北师大版数学九年级上册全册复习，高分必备

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北师大版九年级上册 期末总复习典型题 CONTENT 目 录 第一章 特殊的平行四边形 ┃ 知识归纳 ┃ 1 ．菱形的定义和性质 (1) 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． (2) 性质：①菱形的四条边都 ___________ ；②菱形的对角线互相 ______________ ，并且每一条对角线平分一组对角；③菱形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点；菱形也是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴． 相等 垂直平分 [ 注意 ] 菱形是特殊的平行四边形，故它具有平行四边形的一切性质． 2 ．菱形的判定方法 (1) 有一组邻边相等的 ______________ 是菱形； (2) 对角线互相垂直的 ______________ 是菱形； (3) 四边相等的 _____________ 是菱形． 平行四边形 平行四边形 四边形 [ 辨析 ] 四边形、平行四边形、菱形关系如图 S 1 － 1 ： 3 ．菱形的面积 (1) 由于菱形是平行四边形，所以菱形的面积＝底 × 高； (2) 因为菱形的对角线互相垂直平分，所以其对角线将菱形分成 4 个全等的三角形，故菱形的面积等于两对角线乘积的一半． 4 ．矩形的性质 (1) 矩形的对边 _______________ ； (2) 矩形的对角 ___________ ； (3) 矩形的对角线 ____________ 、 __________ ； (4) 矩形的四个角都是直角 ( 或矩形的四个角相等 ) ； (5) 矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的 _________ 三角形； (6) 矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称轴有 _____ 条，对称中心是对角线的交点． 平行且相等 相等 互相平分 相等 等腰 两 (7) 矩形的面积等于两邻边的 _________ ． 乘积 [ 注意 ] 利用“矩形的对角线相等且互相平分”这一性质可以得出直角三角形的一个常用的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边长的 __________ ． 一半 5 ．矩形的判定 (1) 有一个角是直角的 _____________ 是矩形； (2) 有三个角是直角的 ___________ 是矩形； (3) 对角线相等的 ______________ 是矩形． 平行四边形 四边形 平行四边形 6 ．正方形的性质 (1) 正方形的对边 _________ ； (2) 正方形的四边 _________ ； (3) 正方形的四个角都是 ________ ； (4) 正方形的对角线相等、互相垂直、互相平分，每条对角线平分一组对角； (5) 正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称轴有 ________ 条，对称中心是对角线的交点． 平行 相等 直角 四 7 ．正方形的判定 (1) 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形； (2) 有一组邻边相等的 ________ 是正方形； (3) 有一个角是直角的 ________ 是正方形． 矩形 菱形 [ 注意 ] 矩形、菱形、正方形都是平行四边形，且是特殊的平行四边形．矩形是有一个内角为直角的平行四边形；菱形是有一组邻边相等的平行四边形；正方形既是矩形，又是菱形． 8 ．