北京市丰台区2019-2020学年高一上学期期中考试数学（A卷）试题 含解析

北京市丰台区2019-2020学年高一上学期期中考试数学（A卷）试题 含解析

丰台区2019-2020学年度第一学期期中考试联考 高一数学（A卷）‎ 一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。‎ ‎1.已知集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用交集运算即可得到结果．‎ ‎【详解】∵集合，‎ ‎∴‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查交集概念及运算，属于基础题．‎ ‎2.若，且，则下列不等式一定成立的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式的性质及特值法可得答案．‎ ‎【详解】对于A，∵，∴，正确；‎ 对于B，当时，显然不成立，错误；‎ 对于C，当时，显然不成立，错误；‎ 对于D，当时，显然不成立，错误．‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎3.下列函数中，与函数y=x表示同一函数的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别判断函数的定义域和对应法则是否和y＝x一致即可．‎ ‎【详解】解：A．函数y＝（）2＝x的定义域为{x|x≥0}，和y＝x定义域不相同，不是同一函数．‎ B．函数y＝（）3＝x的定义域为R，和y＝x的定义域相同，对应法则相同，是同一函数．‎ C．函数y的定义域为R，和y＝x的定义域相同，对应法则不相同，不是同一函数．‎ D．函数yx的定义域{x|x≠0}，和y＝x的定义域不相同，对应法则相同，不是同一函数．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的标准就是判断两个函数的定义域和对应法则是否相同．‎ ‎4.下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（ ）‎ A. B. C. y＝﹣x3 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的单调性和奇偶性，对各个选项中的函数逐一做出判断，从而得出结论．‎ ‎【详解】解：由于函数y＝x+1是非奇非偶函数，故排除A；‎ 由于y在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上不具有单调性，故排除B；‎ 由于y＝﹣x3是奇函数，且在R上是减函数，故排除C；‎ A，B，C都不对，‎ 对于D，y，数形结合可知函数在R递增且为奇函数；‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性，熟练掌握常见函数的图像与性质是解题的关键，属于基础题．‎ ‎5.命题“，使得x2＋2x<‎0”‎的否定是（ ）‎ A. 使得 B. 使得 C. 都有 D. 都有 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．‎ ‎【详解】解：因为特称命题的否定是全称命题，‎ 所以，命题“∃x∈R，x2+2x＜‎0”‎的否定是：∀x∈R，使x2+2x≥0．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．属于基础题．‎ ‎6.“”是“”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．‎ ‎【详解】‎ ‎∴“”是“”的充分必要条件．‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键．‎ ‎7.函数定义域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接由根式内部的代数式大于等于0，然后求解指数不等式得答案．‎ ‎【详解】解：由，可得，‎ ‎∴ ‎ 即函数的定义域为.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了指数不等式的解法，是基础题．‎ ‎8.如图，A,B,C是函数的图象上的三点，其中A，B，C，则的值为（ ）‎ A. 0 B. ‎1 ‎C. 2 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据所给函数y＝f（x）的图象上的点B，C的坐标即可求出f[f（3）]＝1．‎ ‎【详解】解：根据图像可知，f（3）＝2，f（2）＝1，‎ ‎∴f[f（3）]＝f（2）＝1．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查函数图象上的点的坐标和函数解析式的关系，属于基础题．‎ ‎9.设是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是（ ）‎ A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由对x＞0或x＜0进行讨论，把不等式转化为f（x）＞0或f（x）＜0的问题解决，根据f（x）是奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（﹣2）＝0，把函数值不等式转化为自变量不等式，求得结果．