江苏高考数学模拟试卷1

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江苏高考数学模拟试卷1

‎2017年江苏高考数学模拟试卷 一、填空题(本大题共14个小题,每小题5分,共70分)‎ ‎1. 若集合则满足条件有 个.‎ ‎【答案】8‎ ‎2. 中小学校车安全引起全社会的关注,为了消除安全隐患,某市组织校车安全大检查,某校有甲、乙、丙、丁四辆车,分两天对其进行检测,每天检测两辆车,则甲、乙两辆车在同一天被检测的概率为 .‎ ‎【答案】‎ ‎3. 已知直线l⊥平面α,直线m⊂平面β,给出下列命题:①若α∥β,则l⊥m;②若α⊥β,则l∥m;③若l∥m,则α⊥β;④若l⊥m,则α∥β.其中正确命题的序号是________.‎ ‎【答案】①③‎ 解析:②中l与m可能异面;④中α与β也可能相交.‎ ‎4. 根据如图所示的伪代码,可知输出S的值为 .‎ 第4题 ‎ ‎ ‎【答案】21‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎5. 为了了解某地区高三学生身体发育情况,抽查了该地区100名年龄为17.5岁~18岁的男生体重(kg),得到频率分布直方图,如图.根据图可得这100名学生中体重在[56.5,64.5)的学生人数是________.‎ ‎【答案】40‎ ‎6. 已知z∈C,|z-2|=1,则|z+2+5i|的最大值是________.‎ ‎【答案】‎ ‎7. 对正整数n,设曲线y=xn(1-x)在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为an,则数列前n项和是________.‎ ‎【答案】2n+1-2‎ 解:y′=nxn-1-(n+1)xn,曲线y=xn(1-x)在x=2处的切线的斜率为k=n·2n-1-(n+1)·2n,切点为(2,-2n),所以切线方程为y+2n=k(x-2),令x=0得an=(n+1)·2n,令bn==2n,数列的前n项和为2+22+23+…+2n=2n+1-2.‎ ‎8. 某种卷筒卫生纸绕在盘上,空盘时盘芯直径40mm,满盘时直径120mm,已知卫生纸的厚度为0.1mm,则满盘时卫生纸的总长度大约是________m(精确到1m,π取3.14).‎ ‎【答案】100 依题意可知卫生纸的厚度是以首项为40 mm,公差为0.1 mm×2,末项为120 mm的等差数列,总共项数为=400,所以满盘时卫生纸的总长度为×400=32000π(mm).32000π mm=32π m≈100.48 m≈100 m.‎ ‎9. 设函数f(x)=sin(ωx+φ),给出以下四个论断:①它的图象关于直线x=对称;‎ ‎②它的图象关于点对称;③它的周期为π;④在区间上是增函数.以其中两个论断作为条件,余下论断作为结论,写出你认为正确的两个命题:(1)________________;(2)________________.‎ 解析:①③成立时,f(x)的图象可能为下图中的一个.但图2不能满足-<φ<.在图 中可得端点A,B,故②④成立.同理②③成立时,①④成立.‎ 答案:①③⇒②④;②③⇒①④‎ ‎10. 过双曲线的左焦点且和双曲线实轴垂直的直线与双曲线交于点、.若在双曲线的虚轴所在的直线上存在一点,使得,则双曲线的离心率的最小值为 .‎ ‎【答案】‎ 解:设双曲线的方程为().‎ 可得,().设点.‎ 则,.‎ 由.‎ 因为,所以,‎ 又,故.‎ ‎11.设函数.则关于的不等式的解集为 .‎ ‎【答案】‎ 因为,所以,.‎ 注意到,当时,.‎ 则在区间上为减函数.‎ 故所求解集为 ‎12. 若为所在平面内的一点,且满足,直线与交于点,则.‎ ‎【答案】 ‎ 如图,由题设得,,‎ ‎.‎ 设平行四边形的面积为,易知,,‎ 故 ‎13. 已知函数。若的解集中有两个不同的元素,则满足条件的的集合为 。‎ ‎【答案】‎ 解:注意到, 。‎ 画出函数图像,当直线和曲线相切时,由方程 ‎(负值舍去)。‎ 由函数图像,知当或时,方程解集中有两个元素。‎ ‎14. 设常数.在直角坐标系中,已知曲线与坐标轴交于三个不同的点、、.则当变化时过、、三点的圆的半径的最小值为 .‎ ‎【答案】‎ 显然,曲线与轴交于点,不妨记此点为.‎ 设曲线与轴交于点,().‎ 令.‎ 由于,故.‎ 由韦达定理得:,.‎ 设过、、三点的圆的方程为 ‎ ①‎ ‎②‎ ‎③‎ ‎④‎ 则 ‎②-③、②+③分别得:,‎ 故 代入式④得:()‎ 故方程①为 ⑤‎ ‎.‎ 因此,所求圆的半径的最小值为.‎ 二、解答题 (本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) ‎ ‎15.(本小题满分14分)‎ 设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a,b,c. 已知C=,acosA=bcosB.‎ ‎(1)求角A的大小;‎ ‎(2)如图,在△ABC的外角∠ACD内取一点P,使得PC=2.