中点四边形 中点四边形就是连接四边形各边中点所得的四边形，我们可以得到下面的结论： (1) 顺次连接四边形四边中点所得的四边形是 ____________ (2) 顺次连接矩形四边中点所得的四边形是 ________ ． (3) 顺次连接菱形四边中点所得的四边形是 ________ ． (4) 顺次连接正方形四边中点所得的四边形是 __________ ． (5) 顺次连接等腰梯形四边中点所得的四边形是 ________ ． 平行四边形 菱形 矩形 正方形 菱形 [ 总结 ] 顺次连接对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是 ________ ；顺次连接对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是 ________ ． 菱形 矩形 ► 考点 一　 菱形的性质和判定 ┃ 考点攻略 ┃ 例 1 　 如图 S 1 － 2 ，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，点 E ， F 分别为边 AB ， AD 的中点，连接 EF ， OE ， OF. 求证：四边形 AEOF 是菱形． [ 解析 ] 由点 E ， F 分别为边 AB ， AD 的中点，可知 OE∥AD ， OF∥AB ，而 AE ＝ AF ，故四边形 AEOF 是菱形． 方法技巧 在证明一个四边形是菱形时，要注意：首先判断是平行四边形还是任意四边形 . 若是任意四边形，则需证四条边都相等；若是平行四边形，则需利用对角线互相垂直或一组邻边相等来证明 . ► 考点 二　 和矩形有关的折叠计算问题 例 2 　 如图 S 1 － 3 ，将矩形 ABCD 沿直线 AE 折叠，顶点 D 恰好落在 BC 边上的 F 点处．已知 CE ＝ 3 cm ， AB ＝ 8 cm ，求图中阴影部分的面积． [ 解析 ] 要求阴影部分的面积，由于阴影部分由两个直角三角形构成，所以只要根据勾股定理求出直角三角形的直角边即可． 方法技巧 矩形的折叠问题，一般是关于面积等方面的计算问题，主要考查同学们的逻辑思维能力和空间想象能力 . 解决与矩形折叠有关的面积问题，关键是将轴对称的特征、勾股定理以及矩形的有关性质结合起来 ► 考点 三　 和正方形有关的探索性问题 例 3 　如图 S 1 － 4 ，在正方形 ABCD 中，点 E 在 BC 上， BE ＝ 3 ， CE ＝ 2 ，点 P 在 BD 上，求 PE 与 PC 的长度和的最小值． [ 解析 ] 连接 AP ， AE ，由正方形关于对角线对称将 PC 转移到 PA ，要求 PE 与 PC 和的最小值即求 PE 与 PA 和的最小值，易知当 P 在 AE 上时， PA ＋ PE 最小． 解：连接 AP ， AE ，如图 S 1 － 5. 方法技巧 正方形是一种特殊的四边形，它里面隐含着许多线段之间的关系或角之间的关系，我们要充分利用正方形的特性，结合图形大胆地探索、归纳、验证即可使问题获解 . 第二章 一元二次方程 ┃ 知识归纳 ┃ 1 ．一元二次方程 只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为 　 　 (a ， b ， c 为常数， a≠0) 的形式，这样的方程叫做一元二次方程． [ 注意 ] 定义应注意四点： (1) 含有一个未知数； (2) 未知数的最高次数为 2 ； (3) 二次项系数不为 0 ； (4) 整式方程． ax 2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 2 ．一元二次方程的一般形式 ax 2 ＋ bx ＋ c ＝ 0(a ， b ， c 为常数， a≠0) 称为一元二次方程的一般形式，其中 ax 2 ， bx ， c 分别称为 　 　 、 　 　 和常数项， a ， b 分别称为二次项系数和一次项系数． 3 ． 直接开平方法 直接开平方法的理论依据是平方根的定义．直接开平方法适用于解形如 (x ＋ a) 2 ＝ b(b≥0) 的一元二次方程，根据平方根的定义可知 x ＋ a 是 b 的平方根，当 b≥0 时， x ＝ 　 　 ；当 b ＜ 0 时，方程没有实数根． 二次项 一次项 4 ．