阅读材料一起聊聊中考数学复习

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数学：一起聊聊中考数学复习 ‎ 北京教育科学院数学研究室 常言道“春种一粒粟，秋收万颗籽”．面临中考，同学们都抱有美好的希望，期待着给自己三年的初中生活画上一个圆满的句号，所以在最后的几个月里，复习时间紧、任务重，如何提高复习的效率和质量，是每位九年级的学生所关心的.我建议大家把握好以下几点：‎ 一、思想上张弛有道 中考是人生的一个转折点，同学们自己、老师、家长和社会都认为中考是严峻的考验，这时候有的学生思想高度紧张，生怕自己考不好，有很多东西掌握得还不牢，整日趴在桌子上苦学，不放过一分一秒，甚至弄得自己寝食难安；也有的学生认为有老师呢，老师讲我就听着，老师写我就记着，老师布置了任务，我保证完成，所以万事大吉，因为“跟着老师的指挥棒，没错！”；有的同学认为复习是无所谓的事，因为课本学完了，平时也练习了，复习——麻烦；也有的学生认为，自己基础差，升学没希望，干脆不学了……‎ 以上各种表现都不值得提倡，数学复习就是把学过的数学知识进行再学习，以达到深入理解、融会贯通、精炼概括、牢固掌握的目的.中考复习的内容面广，知识点多，要想在短暂的时间内全面复习三年所学的数学知识，形成系统的技能，并非易事.所以说，中考复习是中考试取得好成绩的有力保证，必须在思想上重视它.既不能麻痹大意，也不能高度紧张，心理压力太大.复习阶段正是你查漏补缺的机会，把握机会就是制胜的法宝.请相信自己的实力，每天在心里说三遍：“我能行！我一定成功！”做到 ‎（一）正确对待压力与挫折，认真对待每一次的模拟考试与成绩，树立自信心，发挥学习的最佳效能，有机会最好听听专家讲座进行心理健康辅导，解决一些心理上的问题；适当参加一些体育活动，既能健身，又能释放焦虑情绪；注意交流，学会倾诉，也是减轻心理负担的一种方法.‎ ‎（二）要避免畏惧心理，随着复习的深入，数学复习题的深度和广度也会加大，遇到不懂、不会的问题是很正常的，大家都知道“心急吃不了热豆腐”，如果一味地焦虑，往往会一无所获，长期下去会导致精神衰弱甚至崩溃的.同学们应把做错的、不懂的、不会的题目当成锻炼自己的机会，正确分析问题原因，善于发现、善于纠正、善于总结，能力才会提高. ‎ ‎（三）找准竞争对手寻找差距，制定合适的目标和切实可行的计划，相互促进，相互监督，每测一次及时总结，及时调整计划，奋力拼争.‎ ‎（四）每个环节上尽心尽力、量力而行，合理利用时间，加强锻炼，增加营养，保证睡眠.‎ ‎（五）找出自己的软肋，扬长避短，克服薄弱环节.　‎ 二、方法上科学有效 俗话说，“工欲善其事，必先利其器”，即做什么事，都要事先做好准备.一样的道理，要想取得好成绩，除了平时的努力，后期的复习至关重要.复习方法多种多样，应该根据自己的实际情况，选取科学、高效的复习方法.‎ ‎（一）重视教材，夯实基础 从近几年的中考试题来看，试卷中的大部分试题来源于课本，特别是基础题，多是课本上的原题或者是课本中的典型例题改编而来，就是综合题和压轴题，其解题思路和方法也可以在课本上找到原型.所以，复习时要仔细阅读《考试说明》，这是中考的理论指导，是中考的方向标，不但帮你归纳和梳理了教材知识点，而且对各部分的知识掌握程度都作了明确的界定.所以千万不要忽视最基本的概念、公理、定理和公式的记忆.特别是选择题、填空题，要靠准确的概念来辨析，如果概念含糊或混淆就会感觉模棱两可，造成错误判断、错误选择.因此，首先要抓住提纲读教材，提纲就是每一章的回顾与反思，这是每一章的精华，粗看加细读，抓住关键词语识记书中的概念、定理、公式、法则，并从中概括出知识的前后联系、区别，通过读、写、记、析、比等方法加深印象，通过纵向和横向的比较，在自己的头脑中形成完整系统的知识网络；然后做例题、练习和习题，自己要重新推导例题，体会每一步蕴含的数学思想（转化思想、数形结合思想、整体思想、方程思想、函数思想等）和方法（代入法、加减法、配方法、待定系数法、换元法、类比法等），规范解题步骤，把握解题技巧.数学复习离不开做题但不等于做题，‎ 一味地搞题海战术，整天埋头做大量练习题，其效果不一定就好.在做课本上的题时，要善于把教材中的例题或习题进行引申、变形或综合，把解题方法进行归纳和整理，做到举一反三. 尤其课后的读一读，想一想，有些中考题就在此基础上延伸、拓展的，倘若平时常把课本习题改编，并注重信息的收集和新题型的探索，你就会成为半个命题专家，考场上的高手了.‎ 例如，苏科版九年级数学教材有一个这样的习题：‎ A O C B E F P N M 如图，∠AOB＝900，将三角尺的直角顶点落在∠AOB的平分线OC的任意一点P上，使三角尺的两条直角边与∠AOB的两边分别相交于点E、F，试证明：PE＝PF.