞬间．照片中，“天宫一号”的太阳帆板轮廓清晰可见．如图所示，假设“天宫一号”正以速度v＝7.7 km/s绕地球做匀速圆周运动，运动方向与太阳帆板两端M、N的连线垂直，M、N间的距离L＝20 m，地磁场的磁感应强度垂直于v，MN所在平面的分量B＝1.0×10－5 T，将太阳帆板视为导体．
图1
(1)求M、N间感应电动势的大小E；
(2)在太阳帆板上将一只“1.5 V，0.3 W”的小灯泡与M、N相连构成闭合电路，不计太阳帆板和导线的电阻．试判断小灯泡能否发光，并说明理由；
(3)取地球半径R＝6.4×103 km，地球表面的重力加速度g＝9.8 m/s2，试估算“天宫一号”距离地球表面的高度h(计算结果保留一位有效数字)．
【答案】(1)1.54 V (2)不能，理由见解析 (3)4×105 m
7.[2016·四川卷] 国务院批复，自2016年起将4月24日设立为“中国航天日”.1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为440 km，远地点高度约为2060 km；1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35786 km的地球同步轨道上．设东方红一号在远地点的加速度为a1，东方红二号的加速度为a2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a3，则a1、a2、a3的大小关系为( )
图1
A．a2＞a1＞a3
B．a3＞a2＞a1
C．a3＞a1＞a2
D．a1＞a2＞a3
【答案】D【解析】由于东方红二号卫星是同步卫星，则其角速度和赤道上的物体角速度相等，可得：a＝ω2r，由于r2>r3，则可以得出：a2>a3；又由万有引力定律有：G＝ma，且r1
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