配方法 (1) 配方法的基本思想：转化思想，把方程转化成 (x ＋ a) 2 ＝ b(b≥0) 的形式，这样原方程的一边就转化为一个完全平方式，然后两边同时开平方． (2) 用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①化二次项系数为 1 ； ②含未知数的项放在一边，常数项放在另一边； ③配方，方程两边同时加上 　 　 ，并写成 (x ＋ a) 2 ＝ b 的形式，若 b≥0 ，直接开平方求出方程的根． 一次项系数一半的平方 5 ．公式法 (1) 一元二次方程 ax 2 ＋ bx ＋ c ＝ 0(b 2 － 4ac≥0) 的求根公式： x ＝ 　 _______________________________________. (2) 用公式法解一元二次方程的一般步骤： ①把一元二次方程化成一般形式： ax 2 ＋ bx ＋ c ＝ 0(a≠0) ； ②确定 a ， b ， c 的值； ③求 b 2 － 4ac 的值； ④当 b 2 － 4ac≥0 时，则将 a ， b ， c 及 b 2 － 4ac 的值代入求根公式求出方程的根，若 b 2 － 4ac ＜ 0 ，则方程无实数根． 6 ．用分解因式法解一元二次方程的一般步骤 (1) 将方程变形为右边是 0 的形式； (2) 将方程左边分解因式； (3) 令方程左边的每个因式为 0 ，转化成两个一次方程； (4) 分别解这两个一次方程，它们的解就是原方程的解． 9 ．列方程解应用题的一般步骤 (1) 审题：通过审题弄清已知量与未知量之间的数量关系． (2) 设元：就是设未知数，分直接设与间接设，应根据实际需要恰当选取设元法． (3) 列方程：就是建立已知量与未知量之间的等量关系．列方程这一环节最重要，决定着能否顺利解决实际问题． (4) 解方程：正确求出方程的解并注意检验其合理性． (5) 作答：即写出答语，遵循问什么答什么的原则写清答语． ► 考点 一　用配方法解方程 ┃ 考点攻略 ┃ 例 1 　 用配方法解方程： 3x 2 ＋ 4x － 4 ＝ 0. [ 解析 ] 用配方法解一元二次方程，关键的一步是将二次项系数已化为 1 的方程的两边加上一次项系数一半的平方，转化为 (x ＋ m) 2 ＝ n 的形式，当 n ≥ 0 时，直接开平方求得方程的根． ► 考点 二　用分解因式法解方程 例 2 　 用分解因式法解方程： (x － 3) 2 ＋ 3 － x ＝ 0. [ 解析 ] 经过变形后可用提取公因式法分解因式． 解： 原方程变形为 (x － 3) 2 － (x － 3) ＝ 0 ， (x － 3)(x － 3 － 1) ＝ 0 ， 即 (x － 3)(x － 4) ＝ 0 ， x － 3 ＝ 0 或 x － 4 ＝ 0 ， ∴ x 1 ＝ 3 ， x 2 ＝ 4. ► 考点 三　用公式法解方程 例 3 　 用公式法解方程： x 2 ＋ x － 1 ＝ 0. [ 解析 ] 用公式法解方程时应先把一元二次方程化为一般形式，再确定 a ， b ， c 的值． ► 考点 四　增长率问题 例 4 　某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有 81 台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制， 3 轮感染后，被感染的电脑会不会超过 700 台？ [ 解析 ] 增长率问题在近年中考试题中频频出现，解决此类问题应掌握增长率是指增长数与基准数的比． 解： 设每轮感染中平均一台电脑会感染 x 台电脑，则经过 1 轮后有 (1 ＋ x) 台被染上病毒， 2 轮后就有 (1 ＋ x) 2 台被感染病毒，依题意，得 (1 ＋ x) 2 ＝ 81 ，解得 x 1 ＝ 8 ， x 2 ＝－ 10( 舍去 ) ． 所以每轮感染中平均一台电脑会感染 8 台电脑． 由此规律，经过 3 轮后，有 (1 ＋ x) 3 ＝ (1 ＋ 8) 3 ＝ 729 台电脑被感染． 由于 729>700 ，所以若病毒得不到有效控制， 3 轮感染后，被感染的电脑会超过 700 台． 第三章 概率的进一步认识 ┃ 知识归纳 ┃ 1 ．频率与概率 (1) 当试验次数很大时，试验频率稳定在相应的 　 　 附近．