全国2卷高考文科数学试题及答案解析

全国2卷高考文科数学试题及答案解析

‎2016年普通高等学校招生全统一考试 文科数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共24题，共150分 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ （1） 已知集合，，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ （2） 设复数满足，则 ‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ （3） 函数的部分图像如图所示，则 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ （4） 体积为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ （5） 设为抛物线：的焦点，曲线与交于点，轴，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ （6） 圆的圆心到直线的距离为，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ （7） 右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 ‎（A）20π ‎（B）24π ‎ ‎（C）28π ‎ ‎（D）32π 否 是 输入 输出 开始 结束 输入 （1） 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ （2） 中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的，,依次输入的为2，2，5，则输出的 ‎（A）7 （B）12 （C）17 （D）34‎ （3） 下列函数中，其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ （4） 函数的最大值为 ‎（A）4 （B）5 （C）6 （D）7‎ （5） 已知函数满足，若函数与图像的交点为，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)～(21)题为必考题，每个试题都必须作答。第(22)～(24)题为选考题，考生根据要求作答。‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分。‎ （6） 已知向量a，b，且a∥b，则 ．‎ （1） 若满足约束条件则的最小值为 ． ‎ （2） 的内角的对边分别为，若，则 ．‎ （3） 有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 ．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ （4） ‎（本小题满分12分）‎ 等差数列中，且，．‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）记，求数列的前10项和，其中表示不超过的最大整数，如，．‎ （5） ‎（本小题满分12分）‎ 某险种的基本保费为（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：‎ 上年度出险次数 保 费 随机调查了设该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：‎ 出险次数 概 数 ‎（Ⅰ）记为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求的估计值；‎ ‎（Ⅱ）记为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求的估计值；‎ ‎（Ⅲ）求续保人本年度平均保费的估计值．‎ （1） ‎（本小题满分12分）‎ 如图，菱形的对角线与交于点，点分别在上，，交于点.将沿折到的位置.‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）若，，，，求五棱锥的体积．‎ （2） ‎（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若当时，，求的取值范围．‎ （3） ‎（本小题满分12分）‎ 已知是椭圆：的左顶点，斜率为的直线交于两点，点在上，.‎ ‎（Ⅰ）当时，求的面积；‎ ‎（Ⅱ）当时，证明：.‎ 请考生在第（22）～（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。‎ （1） ‎（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，在正方形中，分别在边上（不与端点重合），且,过点作,垂足为.‎ ‎（Ⅰ）证明：四点共圆；‎ ‎（Ⅱ）若，为的中点，求四边形的面积.‎ （2） ‎（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，圆的方程为.‎ ‎（Ⅰ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）直线的参数方程是（为参数），与交于两点，，求的斜率.‎ （3） ‎（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数，为不等式的解集.‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）证明：当时，.‎ ‎2016年全国卷Ⅱ高考数学（文科）答案 一. 选择题 ‎（1）D （2）C （3） A （ 4） A （5） D （ 6） A ‎（7） C （8） B （9） C （10） D （11） B （12） B 二．填空题 ‎(13) (14) （15） （16）1和3‎ 三、解答题 ‎（17）(本小题满分12分)‎ ‎ (Ⅰ)设数列的公差为d，由题意有，解得，‎ 所以的通项公式为.‎ ‎（Ⅱ）由(Ⅰ)知，‎ 当n=1,2,3时，；‎ 当n=4,5时，；‎ 当n=6,7,8时，；‎ 当n=9,10时，，‎ 所以数列的前10项和为.‎ ‎（18）(本小题满分12分)‎ ‎ (Ⅰ)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内险次数小于2的频率为，‎ 故P(A)的估计值为0.55.‎ ‎（Ⅱ）事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由是给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为，‎ 故P(B)的估计值为0.3.‎ ‎(Ⅲ)由题所求分布列为：‎ 保费 ‎0.85a a ‎1.25a ‎1.5a ‎1.75a ‎2a 频率 ‎0.30‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ 调查200名续保人的平均保费为 ‎，‎ 因此，续保人本年度平均保费估计值为1.1925a.‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ ‎（I）由已知得，‎ 又由得，故 由此得，所以.‎ ‎（II）由得 由得 所以 于是故 由（I）知，又，‎ 所以平面于是 又由，所以，平面 又由得 五边形的面积 所以五棱锥体积 ‎（20）（本小题满分12分）‎ ‎（I）的定义域为.当时，‎ ‎，曲线在处的切线方程为 ‎（II）当时，等价于 令，则 ‎，‎ ‎（i）当，时，，故在上单调递增，因此；‎ ‎（ii）当时，令得 ‎，‎ 由和得，故当时，，在单调递减，因此.‎ 综上，的取值范围是 ‎（21）（本小题满分12分）‎ ‎（Ⅰ）设，则由题意知.‎ 由已知及椭圆的对称性知，直线的倾斜角为，‎ 又，因此直线的方程为.‎ 将代入得，‎ 解得或，所以.‎ 因此的面积.‎ ‎（II）将直线的方程代入得 ‎.‎ 由得，故.‎ 由题设，直线的方程为，故同理可得.‎ 由得，即.‎ 设，则是的零点，，‎ 所以在单调递增，又，‎ 因此在有唯一的零点，且零点在内，所以.‎ ‎（22）（本小题满分10分）‎ ‎（I）因为,所以 则有 所以由此可得 由此所以四点共圆.‎ ‎（II）由四点共圆，知，连结，‎ 由为斜边的中点，知,故 因此四边形的面积是面积的2倍，即 ‎（23）（本小题满分10分）‎ ‎（I）由可得的极坐标方程 ‎（II）在（I）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为 由所对应的极径分别为将的极坐标方程代入的极坐标方程得 于是 由得，‎ 所以的斜率为或.‎ ‎（24）（本小题满分10分）‎ ‎（I）先去掉绝对值，再分，和三种情况解不等式，即可得；（II）采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当，时，．‎ 试题解析：（I）‎ 当时，由得解得；‎ 当时，；‎ 当时，由得解得.‎ 所以的解集.‎ ‎（II）由（I）知，当时，，从而 ‎，‎ 因此