江西省南昌市第二中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

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江西省南昌市第二中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

www.ks5u.com 南昌二中2019—2020学年度上学期期中考试高一数学试卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设全集,集合,,则( ).‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎ 由,,∴,∴,故选.‎ ‎2.下列角终边位于第二象限的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 终边位于第一象限,终边位于第二象限,选B.‎ ‎3.下列各组函数中,表示同一函数的是( )‎ A. , B. ,‎ C. , D. ,‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 若两个函数是同一个函数,则函数的定义域以及函数的对应关系都得相同,故只要逐一判断每个选项中定义域和对应关系是否都相同即可.‎ ‎【详解】对于A选项,f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为{x|x≠0},∴不是同一函数 对于B选项,由于f(x)的定义域为R,定义域为{x|x≠-1},∴不是同一函数;‎ 对于C选项,f(x)和 g(x)的定义域均为R,对应关系相同,∴是同一函数 对于D选项,f(x)的定义域为R,g(x)的定义域均为[0,+∞)∴不是同一函数 故选:C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数三要素的判断,只有三要素都相同,两函数才为同一函数,属基础题.‎ ‎4.下列函数在其定义域内既是奇函数,又是减函数的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数的奇偶性和单调性的判断方法,分别对选项加以判断,即可得到在其定义域内,既是奇函数又是减函数的函数.‎ ‎【详解】对于A.函数是奇函数,但在(﹣∞,0),(0,+∞)均为减函数,故A错;‎ 对于B.函数定义域为(0,+∞),是非奇非偶函数,故B错;‎ 对于C.定义域为R,且有f(﹣x)=﹣f(x),为奇函数,且f′(x)=﹣3x2≤0,即f(x)为减函数,故C对;‎ 对于D.定义域为R,但f(0)=-1≠0,故不是奇函数,故D错.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断,注意运用定义加以判断,同时注意函数的定义域,属于基础题和易错题.‎ ‎5.终边在直线上的角的集合为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出终边在上的度数,即可得到结论.‎ ‎【详解】在[0,2π]内终边在直线上的角为和,‎ 则终边在直线y=x上的角的集合为{α|α=2kπ或2kπ},k∈Z,‎ 即{α|α=kπ,k∈Z},‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题主要考查终边相同角的表示,熟记特殊角是关键,比较基础.‎ ‎6.已知函数(且)的图象恒过定点,点在幂函数的图象上,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令对数的真数等于0,求得x、y的值,可得图象经过的定点坐标.再根据在幂函数y=f(x)的图象上,求出函数f(x)的解析式,从而求出的值.‎ ‎【详解】∵已知a>0且a≠1,对于函数,令x﹣1=1,求得x=2,y,‎ 可得它的图象恒过定点P(2,4),‎ ‎∵点P在幂函数y=f(x)=xn 的图象上,∴2n,∴n,∴f(x)‎ 则f(2),故 故选:B.‎ ‎【点睛】本题主要考查对数函数的图象经过定点问题,求函数值,属于基础题.‎ ‎7.已知函数是定义在的偶函数,则( )‎ A. 5 B. C. 0 D. 2019‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数f(x)=ax2+bx+a﹣2b是定义在[a﹣3,2a]上的偶函数,即可求出a,b,从而得出f(x)的解析式,进而求出f(a)+f(b)的值.‎ ‎【详解】∵f(x)=ax2+bx+a﹣2b是定义在[a﹣3,2a]上的偶函数;‎ ‎∴;‎ ‎∴a=1,b=0;‎ ‎∴f(x)=x2+2;‎ ‎∴f(a)+f(b)=f(1)+f(0)=3+2=5.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查偶函数的定义,偶函数定义域的对称性,已知函数求值的方法.‎ ‎8.函数图象大致为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分析函数的奇偶性和图像变化趋势,利用排除法可得答案.‎ ‎【详解】函数f(x)=满足f(﹣x)=f(x),即函数为偶函数,图象关于原点对称,故排除A,B;‎ 当 ,故排除C,‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是函数的图象,函数的奇偶性和函数的零点,难度中档.‎ ‎9.已知,则(  )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 因为,所以;‎ 因为,,所以,‎ 所以.选C.‎ ‎10.已知函数在区间上单调递减,则实数的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意根据复合函数的单调性,结合对数函数的性质,可得t=x2﹣ax+4a>0区间[2,+∞)上恒成立,且是增函数,故有,由此解得a的范围.‎ ‎【详解】∵函数在区间[2,+∞)上是减函数,又是减函数,‎ ‎∴t=x2﹣ax+4a>0区间[2,+∞)上恒成立,且是增函数,‎ ‎∴,解得﹣2<a≤4,‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题主要考查复合函数的单调性,二次函数、对数函数的性质,属于中档题.‎ ‎11.