过点P分别作直线CA、CD的垂线PM、PN,垂足分别是M、N.设∠PCA=α,求PM+PN的最大值及此时α的取值.‎ 解(1)由acosA=bcosB及正弦定理可得sinAcosA=sinBcosB,‎ 即sin2A=sin2B,又A∈(0,π),B∈(0,π),‎ 所以有A=B或A+B=. ………………… 2分 ‎ 又因为C=,得A+B=,与A+B=矛盾,所以A=B,‎ 因此A=. …………………4分 ‎(2)由题设,得 在Rt△PMC中,PM=PC·sin∠PCM=2sinα;‎ ‎(第15题)‎ 在Rt△PNC中,PN=PC·sin∠PCN= PC·sin(π-∠PCB) ‎ ‎=2sin[π-(α+)]=2sin (α+),α∈(0,). ‎ 所以,PM+PN=2sinα+2sin (α+)=3sinα+cosα=2sin(α+). ‎ ‎ ‎ 因为α∈(0,),所以α+∈(,),从而有sin(α+)∈(,1],‎ 即2sin(α+)∈(,2].‎ 于是,当α+=,即α=时,PM+PN取得最大值2.‎ ‎16.(本题满分14分)‎ 如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为直角梯形且AB∥CD,∠BAD=90°,PA=AD=DC=2,AB=4.‎ ‎(1)求证:BC⊥PC;‎ ‎(2)四面体A-PBC的体积.‎ 解:(1)证明:作CE⊥AB于点E,则AE=EB=CE=2,BC=2,则AC=2,故∠ACB=90°,即AC⊥CB.又PA⊥平面ABCD,故PA⊥BC,所以BC⊥平面PAC.又PC⊂面PAC,因此BC⊥PC.‎ ‎(2)因为PA⊥平面ABC,所以VA-PBC=VP-ABC=S△ABC·PA ‎=×AC·BC·PA=××2×2×2=.‎ 故四面体A-PBC的体积为.‎ ‎17.(本小题满分14分)‎ ‎ 如图,一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度a成正比,与它的厚度d的平方成正比,与它的长度l的平方成反比.‎ ‎ (1) 将此枕木翻转90°(即宽度变为厚度),枕木的安全负荷会如何变化?为什么?(设翻转前后枕木的安全负荷分别为y1,y2,且翻转前后的比例系数相同都为k)‎ ‎(2) 现有一根横断面为半圆(已知半圆的半径为R)的木材,用它来截取成长方体形的枕木,其长度为10,问:截取枕木的厚度d为多少时,可使安全负荷y最大?‎ ‎【解答】(1) 安全负荷y1=k·(k为正常数);翻转90°后,y2=k·,‎ 因为=,所以当00),‎ y'=-,令y'=0,得a=R.‎ 当a∈时,y'>0,函数y在上为增函数;‎ 当a∈时,y'<0,函数y在上为减函数,‎ 所以当a=R时,安全负荷y最大,此时厚度d=R.‎ 答:当截取枕木的厚度为R时,可使安全负荷最大.‎ ‎18.(本小题满分16分)‎ 如图,已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),右顶点为A,且AF=1.‎ ‎ (第18题)‎ ‎(1) 求椭圆C的标准方程.‎ ‎(2) 若动直线l:y=kx+m与椭圆C有且只有一个交点P,且与直线x=4交于点Q,问:是否存在一个定点M(t,0),使得·=0?若存在,求出定点M的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎【解答】(1) 由题设得c=1,a-c=1,解得a=2,所以b=,故椭圆C的标准方程为+=1.‎ ‎(2) 联立消去y,得 ‎(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,‎ 所以Δ=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)=0,‎ 即m2=3+4k2.设P(xP,yP),‎ 则xP=-=-,‎ yP=kxP+m=-+m=,‎ 即P.‎ 因为M(t,0),Q(4,4k+m),‎ 则==(4-t,4k+m),‎ 所以·=(4-t)+(4k+m)=t2-4t+3+(t-1)=0恒成立,‎ 故即t=1,‎ 所以存在点M(1,0)符合题意.‎ ‎19.(本小题满分16分)‎ 已知函数f(x)=ex-aln x-a,其中常数a>0.‎ ‎(1) 当a=e时,求函数f(x)的极值;‎ ‎(2) 若函数y=f(x)有两个零点x1,x2(0e,再用零点的判定定理及函数的单调性证明结论.‎ ‎【解答】函数f(x)的定义域为(0,+∞).‎ ‎(1) 当a=e时,f(x)=ex-eln x-e,f'(x)=ex-.而f'(x)=ex-在(0,+∞)上单调递增,‎ 又f'(1)=0,则当01时,f'(x)>f'(1)=0,则f(x)在(1,+∞)上单调递增,‎ 所以函数f(x)有极小值f(1)=0,没有极大值.‎ ‎(2) 先证明:当f(x)≥0恒成立时,有 0,由f(x)≥0得a≤.