【数学】2019届一轮复习人教A版（文）不等关系与不等式学案

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文档介绍

【数学】2019届一轮复习人教A版（文）不等关系与不等式学案

第1讲　不等关系与不等式 板块一　知识梳理·自主学习 ‎[必备知识]‎ 考点1　比较两个实数的大小 两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a0，则有>1⇔a>b；＝1⇔a＝b；<1⇔ab⇔bb，b>c⇒a>c；‎ ‎3．可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；‎ ‎4．可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒acb>0，c>d>0⇒ac>bd；‎ ‎5．可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)；‎ ‎6．可开方性：a>b>0⇒>(n∈N，n≥2)．‎ ‎[必会结论]‎ ‎1．a>b，ab>0⇒<.‎ ‎2．a<0b>0,0.‎ ‎4．0b>0，m>0，则<；>(b－m>0)；>；<(b－m>0)．‎ ‎[考点自测]‎ ‎1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a1，则a>b.(　　)‎ ‎(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．(　　)‎ ‎(4)一个非零实数越大，则其倒数就越小．(　　)‎ ‎(5)a>b>0，c>d>0⇒>.(　　)‎ ‎(6)若ab>0，则a>b⇔<.(　　)‎ 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√　(6)√‎ ‎2．[课本改编]设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是(　　)‎ A．M>N B．M＝N C．M0，所以M>N.‎ ‎3．[课本改编]若a>b>0，c B.< C.> D.< 答案　D 解析　由c－>0，又a>b>0，故由不等式性质，得－>－>0，所以<.故选D.‎ ‎4．[课本改编]若a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式一定成立的是(　　)‎ A．a＋c>b－c B．(a－b)c2>0‎ C．a3>b3 D．a2>b2‎ 答案　C 解析　对于A，由于不知道c的正负，故无法判断a＋c与b－c的大小关系，所以错误；对于B，当c＝0时，(a－b)c2>0不成立，所以错误；对于D，需要保证a>b>0，才能得到a2>b2，所以错误．故选C.‎ ‎5．[2018·浙江模拟]设a，b是实数，则“a＋b>0”是“ab>0”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　D 解析　若a＋b>0，取a＝3，b＝－2，则ab>0不成立；反之，若a＝－2，b＝－3，则a＋b>0也不成立，因此“a＋b>0”是“ab>0”的既不充分也不必要条件．选D.‎ ‎6．已知－1b，c≠0，则ac>bc B．若a>b，则ac2>bc2‎ C．若ac2>bc2，则a>b D．若a>b，则< 答案　C 解析　对于选项A，当c<0时，不正确；‎ 对于选项B，当c＝0时，不正确；‎ 对于选项C，∵ac2>bc2，∴c≠0，∴c2>0，∴一定有a>b.故选项C正确；‎ 对于选项D，当a>0，b<0时，不正确．‎ ‎(2)已知四个条件：①b>0>a；②0>a>b；③a>0>b；④a>b>0，能推出<成立的是________．‎ 答案　①②④‎ 解析　运用倒数法则，a>b，ab>0⇒<，②④正确．又正数大于负数，所以①正确．‎ 触类旁通 利用不等式性质进行命题的判断 ‎(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质．‎ ‎(2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数，指数函数的性质等．‎ ‎【变式训练1】　(1)已知a，b，c满足cac B．c(b－a)<0‎ C．cb20‎ 答案　A 解析　由c0.‎ 由b>c得ab>ac一定成立．‎ ‎(2)若<<0，则下列不等式：‎ ‎①a＋b|b|；③a0，‎ 所以a＋bq D．p≥q 答案　B 解析　(作差法)p－q＝＋－a－b ‎＝＋＝(b2－a2)· ‎＝＝，‎ 因为a<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0.