‎ ‎【详解】解：∵f（x）是R上的奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，‎ ‎∴在（﹣∞，0）内f（x）也是增函数，‎ 又∵f（﹣2）＝0，‎ ‎∴f（2）＝0，‎ ‎∴当x∈（﹣∞，﹣2）∪（0，2）时，f（x）＜0；‎ 当x∈（﹣2，0）∪（2，+∞）时，f（x）＞0；‎ ‎∴的解集是{x|﹣2＜x＜0或0＜x＜2}．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性解不等式，体现了分类讨论的思想方法，属基础题．‎ ‎10.某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：）满足函数关系 （k，m为常数）.若该食品在0的保鲜时间是64小时，在18的保鲜时间是16小时，则该食品在36的保鲜时间是（ ）‎ A. 4小时 B. 8小时 C. 16小时 D. 32小时 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析】‎ 由该食品在‎0℃‎的保鲜时间是64小时，在‎18℃‎的保鲜时间是16小时，列出方程组，求出e9k，由此能出该食品在36的保鲜时间．‎ ‎【详解】解：某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：℃）满足函数关系（k，m为常数），‎ 该食品在‎0℃‎的保鲜时间是64小时，在‎18℃‎的保鲜时间是16小时，‎ ‎∴，解得e9k，‎ ‎∴该食品在‎36℃‎的保鲜时间：y＝e36k+m＝（e9k）4×＝（）4×64＝4（小时）．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查该食品在36的保鲜时间的求法，考查待定系数法等基础知识，运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．‎ 二、填空题：共6小题，每小题4分，共24分。‎ ‎11.已知幂函数的图象过（4，2）点，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先设出幂函数的解析式，由于过定点，从而可解得函数的解析式，故而获得问题的解答．‎ ‎【详解】由题意可设f（x）=xα，又函数图象过定点（4，2），∴4α=2，∴，从而可知 ‎，‎ ‎∴．‎ 故答案：．‎ ‎【点睛】题考查的是幂函数的图象与性质以及求解析式问题．在解答的过程当中充分体现了幂函数的定义、性质知识的应用，同时考查了待定系数法．‎ ‎12.已知函数的图象如图所示，则该函数的值域为____. ‎ ‎【答案】[﹣4，3]‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数图象便可看出f（x）的值域．‎ ‎【详解】解：根据y＝f（x）的函数图象可看出，f（x）的值域为[﹣4，3]．‎ 故答案为：[﹣4，3]．‎ ‎【点睛】本题考查了函数值域的定义及求法，根据函数图象求函数值域的方法，考查了识图能力，属于基础题．‎ ‎13.已知，若，则x的值为____.‎ ‎【答案】1或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分段函数的解析式，结合，即可求得x的值．‎ ‎【详解】解：由题意可得或 ‎∴x＝﹣1或x＝1‎ 故答案为：﹣1或1‎ ‎【点睛】本题考查分段函数，解题的关键是正确理解分段函数的意义，正确列出等式．‎ ‎14.已知，则的最大值为____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由基本不等式xy即可求解 ‎【详解】解：∵x，y均为正实数，x+y＝3，‎ 则xy，‎ 则x＝y＝时，xy的最大值是．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，解题的关键是应用条件的配凑．‎ ‎15.计算：=____.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指数幂的运算性质即可得出．‎ ‎【详解】解：（1）原式＝1‎ ‎＝1‎ ‎＝1‎ ‎＝1‎ ‎＝1．‎ 故答案为：1．‎ ‎【点睛】本题考查了指数幂的运算性质与运算律，属于基础题．‎ ‎16.某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品总金额不超过600元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过600元，则超过600元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算.‎ 某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元，则他实际所付金额为____元．‎ ‎【答案】1120‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 明确折扣金额y元与购物总金额x元之间的解析式，结合y＝30＞25，代入可得某人在此商场购物总金额, 减去折扣可得答案．