‎ 析解：过P点作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为M、N.‎ ‎∵OC平分∠AOB，∴PM＝PN.‎ ‎∵∠AOB＝∠PMO＝∠PNO＝90º，∴∠MPN＝900.‎ ‎∵∠EPF＝900，‎ ‎∴∠MPN＝∠EPF.‎ ‎∴∠MPE＝∠NPF.又∠PME＝∠PNF，∴△MPE≌△NPF，∴PE＝PF.‎ 点评：利用角平分线的性质定理，构造全等三角形进行证明.‎ ‎　　以此题为背景，将其改编得到如下题目：‎ 已知∠AOB＝90°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA、OB（或它们的反向延长线）相交于点D、E．‎ 当三角板绕点C旋转到CD到OA垂直时（如图1），易证：OD＋OE＝OC．‎ 当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段OD、OE、OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．‎ 解析：图2结论：OD＋OE＝OC，证明：过C分别作OA，OB的垂线，垂足分别为P，Q，证△CPD≌△CQE，DP＝EQ，OP＝OD＋DP，OQ＝OE－EQ，又OP＋OQ＝OC，即OD＋DP＋OE－EQ＝OC，∴OD＋DE＝OC．图3结论：OE－OD＝OC 这便是2006年黑龙江省鸡西市的一道中考题，以探究的形式出现，先探究特殊情形图（1），不需证明，然后探究两种一般情形图（2）、图（3），其中图（2）是对课本习题进行了再挖掘和加工，源于课本，但高于课本.‎ 再看2007年临沂市的中考题，又将其拓展得到 如图1，已知△ABC中，AB=AC=1，∠ABC=90º，，把一块含30º角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上（直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF，将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转．‎ ‎（1）在图1中，DE交AB于M，DF交BC于N．‎ ‎①证明DM=DN；‎ ‎②在这一旋转过程中，直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；‎ ‎（2）继续旋转至如图2的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM=DN是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；‎ 图3‎ ‎（3）继续旋转至如图3的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB于M，DM=DN是否仍然成立？请写出结论，不用证明．‎ 图2‎ 图1‎ 继续延伸，改成如下操作，‎ 在△ABC中，AC＝AB，∠C＝90°，将一块三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC，射线CB于D，E两点，图①、②、③是旋转三角板得到的图形中的其中三种．‎ 探究：（1）三角板绕P点旋转，观察线段PD与PE之间有什么大小关系？它们的关系为_________，并以图②为例，加以证明．‎ ‎（2）三角板绕P点旋转，△PBE能否成为等腰三角形，若能指出所有的情况（即求出△PBE为等腰三角形时的CE的长）；若不能，说明理由．‎ ‎（3）若将三角板直角顶点，放在斜边AB的M处，且AM：MB＝1：3和前面一样操作，试问线段MD和ME之间又有什么关系？直接写出结论，不必证明．（图④供操作，实验用）结论为__________________．‎ 一个简单的操作，就可以提出这么多具有挑战性的问题，你不得不惊叹数学的无限空间.‎ ‎（二）立足课堂 课堂上，老师一般是一边展示系统的知识结构，一边领大家挖掘课本中典型例题的演变、引申和拓展过程，思路清晰，目的是使大家弄清一类题或一中图形的变化规律，找到解决一类问题的方法，从而达到举一反三的效果.同学们要做好信息处理和分析，把握好课堂复习和自我复习的关系，如果把老师的课当成枯燥的独角戏，而是自我陶醉于闭门造车的小圈子里，效率一定不高甚至会出现南辕北辙的结果.自觉复习的习惯固然应该提倡，但首先要立足课堂、跟住老师，结合自己已有的知识结构，进行对比，才能有针对性的查缺补漏.老师一般拿历年的中考题当作例题讲解，目的是在复习中要规范训练学生的思维和写作步骤，严格按照中考要求答题.你千万不要当作过眼云烟，而是要对比自己的思维过程，纠正答题过程中的不良习惯.