‎ 若a＝b，则p－q＝0，故p＝q；若a≠b，则p－q<0，故p0，∴ab>ab2.∵a－ab2＝a(1－b2)<0，∴a0，b>0，且a≠b，试比较aabb与(ab) 的大小．‎ 解　∵a>0，b>0，‎ ‎∴＝ab＝ab＝，‎ 若a>b>0，则>1，a－b>0.‎ 由指数函数的性质>1；‎ 若b>a>0，则0<<1，a－b<0.‎ 由指数函数的性质>1.‎ ‎∴>1，∴aabb>(ab) .‎ 命题角度3　放缩法 例　4　(1)[2018·九江模拟]已知a＝3，b＝log，c＝log2，则(　　)‎ A．a>b>c B．b>c>a C．c>b>a D．b>a>c 答案　A 解析　∵a＝3>1,0b>c.故选A.‎ ‎(2)设x>0，P＝2x＋2－x，Q＝(sinx＋cosx)2，则(　　)‎ A．P>Q B．P0，所以P>2；又(sinx＋cosx)2＝1＋sin2x，而sin2x≤1，所以Q≤2.于是P>Q.故选A.‎ 触类旁通 比较大小的常用方法 ‎(1)作差法；‎ ‎(2)作商法；‎ ‎(3)放缩法：在代数式的比较大小问题中，一般是通过放缩变形，得到一个中间的参照式(或数)‎ ‎，其放缩的手段可能是基本不等式、三角函数的有界性等．有时，等号成立的条件是比较大小的关键所在．‎ 考向　不等式性质的应用 例　5　已知－10，y>0，且≤≤，16≤≤81，由性质6，得2≤≤27，故的最大值是27.‎ 解法二：设＝m(xy2)n，‎ 则x3y－4＝x2m＋ny2n－m，‎ 所以即 又∵16 ≤2≤81，≤(xy2)－1≤，‎ ‎∴2≤≤27，故的最大值为27.‎ 核心规律 ‎1.用同向不等式求差的范围．‎ ⇒⇒a－db⇒ac>bc或ab⇒<或a，当ab≤0时不成立．‎ ‎3.a>b⇒an>bn对于正数a，b才成立．‎ ‎4.>1⇔a>b，对于正数a，b才成立．‎ ‎5.注意不等式性质中“⇒”与“⇔”的区别，如：a>b，b>c⇒a>c，其中a>c不能推出 板块三　启智培优·破译高考 题型技法系列8——巧用特殊值判断不等式问题 ‎[2016·山东高考]已知实数x，y满足axln (y2＋1)‎ B．sinx>siny C．x3>y3‎ D.> 解题视点　(1)采用边选边排除的思想；(2)在选与排除的过程中采用特值法验证，简化了过程，提高了准确率．‎ 解析　解法一：因为实数x，y满足axy.‎ 对于A，取x＝1，y＝－3，不成立；‎ 对于B，取x＝π，y＝－π，不成立；‎ 对于C，由于f(x)＝x3在R上单调递增，故x3>y3成立；‎ 对于D，取x＝2，y＝－1，不成立．故选C.‎ 解法二：根据指数函数的性质得x>y，此时x2，y2‎ 的大小不确定，故选项A，D中的不等式不恒成立；根据三角函数的性质，选项B中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，选项C中的不等式成立．‎ 答案　C 答题启示　(1)当选择题中包含不止一个结论时，宜采用边选边排除的方法.‎ (2)在判断多个不等式是否成立时，可采用特值法验证，若取值不能代表所有情况，可采用多次赋值法验证结论是否成立.‎ 跟踪训练 ‎[2018·烟台模拟]若<<0，则下列不等式：‎ ‎①<；②|a|＋b>0；③a－>b－；④ln a2>ln b2中，正确的不等式是(　　)‎ A．①④ B．②③ C．①③ D．②④‎ 答案　C 解析　解法一：因为<<0，故可取a＝－1，b＝－2，‎ 显然＝－，＝，故①正确，排除B、D，‎ 对于③中，a－＝－1－＝0，‎ 又b－＝－2－＝－，‎ 故a－>b－成立，排除A.选C.‎ 解法二：由<<0，可知b0，所以<0，>0，‎ 故有<，故①正确，排除B、D；‎ ‎③中，因为bb－，故③正确，排除A.选C.‎ 板块四　模拟演练·提能增分 ‎[A级　基础达标]‎ ‎1．[2018·金版创新]设c>0，则下列各式成立的是(　　)‎ A．c>2c B．c>c C．2cc 答案　D 解析　c>0时，2c>1，c<1，所以2c>c.‎ ‎2．[2018·宁波模拟]若a B.> C．|a|>|b| D．a2>b2‎ 答案　B 解析　∵a，故A对．∵a，故B错．∵a－b>0，即|－a|>|－b|，∴|a|>|b|，故C对．∵a－b>0，∴(－a)2>(－b)2，即a2>b2，故D对．故选B.‎ ‎3．若x，y满足－b>0，下列各数小于1的是(　　)‎ A．2a－b B. C.a－b D.a－b 答案　D 解析　解法一：(特殊值法)‎ 取a＝2，b＝1，代入验证．‎ 解法二：y＝ax(a>0且a≠1)．‎ 当a>1，x>0时，y>1；当00时，0b>0，∴a－b>0，>1,0<<1.‎ 由指数函数性质知，D成立．