‎ 令φ(x)=,则φ'(x)=.‎ 令g(x)=ln x+1-.‎ 由g'(x)=+>0知g(x)在上单调递增.又因为g(1)=0,所以φ'(x)在上为负,在(1,+∞)上为正,‎ 因此,φ(x)在上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以φ(x)min=φ(1)=e,从而0e,所以f(1)=e-a<0.‎ 由f(a)=ea-aln a-a(a>e)得f'(a)=ea-ln a-2,则f″(a)=ea->ea->e->0,‎ 所以f'(a)=ea-ln a-2在(e,+∞)上单调递增,所以f'(a)>f'(e)=ee-3>e2-3>0,‎ 所以f(a)=ea-aln a-a在(e,+∞)上单调递增,所以f(a)>f(e)=ee-2e>e2-2e>0,‎ 则f(1)f(a)<0,所以1e得f=-aln -a=+aln a-a>+aln e-a=>0,‎ 则f(1)f<0,所以0,b>0,所以a+b=3.‎ ‎21.C(选修4—4:坐标系与参数方程)‎ 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点,极轴与x轴的正半轴重合.曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3,直线l的参数方程为 (t为参数,t∈R).试在曲线C上求一点M,使它到直线l的距离最大.‎ ‎【解答】 曲线C的普通方程是+y2=1,直线l的普通方程是x+y-=0.设点M的直角坐标是(cosθ,sinθ),则点M到直线l的距离为 d==.因为-≤sin≤,‎ 所以当sin=-1,即θ+=2kπ-(k∈Z),即θ=2kπ-(k∈Z)时,d取得最大值,‎ 此时cosθ=-,sinθ=-.‎ 综上,点M的极坐标为时,该点到直线l的距离最大. ‎ ‎21.D(选修4—5:不等式选讲)‎ 已知实数a,b,c,d满足a>b>c>d,求证:++≥.‎ ‎【解答】因a>b>c>d,故a-b>0,b-c>0,c-d>0,‎ 故[(a-b)+(b-c)+(c-d)]≥(1+2+3)2=36,‎ 所以++≥.‎ ‎【必做题】第22题、第23题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎22.(本小题满分10分)‎ 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,∠BAC=90°,F为棱AA1上的动点,A1A=4,AB=AC=2.‎ ‎(1) 当F为A1A的中点时,求直线BC与平面BFC1所成角的正弦值;‎ ‎(2) 能否在AA1上找到一点F,使得二面角B-FC1-C的大小是60°?‎ ‎(第22题)‎ ‎22. (1) 如图,以点A为原点建立空间直角坐标系,依题意得A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A1(0,0,4),C1(0,2,4).‎ ‎(第22题)‎ 因为F为AA1中点,‎ 所以F(0,0,2),=(-2,0,2),=(-2,2,4),=(-2,2,0).‎ 设n=(x,y,z)是平面BFC1的一个法向量,‎ 则得x=-y=z,取x=1,得n=(1,-1,1).‎ 设直线BC与平面BFC1的法向量n=(1,-1,1)的夹角为θ,‎ 则cos θ===-,‎ 所以直线BC与平面BFC1所成角的正弦值为.‎ ‎(2) 设存在F(0,0,t)(0≤t≤4),=(-2,0,t),=(-2,2,4).‎ 设n=(x,y,z)是平面BFC1的一个法向量,‎ 则 取z=2,得n=(t,t-4,2).=(2,0,0)是平面CFC1的一个法向量,‎ cos===,‎ 所以t2+4t-10=0.‎ 因为方程有解,所以能在AA1上找到一点F,使得二面角B-FC1-C的大小是60°.‎ ‎23.(本小题满分10分)‎ ‎ 设函数,,且的最小值为0。‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)已知数列满足,()。设,其中表示不超过实数的最大整数。求。‎ 解:(1),。‎ 当时,,则在上单调递增,无最小值,不符合题意。‎ 当时,若,则;若,则。所以函数在上单调递减,在上单调递增。‎ 所以。‎ 设(),则。‎ 若,则;若,则。所以函数在上单调递增,在上单调递减。‎ 所以,当且仅当时,等号成立。‎ 故当时,取得最小值0。‎ ‎(2)由(1)知,,所以。由,得。从而。因为,所以。‎ 下面用数学归纳法证明:当时,。‎ ‎(1)当时,结论已成立。‎ ‎(2)假设()时,。那么,当时,有 ‎。由(1)知,在上单调递增。所以,即。‎ 因为,,所以,即。‎ 即当时,结论也成立。‎ 由(1)、(2)知,对一切整数,都有。所以,()。‎ 故。‎
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