‎ ‎【详解】由题可知：折扣金额y元与购物总金额x元之间的解析式，‎ y ‎∵y＝30＞25‎ ‎∴x＞1100‎ ‎∴0.1（x﹣1100）+25＝30‎ 解得，x＝1150，‎ ‎1150﹣30＝1120，‎ 故此人购物实际所付金额为1120元．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是分段函数，正确理解题意，进而得到满足条件的分段函数解析式是解答的关键．‎ 三、解答题：共4小题，共36分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。‎ ‎17.已知集合，.求：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎【答案】（1）；（2）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用交并补运算直接可得结果.‎ ‎【详解】（1） ‎ ‎（2） 或 ‎ 或 ‎【点睛】本题主要考查集合的基本运算，结合补集，交集，并集的定义是解决本题的关键．比较基础．‎ ‎18.已知二次函数().‎ ‎（1）若为偶函数，求的值；‎ ‎（2）若解集为，求a,b的值; ‎ ‎（3）若在区间上单调递增，求a的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2），；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用偶函数的定义解得a；‎ ‎（2）根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，求得a、b的值；‎ ‎（3）二次函数的单调性与对称轴相关，从而求得a的取值范围．‎ ‎【详解】解：（1）∵f（x）为偶函数，∴f（﹣x）＝f（x）．‎ 即（﹣x）2﹣a（﹣x）﹣3＝x2﹣ax﹣3，‎ ‎∴2ax＝0‎ 从而解得a＝0．‎ ‎（2）∵f（x）＜0的解集为{x|﹣3＜x＜b}‎ ‎∴﹣3和b是方程x2﹣ax﹣3＝0的两根，‎ ‎∴由根与系数关系得：﹣3+b＝a，﹣3×b＝﹣3；‎ ‎∴a＝﹣2，b＝1．‎ ‎（3）∵f（x）的对称轴为x且f（x）在区间[﹣2，+∞）上单调递增，‎ ‎∴；‎ ‎∴a≤﹣4．‎ ‎【点睛】本题属于基础题，涉及知识点是函数性质之奇偶性、一元二次不等式的解题、函数的单调性，在解题时要注意二次函数、一元二次不等式、一元二次方程三者之间的关系．‎ ‎19.由历年市场行情知，从‎11月1日起的30天内，某商品每件的销售价格(元)与时间(天)的函数关系是，日销售量(件)与时间(天)的函数关系是.‎ ‎（1）设该商品的日销售额为y元，请写出y与t的函数关系式；（商品的日销售额=该商品每件的销售价格×日销售量）‎ ‎（2）求该商品的日销售额的最大值，并指出哪一天的销售额最大？‎ ‎【答案】（1）；（2）日销售金额的最大值为900元，‎11月10日日销售金额最大 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由日销售金额＝每件的销售价格×日销售量可得;‎ ‎(2)利用二次函数的图像与性质可得结果.‎ ‎【详解】（1）设日销售额为元，则，‎ 所以．‎ 即： ‎ ‎（2）．‎ 当时，，； ‎ 当时，，．‎ 故所求日销售金额的最大值为元，‎11月10日日销售金额最大.‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用数学知识解决实际问题的能力，解题的关键是要把实际问题转化为数学问题，利用数学中二次函数的知识进行求解函数的最值.‎ ‎20.设函数（l是常数）.‎ ‎（1）证明：是奇函数；‎ ‎（2）当时，证明：在区间上单调递增；‎ ‎（3）若，使得，求实数m的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）可看出f（x）的定义域为{x|x≠0}，并容易求出f（﹣x）＝﹣f（x），从而得出f（x）是奇函数；‎ ‎（2）λ＝1时，，根据增函数的定义：设任意的x1＞x2＞1，然后作差，通分，提取公因式，说明f（x1）＞f（x2）即可得出f（x）在（1，+∞）上单调递增；‎ ‎（3）可设，根据题意可知，m≥g（x）min，x∈[1，2]，可设2x＝t（2≤t≤4），得出，根据上面知y在[2，4]上单调递增，从而可求出g（x）在[1，2]上的最小值，即得出m的范围．‎ ‎【详解】解：（1）定义域为{x|x≠0}，且f（﹣x），‎ ‎∴f（x）是奇函数；‎ ‎（2）证明：λ＝1时，，‎ 设x1＞x2＞1，则：，‎ ‎∵x1＞x2＞1，‎ ‎∴x1﹣x2＞0，x1x2﹣1＞0，x1x2＞0，‎ ‎∴，‎ ‎∴f（x1）＞f（x2），‎ ‎∴f（x）在区间（1，+∞）上单调递增；‎ ‎（3）设，‎ ‎∃x∈[1，2]，使得等价于m≥g（x）min，x∈[1，2]，‎ 设2x＝t（2≤t≤4），则，由（2）可知，在[2，4]上单调递增，‎ ‎∴当t＝2，即x＝1时，y取得最小值为，‎ ‎∴，‎ ‎∴实数m的取值范围为．‎ ‎【点睛】本题考查了奇函数的定义，增函数的定义，奇函数和增函数的证明过程，考查了推理能力和计算能力，属于基础题．‎