因此，我们可以通过多次试验，用一个事件发生的 　　 来估计这一事件发生的 　 . (2) 涉及两步试验的随机事件发生的概率，有两种基本的计算方法，它们分别是 　 　 、 　 　 . [ 注意 ] 用列表法或树状图法求概率时应注意各种情况发生的可能性务必相同． 概率 频率 概率 树状图法 列表法 2 ．试验估算 估计复杂的随机事件发生的概率常用的方法是 　 　 ，但有时试验和调查既费时又费力，个别的试验和调查根本无法进行．此时我们可采用 　　　　　　 的方法． 试验估算 模拟实验 3 ．池塘里有多少条鱼 一个口袋中有 m 个黑球 ( 已知 ) 和若干个白球，如果不许将球倒出来数，则有两种方法可以估计出其中的白球数 x ： 平均水平 平均水平 ► 考点 一　利用频率估计概率 ┃ 考点攻略 ┃ 例 1 　为了估计水塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中捕获 30 条鱼，在每条鱼身上做好记号后，把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞 200 条鱼，如果在这 200 条鱼中有 5 条鱼是有记号的，则鱼塘中的鱼可估计为 ( 　　 ) A ． 3000 条　　　　　　 B ． 2200 条 C ． 1200 条 D ． 600 条 C ► 考点 二　利用概率帮助说理 例 2 　甲袋中放有 21 只红球和 9 只黑球，乙袋中放有 190 只红球， 90 只黑球和 10 只白球，这三种球除了颜色以外没有任何区别．两袋中的球都已搅匀，随机从袋子中取出一只球，如果你想取出 1 只黑球，选择 ________ 袋成功的机会大． 乙 第四章 图形的相似 ┃ 知识归纳 ┃ 1 ．线段的比的定义 在同一单位长度下，两条线段 ______________ 的比叫做这两条线段的比． 2 ．成比例线段 四条线段 a ， b ， c ， d 中，如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比，即 ________ ，那么这四条线段 a ， b ， c ， d 叫做成比例线段． 长度 ad ＝ bc (b ＋ d ＋ f ＋ … ＋ n≠0) 4 ．平行线分线段成比例定理及推论 定理：两条直线被一组 ______________ 所截，所得的对应线段 _____________ ． 推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段 _____________ ． 平行线 成比例 成比例 5 ．相似多边形的定义 对应角 ________ ，对应边 ____________ 的两个多边形叫做相似多边形．相似多边形 _________________ 叫做相似比． 注意：判定两个多边形相似，对应角相等、对应边成比例，两个条件缺一不可． 相等 成比例 对应边的比 6 ．相似多边形的性质 相似多边形的对应角 __________ ，对应边 ____________ ．周长的比等于 ___________ ，面积的比等于 __________________ ． 7 ．相似三角形的定义 对应角 _________ ，对应边 ______________ 的两个三角形叫做相似三角形．相似三角形 _________________ 叫做相似比． 相等 成比例 相似比 相似比的平方 相等 成比例 对应边的比 8 ．相似三角形判定方法 ① __________________ ；② __________________ ； ③ ____________________________ ． 两个三角形相似，一般说来必须具备下列六种情形之一： 两角分别相等 三边成比例 两边成比例且夹角相等 只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要添加适当的辅助线，构造出基本图形，问题即可得以解决． 9 ．黄金分割 黄金分割的意义：如图 S 4 － 4 ，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC ，如果 ___________ ，那么称线段 AB 被点 C 黄金分割．