课堂上的循环复习，反复强化，就好像日常“煎豆腐”，需要多翻几次才能热透，否则会冷热不匀.学习也是一样，熟能生巧，就需要多次反复而不是重复，自己的 “练”加上老师的“点”，才能提高数学解题能力.另外，上课不能只听老师讲，还要敢于提出疑问，积极提出自己新颖独到的思考方法和策略，与师生共享，既能体会成功的喜悦，又培养了创新能力.‎ ‎（三）做到“五勤”‎ ‎1.勤观察 数学来源于生活，应用于生活.复习时要多留意生活中的数学，用我们学过的知识去解决它，这叫学以致用.再从中挖掘问题，体会数学与生活的联系.‎ ‎2.勤动手 轴对称、中心对称、平移和旋转等图形的变换，图形的展开与折叠，利用勾股定理、全等三角形、相似三角形、锐角三角函数等知识设计方案等问题，就需要我们画一画，剪一剪，折一折，只有通过动手做一做，才能感受图形之间的关系，从而直观地呈现其中的规律；如解方程（组）、不等式（组）、分式的运算、实数的运算等需要动手算一算，才知道正确的结果；平面直角坐标系和概率必须动手操作、实验才能体会数与形的关系.‎ ‎3.勤动脑 学习不能只停留在看和做上，还要多思考，多想像，看应用了哪些知识，还可以用哪些方法来解答，哪种方法最简单，日常生活中有哪些应用.‎ ‎4.勤动口 在各章、各专项的复习中，还要重视交流，通过和老师、同学的交流、合作进行归纳、总结，才能做到不放过一个疑点，不遗漏一个重点，不忽视一个考点，从而使我们不断地有新认识和提高.‎ ‎5.勤总结 通过复习，使学过的知识系统、条理，那就得总结，使知识成线成网，尤其要总结规律，总结思想方法，如类比思想（一元一次方程与一元一次不等式进行类比，分数与分数进行类比），平面直角坐标系和勾股定理中的数形结合思想，等等.在复习时必须深钻教材，对于基础知识，掌握它们之间的联系，要做到理清知识结构，并能综合运用. ‎ 三、习题上精挑细选 复习阶段，对于数学来说，做练习的时候比较多，面对一套一套的习题，有的同学无可奈何，有的同学唉声叹气，有的同学感到无从下手，与其这样，还不如换个角度试试.如选适合自己的题来做,当然要有点难度，因为“跳一跳，够得到”的攻克中，你才能体会到成功的喜悦，同时能提高自己的能力.‎ ‎（一）首先，大家要正确对待数学练习.通过练习你会体会到：“听不如看，看不如做，做不如讲，讲不如议”.所以复习过程中，除了听老师讲，看老师示范或同学板演以外，还要大胆地把自己的体会、看法讲出来与大家分享，有疑问或发现错误及时提出与同学、老师讨论，展示自己的思维过程，从而达到深化理解、发展能力的目的.‎ ‎（二）练习中切忌贪多、求难，搞题海战术，题量上应做到少而精，训练时既要有灵活的基础题如选择、填空，又要有一定的综合题；内容结构上要注意专题与模拟相结合，模拟训练注意把握答题的时间、节奏、速度和正确率；题型上要抓住重点，瞄准热点，近几年的中考，三角形的全等与相似、图形的变换、方程（组）、不等式（组）和函数等一直都是中考的重点. “开放题”、“探索题”、“学科整合题”、“阅读理解题”、“方案设计题”、“动手操作题”等问题也是近几年中考的热点题型，形式活泼，背景复杂，文字冗长，就需要同学们耐心阅读文章、准确提炼信息、细心分析和处理，大胆运用并决策，提高数学素养.‎ ‎（三）要注意方法和技巧，要认真对待每一个题目.填空题和选择题虽小，但那是基础，不可粗心大意；对待大题目就把它拆开，把一个大题分解成几个小题，从而把复杂的问题简单化，把每一部分想清楚了，找出解答的规律，加以总结就是一次飞跃，即是化归思想的运用.有了拆装的能力，很多问题便可迎刃而解.注重自己思维的广阔性，对于同一题目，寻求不同的解题途径与变通思维方式，做到一题多解，这样才有利于打破思维定势，开拓思路，优化解题方法.‎ ‎（四）制定合适的计划并严格执行.算笔时间帐，每天一个计划，并保证完成.做到今日事今日毕，养成良好的学习习惯.‎ ‎（五）及时归纳，查漏补缺，有始有终.同学们要认真分析自己在平时各类问题上容易出现错误的原因，如：审题不认真、基础知识不牢固、解题方法不灵活、计算失误、以及习惯性错误（书写不规范、不良习惯）等，并根据自己的情况制定避免错误的措施.对所做的每一道题，我们都应把与它相关的知识和数学思想方法都联系起来，做到以点带面，切忌就题说题，这样知识之间的联系就会更清晰，知识网络更完善．数学考试成绩往往会因为某些薄弱环节而受严重影响，所以消除某个薄弱环节比做重复练习更重要. 建议大家在平时的做题中要及时记录错题，建立错题档案，经常进行“会诊”，尤其是模拟试卷要进行认真的分析，分类对比，查找原因，改正错误，可以将试卷进行重新剪贴，从中发现自己复习中存在的共性问题和倾向性问题，对其中那些反复出错的问题可以考虑再做一遍，通过不断强化记忆和训练，纠正错误思维，使自己的数学习成绩达到新的飞跃.‎