【数学】2019届一轮复习人教B版　圆锥曲线中的定点、定值问题学案

【数学】2019届一轮复习人教B版　圆锥曲线中的定点、定值问题学案

增分点 圆锥曲线中的定点、定值问题 定点问题 求解(或证明)直线和曲线过定点的基本思路是：把直线或曲线方程中的变量x，y视作常数，把方程一边化为零，既然是过定点，那么这个方程就是对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．‎ ‎[典例] (2017·全国卷 Ⅰ)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，四点P1(1,1)，P2(0，1)，P3，P4中恰有三点在椭圆C上．‎ ‎(1)求C的方程；‎ ‎(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P‎2A与直线P2B的斜率的和为－1，证明：l过定点．‎ ‎[思路演示]‎ 解：(1)由于P3，P4两点关于y轴对称，‎ 故由题设知椭圆C经过P3，P4两点．‎ 又由＋>＋知，椭圆C不经过点P1，‎ 所以点P2在椭圆C上．‎ 因此解得 故椭圆C的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)证明：设直线P‎2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2.‎ 如果l与x轴垂直，设l：x＝t，由题设知t≠0，且|t|<2，可得A，B的坐标分别为，.‎ 则k1＋k2＝－＝－1，得t＝2，不符合题设．‎ 从而可设l：y＝kx＋m(m≠1)．‎ 将y＝kx＋m代入＋y2＝1得 ‎(4k2＋1)x2＋8kmx＋‎4m2‎－4＝0.‎ 由题设可知Δ＝16(4k2－m2＋1)>0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝－，x1x2＝.‎ 而k1＋k2＝＋ ‎＝＋ ‎＝.‎ 由题设k1＋k2＝－1，‎ 故(2k＋1)x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＝0.‎ 即(2k＋1)·＋(m－1)·＝0.‎ 解得k＝－.‎ 当且仅当m>－1时，Δ>0，于是l：y＝－x＋m，即y＋1＝－(x－2)，所以l过定点(2，－1)．‎ ‎[解题师说]‎ ‎(1)本题第(2)问的关键是斜率存在时，设l：y＝kx＋m(m≠1)，然后与椭圆方程＋y2＝1联立，再设两个交点坐标，根据题目条件“直线P‎2A与直线P2B的斜率之和为－‎1”‎，导出k与m的关系，最后根据方程特点说明直线过定点．‎ ‎(2)圆锥曲线中定点问题的2种解法 引进参数法 引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点 特殊到一般法 根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关 ‎[应用体验]‎ ‎1．若直线l：y＝kx＋m与椭圆C：＋＝1相交于A，B两点(A，B不是左、右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．‎ 证明：设椭圆C的右顶点为A1(2,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A‎1A⊥A1B，‎ 联立方程 得(4k2＋3)x2＋8kmx＋‎4m2‎－12＝0，‎ 则x1＋x2＝－，x1x2＝，‎ 所以·＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2‎ ‎＝(x1－2)(x2－2)＋(kx1＋m)(kx2＋m)‎ ‎＝(k2＋1)x1x2＋(km－2)(x1＋x2)＋4＋m2‎ ‎＝－＋4＋m2＝0，‎ 整理得＝0，‎ 解得m＝－k或－2k.‎ 当m＝－k时，y＝kx－k＝k，过定点；‎ 当m＝－2k时，y＝kx－2k，过定点(2,0)，即过椭圆右顶点，与题意矛盾．‎ 所以直线l过定点.‎ 定值问题 解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值．解决圆锥曲线中的定值问题的基本思路是：定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个值．‎ ‎[典例] (2018·沈阳质检)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点F1(－，0)，e＝.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)如图，设R(x0，y0)是椭圆C上一动点，由原点O向圆(x－x0)2＋(y－y0)2＝4引两条切线，分别交椭圆于点P，Q，若直线OP，OQ的斜率存在，并记为k1，k2，求证：k1k2为定值；‎ ‎(3)在(2)的条件下，试问|OP|2＋|OQ|2是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．‎ ‎[思路演示]‎ 解：(1)由题意得，c＝，e＝＝，‎ 解得a＝2，b＝，‎ ‎∴椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)证明：由已知，直线OP：y＝k1x，OQ：y＝k2x，‎ 且与圆R相切，∴＝2，‎ 化简得(x－4)k－2x0y0k1＋y－4＝0，‎ 同理，可得(x－4)k－2x0y0k2＋y－4＝0，‎ ‎∴k1，k2是方程(x－4)k2－2x0y0k＋y－4＝0的两个不相等的实数根，‎ ‎∴x－4≠0，Δ>0，k1k2＝.‎ ‎∵点R(x0，y0)在椭圆C上，∴＋＝1，‎ 即y＝6－x，∴k1k2＝＝－(定值)．‎ ‎(3)|OP|2＋|OQ|2是定值．‎ 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，‎ 联立解得 ‎∴x＋y＝.‎ 同理，可得x＋y＝.‎ 由k1k2＝－，得|OP|2＋|OQ|2＝x＋y＋x＋y＝＋＝＋＝＝18.‎ 综上，|OP|2＋|OQ|2＝18(定值)．‎ ‎[解题师说]‎ 定值问题常见的2种求法 ‎(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．