若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过,则可以是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意判断的零点在(,)上;再由各个函数的零点可知答案.‎ ‎【详解】g()=2﹣>0,g()<0;‎ 且连续且单增,‎ 故的零点在(,)上;‎ f(x)=ex﹣1的零点为0,f(x)=(x﹣1)2的零点为1; f(x)=ln(x)的零点为;都不合题意,‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的零点的应用,准确判断零点所在区间是关键,属于基础题.‎ ‎12.设函数,则下列命题中正确的个数是( )‎ ‎①当时,函数在上有最小值;②当时,函数在是单调增函数;③若,则;④方程可能有三个实数根.‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①当b>0时,把函数f(x)=|x|x-bx+c分x≥0和x<0两种情况讨论,转化为二次函数判单调性,求最值即可;‎ ‎②当b<0时,判断f(x)在和是单调增函数加以判断;‎ ‎③推导f(x)+ f(-x)=2c即可求解;‎ ‎④对b,c取特值求方程f(x)=0有三个实数根,故可判断.‎ ‎【详解】①当b>0时,f(x)=|x|x-bx+c,知函数f(x)在上是单调减函数,在, 上是单调增函数,故函数在 上无最小值;故①错误;‎ ‎②当b<0时,由①知函数f(x)在和是单调增函数,且函数在处连续,则在是单调增函数;故②正确;‎ ‎③f(x)+ f(-x)=2c,故若,则;故③正确 ‎④令b=3,c=2,则f(x)=|x|x﹣3x+2=0,解得x=1,2, .故④正确.‎ 故正确的为②③④.‎ 故选:C ‎【点睛】此题考查了分段函数的单调性、对称性和最值问题,对于含有绝对值的一类问题,通常采取去绝对值的方法解决,体现了分类讨论的数学思想;函数的对称性问题一般转化为函数的奇偶性加以分析,再根据函数图象的平移解决,体现了转化、运动的数学思想;对于存在性的命题研究,一般通过特殊值法来解决.是好题,属中档题.‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.已知扇形的圆心角为,扇形的周长为,则扇形的面积为_____.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设扇形的半径为r,弧长为l,根据扇形周长和弧长公式列式,解之得r=2,l=4,再由扇形面积公式可得扇形的面积S.‎ ‎【详解】设扇形的半径为r,弧长为l,‎ 则解得r=2,l=4‎ 由扇形面积公式可得扇形面积Slr2×4=4‎ 故答案为:4‎ ‎【点睛】本题给出扇形的周长和圆心角的大小,求扇形的面积,着重考查了扇形的面积公式和弧长公式等知识,属于基础题.‎ ‎14.函数的零点个数为______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别画出两函数图像即可求解 ‎【详解】的零点个数即的交点个数;‎ 在同一个坐标系画出两函数图像得:‎ 故有两个交点,即的零点个数为2‎ 故答案为:2‎ ‎【点睛】本题考查指数与对数函数的图像,考查方程与函数零点问题,考查数形结合思想,是中档题 ‎15.函数的值域为,则实数的取值范围是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数f(x)=log2(x2﹣ax+2a)的值域为R,可得t=x2﹣ax+2a能够取到大于0的所有数,再由判别式≥0求得a的取值范围.‎ ‎【详解】∵函数f(x)=log2(x2﹣ax+2a)的值域为R,‎ ‎∴t=x2﹣ax+2a能够取到大于0的所有数,‎ 则△=(﹣a)2﹣8a≥0,解得a≤0或a≥8,‎ ‎∴实数a的取值范围是(﹣∞,0]∪[8,+∞).‎ 故答案为:(﹣∞,0]∪[8,+∞).‎ 点睛】本题考查函数的值域,考查数学转化思想方法,是中档题.‎ ‎16.函数是定义域为的偶函数,当时,,若关于的方程,,有且仅有5个不同实数根,则实数a的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 做出f(x)的函数图象,令f(x)=t,根据图象得出方程f(x)=t的解的情况,得出t的范围,从而得出a的范围.‎ ‎【详解】作出f(x)的函数图象如图所示:‎ 令f(x)=t,显然,当t=0时,方程f(x)=t有三个解,‎ 当0<t时,方程f(x)=t有四个解,‎ 当t或-1<t<0时,方程f(x)=t有两解,‎ 当t≤-1或t时,方程f(x)=t无解.‎ ‎∵关于x的方程[f(x)]2+af(x)+b=0,a,b∈R有且仅有5个不同实数根,‎ ‎∴关于t的方程t2+at+b=0,t∈R有两解,且一解为t1=0,另一解或t1=0,另一解-1<<0,‎ ‎∴b=0,‎ ‎∵t2+at=0的两解分别为t1=0,t2=﹣a,‎ ‎∴,或 -a<0.解得或a<1‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查了函数零点的个数与函数图象的关系,考查偶函数的性质,注意分类讨论的合理运用,属于中档题.‎ 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎17.计算:(1);‎ ‎(2).‎ ‎【答案】(1);(2)2.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用分数指数幂运算及根式求解即可 ‎(2)利用对数运算求解 ‎【详解】(1)原式;‎ ‎(2)原式.‎ ‎【点睛】本题考查指数幂及对数运算,是基础题 ‎18.已知函数,其中均为实数.‎ ‎(1)若函数的图象经过点,求函数的值域;‎ ‎(2)如果函数的定义域和值域都是,求的值.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题意先求得a、b的值,可得函数的解析式,利用指数函数的性质求得函数的值域.‎ ‎(2)根据函数f(x)的定义域和值域都是[﹣1,0],求得a、b的值,可得a+b的值.‎ ‎【详解】(1)函数的图象经过点 所以,‎ 所以,‎ 因为,即,所以 故的值域为;‎ ‎(2)当a>1时,函数f(x)=ax+b在[-1,0]上为增函数,由题意得,无解.‎ 当0
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