‎ ‎5．[2018·广西模拟]若a，b为实数，则<成立的一个充分而不必要的条件是(　　)‎ A．b0 D．a>b 答案　A 解析　由a>b⇒<成立的条件是ab>0，即a，b同号时，若a>b，则<；a，b异号时，若a>b，则>.‎ ‎6．设0loga，B不对；‎ a>b>0⇒a2>ab，D不对．故选C.‎ ‎7．若a＝20.6，b＝logπ3，c＝log2sin，则(　　)‎ A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．b>c>a 答案　A 解析　因为a＝20.6>20＝1，又logπ1b>c.故选A.‎ ‎8．已知有三个条件：①ac2>bc2；②>；③a2>b2，其中能成为a>b的充分条件的是________．‎ 答案　①‎ 解析　由ac2>bc2，可知c2>0，即a>b，故“ac2>bc2”是“a>b”的充分条件；②当c<0时，ab的充分条件．‎ ‎9．已知a，b，c∈R，有以下命题：‎ ‎①若<，则<；②若<，则ab，则a·2c>b·2c.‎ 其中正确的是________(请把正确命题的序号都填上)．‎ 答案　②③‎ 解析　①若c≤0，则命题不成立．②由<得<0，于是a0知命题正确．‎ ‎10．[2018·临沂模拟]若x>y，a>b，则在①a－x>b－y，②a＋x>b＋y，③ax>by，④x－b>y－a，⑤>这五个式子中，恒成立的所有不等式的序号是________．‎ 答案　②④‎ 解析　令x＝－2，y＝－3，a＝3，b＝2，‎ 符合题设条件x>y，a>b，‎ ‎∵a－x＝3－(－2)＝5，b－y＝2－(－3)＝5，‎ ‎∴a－x＝b－y，因此①不成立．‎ 又∵ax＝－6，by＝－6，∴ax＝by，因此③也不正确．‎ 又∵＝＝－1，＝＝－1，‎ ‎∴＝，因此⑤不正确．‎ 由不等式的性质可推出②④成立．‎ ‎[B级　知能提升]‎ ‎1．已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是(　　)‎ A．MN C．M＝N D．不确定 答案　B 解析　M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－1)，又∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，∴a1－1<0，a2－1<0.‎ ‎∴(a1－1)(a2－1)>0，即M－N>0，∴M>N.‎ ‎2．已知a，b∈R，下列四个条件中，使>1成立的必要不充分条件是(　　)‎ A．a>b－1 B．a>b＋1‎ C．|a|>|b| D．ln a>ln b 答案　C 解析　由>1⇔－1>0⇔>0⇔(a－b)b>0⇔a>b>0或a|b|，但由|a|>|b|不能得到a>b>0或a1，故|a|>|b|是使>1成立的必要不充分条件．‎ ‎3．[2018·金版创新]设α∈，T1＝cos(1＋α)，T2＝cos(1－α)，则T1与T2的大小关系为________．‎ 答案　T1b>0，c.‎ 证明　∵c－d>0.‎ 又∵a>b>0，∴a－c>b－d>0，‎ ‎∴(a－c)2>(b－d)2>0，∴0<<.‎ 又∵e<0，∴>.‎ ‎5．[2018·昆明模拟]设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．‎ 解　解法一：设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定系数)，则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，‎ 即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b.‎ 于是得解得 ‎∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．‎ 又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，‎ ‎∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.‎ 解法二：由得 ‎∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．‎ 又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，‎ ‎∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.‎
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