其中点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点， AC 与 AB 的比叫做 ____________ ， 黄金分割的比值是一个定值，即 AC∶AB ＝ _________≈0.618. 黄金比 10 ．相似三角形的性质 相似三角形的对应角 ________ ，对应边 __________ ．相似三角形的对应中线的比等于 __________ ，对应高的比等于 _________ ，对应角对应角平分线的比等于 _________ ，周长之比等于 _________ ，相似三角形面积之比等于 ____________________ ． 11 ．测量物体的高度 (1) 利用 _____________ 的有关知识测量旗杆 ( 或路灯杆 ) 的高度； (2) 测量的方法有三种：利用 _________ ，利用 __________ ，利用 _________ ． 相等 成比例 相似比 相似比的平方 三角形相似 阳光 标杆 镜子 相似比 相似比 相似比 12 ．位似图形的定义 如果两个相似图形的每组对应点所在直线都交于一点，那么这样的两个图形叫做 ____________ ，这个点叫做 ____________ ，此时，两个相似图形的相似比又叫做它们的 __________ ． 13 ．位似图形的性质 位似图形的对应点和位似中心在 ____________ ，它们到位似中心的距离之比等于 __________ ． 位似图形 位似中心 位似比 同一直线上 位似比 ► 考点 一　 三角形相似的判定 ┃ 考点攻略 ┃ 例 1 　 如图 S 4 － 5 ，添加一个条件： ________________________ ， 使△ ADE∽△ACB.( 写出一个即可 ) ∠ADE ＝∠ ACB( 答案不惟一 ) ► 考点 二　 相似三角形的判定和性质 例 2 　 如图 S 4 － 6 ，在梯形 ABCD 中， AD∥BC ，若∠ BCD 的平分线 CH⊥AB 于点 H ， BH ＝ 3AH ，且四边形 AHCD 的面积为 21 ，求△ HBC 的面积． [ 解析 ] 因为问题涉及四边形 AHCD ，所以可构造相似三角形，把问题转化为相似三角形的面积比加以解决． ► 考点 三　 相似三角形的判定与分类讨论 例 3 　 在△ ABC 中， P 是 AB 上的动点 (P 异于 A ， B) ，过点 P 的一条直线截△ ABC ，使截得的三角形与△ ABC 相似，我们不妨称这种直线为过点 P 的△ ABC 的相似线．如图 S 4 － 7 ，∠ A ＝ 36° ， AB ＝ AC ，当点 P 在 AC 的垂直平分线上时，过点 P 的△ ABC 的相似线最多有 ____ 条． 3 [ 解析 ] 当 PD∥BC 时，△ APD∽△ABC ， 当 PE∥AC 时，△ BPE∽△BAC ，连接 PC ， ∵∠ A ＝ 36° ， AB ＝ AC ，点 P 在 AC 的垂直平分线上， ∴ AP ＝ PC ，∠ ABC ＝∠ ACB ＝ 72° ， ∴∠ ACP ＝∠ PAC ＝ 36° ，∴∠ PCB ＝ 36° ， ∴∠ B ＝∠ B ，∠ PCB ＝∠ A ， ∴△ CPB∽△ACB ， 故过点 P 的△ ABC 的相似线最多有 3 条 ► 考点 四　 构造相似三角形测量物体的高度 ( 宽度或深度 ) 例 4 　 一天，某校数学课外活动小组的同学们，带着皮尺去测量某河道因挖沙形成的“圆锥形坑”的深度，来评估这些深坑对河道的影响．如图 S 4 － 9 是同学们选择 ( 确保测量过程中无安全隐患 ) 的测量对象，测量方案如下： ①先测量出沙坑坑沿圆周的周长约为 34.54 米； ②甲同学直立于沙坑坑沿圆周所在平面上，经过适当调整自己所处的位置，当他位于点 B 时，恰好他的视线经过沙坑坑沿圆周上的一点 A 看到坑底 S( 甲同学的视线起点 C 与点 A 、点 S 三点共线 ) ．经测量 AB ＝ 1.2 米， BC ＝ 1.6 米． 根据以上测量数据，求“圆锥形坑”的深度 ( 圆锥的高 ) ． ( π 取 3.14 ，结果精确到 0.1 米 ) 第五章 投影与视图 ┃ 知识归纳 ┃ 1 ．