‎ ‎(2)引进变量法：其解题流程为 ‎[应用体验]‎ ‎2．已知点A，B的坐标分别为(－，0)，(，0)，直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积为－.‎ ‎(1)求点P的轨迹方程；‎ ‎(2)设点P的轨迹为C，点M，N是轨迹C上不同于A，B的两点，且满足AP∥OM，BP∥ON，求证：△MON的面积为定值．‎ 解：(1)设点P的坐标为(x，y)，由题意得，‎ kAP·kBP＝·＝－(x≠±)，‎ 化简得，点P的轨迹方程为＋＝1(x≠±)．‎ ‎(2)证明：由题意知，M，N是椭圆C上不同于A，B的两点，且AP∥OM，BP∥ON，则直线AP，BP的斜率必存在且不为0.‎ 因为AP∥OM，BP∥ON，‎ 所以kOM·kON＝kAP·kBP＝－.‎ 设直线MN的方程为x＝my＋t，M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，把x＝my＋t代入椭圆方程＋＝1，得(3＋‎2m2‎)y2＋4mty＋2t2－6＝0，‎ 所以y1＋y2＝－，y1y2＝.‎ 又kOM·kON＝＝ ‎＝，‎ 所以＝－，即2t2＝‎2m2‎＋3.‎ 又S△MON＝|t||y1－y2|＝ ，‎ 所以S△MON＝＝，‎ 即△MON的面积为定值.‎ ‎1．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F(1,0)，O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点．‎ ‎(1)求抛物线C的方程；‎ ‎(2)若直线OA，OB的斜率之积为－，求证：直线AB过x轴上一定点．‎ 解：(1)因为抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点坐标为(1,0)，‎ 所以＝1，即p＝2.‎ 所以抛物线C的方程为y2＝4x.‎ ‎(2)证明：①当直线AB的斜率不存在时，‎ 设A，B.‎ 因为直线OA，OB的斜率之积为－，‎ 所以·＝－，化简得t2＝32.‎ 所以A(8，t)，B(8，－t)，此时直线AB的方程为x＝8.‎ ‎②当直线AB的斜率存在时，‎ 设其方程为y＝kx＋b，A(xA，yA)，B(xB，yB)，‎ 联立方程组消去x得ky2－4y＋4b＝0.‎ 由根与系数的关系得yAyB＝，‎ 因为直线OA，OB的斜率之积为－，‎ 所以·＝－，即xAxB＋2yAyB＝0.‎ 即·＋2yAyB＝0，‎ 解得yAyB＝0(舍去)或yAyB＝－32.‎ 所以yAyB＝＝－32，即b＝－8k，‎ 所以y＝kx－8k，即y＝k(x－8)．‎ 综合①②可知，直线AB过定点(8,0)．‎ ‎2．已知结论：若点P(x0，y0)为椭圆＋＝1上一点，则直线l：＋＝1与椭圆相切．现过椭圆C：＋＝1上一点P作椭圆的切线交直线x＝于点A，试判断以线段AP为直径的圆是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．‎ 解：首先取两种特殊情形：切点分别在短轴两端点时，求得两圆的方程为：‎ 2＋(y－2)2＝或2＋(y＋2)2＝.则两圆相交于点(，0)，.‎ ‎①若定点为椭圆的右焦点F2(，0)，则需证：⊥.‎ 设点P(x0，y0)，则椭圆过点P的切线方程是＋＝1，所以点A，＝(－x0，－y0)，＝，·＝(－x0)·＋(－y0)·＝－4＋x0＋4－x0＝0，所以⊥.‎ ‎②若定点为Q，则·＝·(－)＋(－y0)·＝，不满足题意．‎ 综上，以线段AP为直径的圆恒过定点(，0)．‎ ‎3．(2018·湖南五市十校联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，过左焦点F且垂直于长轴的弦长为.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程；‎ ‎(2)点P(m,0)为椭圆C的长轴上的一个动点，过点P且斜率为的直线l交椭圆C于A，B两点，证明：|PA|2＋|PB|2为定值．‎ 解：(1)由可得 故椭圆C的标准方程为＋＝1.‎ ‎(2)证明：设直线l的方程为x＝y＋m，代入＋＝1，消去x，并整理得25y2＋20my＋8(m2－25)＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则y1＋y2＝－m，y1y2＝，‎ 又易得|PA|2＝(x1－m)2＋y＝y，‎ 同理可得|PB|2＝y.‎ 则|PA|2＋|PB|2＝(y＋y)＝[(y1＋y2)2－2y1y2]＝－2－＝41.‎ 所以|PA|2＋|PB|2是定值．‎ ‎4．(2018·石家庄模拟)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2‎ ‎，离心率为，点A是椭圆上任意一点，△AF‎1F2的周长为4＋2.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)过点Q(－4,0)任作一动直线l交椭圆C于M，N两点，记＝λQN―→，若在线段MN上取一点R，使得MR―→＝－λRN―→，则当直线l转动时，点R在某一定直线上运动，求该定直线的方程．‎ 解：(1)因为△AF‎1F2的周长为4＋2，‎ 所以‎2a＋‎2c＝4＋2，即a＋c＝2＋.‎ 又椭圆的离心率e＝＝，所以a＝2，c＝，‎ 所以b2＝a2－c2＝1.‎ 所以椭圆C的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)由题意可知，直线l的斜率必存在．‎ 故可设直线l的方程为y＝k(x＋4)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，‎ 联立消去y，‎ 得(1＋4k2)x2＋32k2x＋64k2－4＝0，‎ 则x1＋x2＝，x1x2＝.‎ 由＝λQN―→，得(－4－x1，－y1)＝λ(4＋x2，y2)，‎ 所以－4－x1＝λ(x2＋4)，‎ 即λ＝－.‎ 设点R的坐标为(x0，y0)，‎ 由MR―→＝－λRN―→，‎ 得(x0－x1，y0－y1)＝－λ(x2－x0，y2－y0)，‎ 所以x0－x1＝－λ(x2－x0)，‎ 所以x0＝＝＝.‎ 又2x1x2＋4(x1＋x2)＝2×＋4×＝－，‎ ‎(x1＋x2)＋8＝＋8＝，‎ 所以x0＝－1.‎ 故点R在定直线x＝－1上．‎