画三视图的原则 画三视图时，应注意主、俯视图要 “ 　 　 ” ，主、左视图要 “ 　 　 ” ，左、俯视图要 “ 　 ”． [ 注意 ] 在画圆锥的俯视图时，要注意不要漏掉圆心处的实点． 长对正 高平齐 宽相等 2 ．三视图的画法 首先观察物体的几何构成，确定主视图的位置，依次画出视图的外轮廓线，然后将视图补充完整，看得见的轮廓线用实线，看不见的轮廓线用虚线． [ 总结 ] 三视图中的方位与物体上的方位的对应关系： (1) 主视图中的上、下、左、右对应物体的上、下、左、右； (2) 俯视图中的上、下、左、右对应物体的后、前、左、右； (3) 左视图中的上、下、左、右对应物体的上、下、后、前． 3 ．画三视图的顺序 三种视图中首先应确定主视图的位置，画出主视图，然后在主视图下面画出俯视图，在主视图右面画出左视图． 4 ．平行投影 太阳光线可以看成是 　 　 的光线，像这样的光线所形成的投影称为平行投影． 平行 [ 点拨 ] 平行投影与视图的联系：事实上，在特殊位置下 ( 投影线与投影面垂直时 ) 物体的平行投影就是物体的三种视图．物体的主视图是一束平行光线从正前方照射时形成的平行投影；左视图是一束平行光线从左前方照射形成的平行投影；俯视图是一束平行光线从正上方照射形成的平行投影． 5 ．中心投影 探照灯、手电筒、路灯和台灯的光线可以看成由一点发出的，像这样的光线所形成的投影称为中心投影． [ 点拨 ] 中心投影与平行投影的区别：太阳光线是平行的光线，灯光的光线是从一点发出的． ► 考点 一　确定物体的三视图 ┃ 考点攻略 ┃ B 例 1 　如图 S 5 － 1( a ) 所示几何体的主 ( 正 ) 视图是 ( 　　 ) 图 S 5 － 1 [ 解析 ] B 　容易看出主视图有两层组成，最上层一个正方形，第二层三个正方形． B ► 考点 二　由视图确定物体 例 2 　由若干个相同的小立方体搭成的几何体的三视图如图 S5 － 2 所示，则搭成这个几何体的小立方体的个数是 ( 　　 ) A ． 3 　　　 B ． 4 　　　 C ． 5 　　　 D ． 6 [ 解析 ] B 　由主视图可以看出几何体有两层，由俯视图可以看出第一层有 3 个小立方体，由左视图可以看出第二层有 1 个小正方体． ► 考点 三　平行投影问题 例 3 　 小刚身高 1.7 m ，测得他站立在阳光下的影子长为 0.85 m ，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为 1.1 m ，那么小刚举起的手臂超出头顶 ( 　　 ) A ． 0.5 m B ． 0.55 m C ． 0.6 m D ． 2.2 m A 第六章 反比例函数 ┃ 知识归纳 ┃ [ 总结 ] 当确定了反比例函数表达式后，便可求出当自变量 x(x≠0) 取其他值时，所对应的函数值；同样当已知该函数的值时，也可求出相对应的自变量 x 的值． 一、三 二、四 减小 增大 4 ．反比例函数的应用 应用反比例函数知识解决实际生活中的问题，关键是建立反比例函数模型，即列出符合题意的函数表达式，然后根据函数的性质综合方程 ( 组 ) 、不等式 ( 组 ) 及图象求解．要特别注意结合实际情况确定自变量的取值范围． ► 考点 一　反比例函数的图象和性质 ┃ 考点攻略 ┃ D [ 解析 ] D 　先根据反比例函数的图象过 A( － 1 ，－ 2) ，利用数形结合求出 x ＜－ 1 时 y 的取值范围，再由反比例函数的图象关于原点对称的特点即可求出结果． ► 考点 二　反比例函数的表达式 A ► 考点 三　反比例函数图象中的图形面积 5 ► 考点 四　反比例函数与一次函数 [ 解析 ] 结合题意，可以把 A 点坐标代入两个函数的表达式，然后得到 k ， m 的值，然后联立方程组，即可得到 B 点的坐标． ► 考点 五　反比例函数在生活中的应用 综合近几年中考数学试卷，在反比例函数考题中出现了一类新题型 —— 反比例函数数学建模试题．它既符合素质教育提出的“培养学生应用意识”的新要求，同时也有利于培养学生分析问题和解决问题的能力，解这类数学应用题的关键是通过对问题原始形态的分析、联想和抽象，将实际问题转化为一个数学问题，即构建一个反比例函数数学模型．