2018届二轮复习导数应用名卷考点汇理学案（全国通用）

2018届二轮复习导数应用名卷考点汇理学案（全国通用）

考点1.6 导数应用 精讲考点汇总表 ‎ 题号 考点 难度星级 命题可能 ‎8‎ 函数零点 ‎★★★★‎ ‎○○○○○‎ ‎9‎ 三角恒等变换 ‎★★★‎ ‎○○○○‎ ‎12‎ 不等式 ‎★★★★‎ ‎○○○○○‎ ‎16‎ 解三角形 ‎★★★★‎ ‎○○○○○‎ ‎20‎ 数列综合 ‎★★★★‎ ‎○○○○‎ ‎22‎ 导数应用 ‎★★★★★‎ ‎○○○○○‎ ‎【原题再现】22．已知函数，.‎ ‎（Ⅰ）若，求曲线在处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）探究函数的极值点情况，并说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】试题分析：（1）先求函数导数，根据导数几何意义得切线斜率，再根据点斜式写出切线方程（2）先求导数，转化研究函数,利用导数易得先减后增，讨论与两个端点值以及最小值点大小关系，确定极值点情况.‎ 试题解析：解：（Ⅰ）依题意，故，‎ 因为，故所求切线方程为，即.‎ ‎（Ⅱ），，‎ 记，则 ，.‎ 当时，，当时，，所以当时，取得极小值，‎ 又，，.‎ ‎（iii）当，即时，有一解，函数在区间上有一个极值点；‎ ‎（iv）当，即时，，函数在区间上无极值点.‎ 导数的应用 ‎★★★★★‎ ‎○○○○○‎ ‎1.函数在点处的导数的几何意义是曲线在点处的切线的斜率．也就是说，曲线在点处的切线的斜率是．相应地，切线方程为．‎ ‎2.借助导数研究函数单调性 一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减；‎ ‎3.借助导数研究函数的极值 若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值 ‎4.借助导数研究函数最值 求函数最值的步骤：（1）求出在上的极值.（2）求出端点函数值.‎ ‎（3）比较极值和端点值，确定最大值或最小值.‎ ‎1. 利用导数求切线问题中的“在”与“过”‎ 在解决曲线的切线问题时，利用导数求切线的斜率是非常重要的一类方法.在求解过程中特别注意：曲线在某点处的切线若有则只有一条，曲线过某点的要切线往往不止一条；切线与曲线的公共点不一定只有一个.因此在审题时应首先判断是“在”还是“过”.若“在”，利用该点出的导数为直线的斜率，便可直接求解；若“过”，解决问题关键是设切点，利用“待定切点法”,即：设点A（x,y）是曲线y=f(x)上的一点，则以A为切点的切线方程为y－y=f,再根据题意求出切点.‎ ‎2.函数切线的相关问题的解决，抓住两个关键点：其一，切点是交点；其二，在切点处的导数是切线的斜率．因此，解决此类问题，一般要设出切点，建立关系——方程(组)．其三，求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异．过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上；在点P处的切线，点P是切点．‎ ‎3．函数的导数在其单调性研究的作用：(1)当函数在一个指定的区间内单调时，需要这个函数的导数在这个区间内不改变符号(即恒大于或者等于零、恒小于或者等于零)，当函数在一个区间内不单调时，这个函数的导数在这个区间内一定变号，如果导数的图象是连续的曲线，这个导数在这个区间内一定存在变号的零点，可以把问题转化为对函数零点的研究．‎ ‎(2)根据函数的导数研究函数的单调性，在函数解析式中若含有字母参数时要进行分类讨论，这种分类讨论首先是在函数的定义域内进行，其次要根据函数的导数等于零的点在其定义域内的情况进行，如果这样的点不止一个，则要根据字母参数在不同范围内取值时，导数等于零的根的大小关系进行分类讨论，最后在分类解决问题后要整合一个一般的结论．[易错提示]　在利用“若函数单调递增，则”求参数的范围时，注意不要漏掉“等号”．‎ ‎4．利用导数研究函数的极值与最值：(1)确定定义域．‎ ‎(2)求导数．‎ ‎(3)①若求极值，则先求方程的根，再检验在方程根左、右值的符号，求出极值．(当根中有参数时要注意分类讨论根是否在定义域内)‎ ‎②若已知极值大小或存在的情况，则转化为已知方程根的大小或存在情况，从而求解．‎ ‎5.利用导数处理恒成立问题 不等式在某区间的恒成立问题，可以转化为求函数在区间上的最值问题来解决，函数的最值问题的求解，利用求导分析函数单调性是常规途径，例如：①为增函数（为减函数）.②在区间上是增函数≥在上恒成立；在区间上为减函数≤在上恒成立.‎ ‎6.利用导数，如何解决函数与不等式大题 在高考题的大题中，每年都要设计一道函数大题. 在函数的解答题中有一类是研究不等式或是研究方程根的情况，基本的题目类型是研究在一个区间上恒成立的不等式(实际上就是证明这个不等式)，研究不等式在一个区间上成立时不等式的某个参数的取值范围，研究含有指数式、对数式、三角函数式等超越式的方程在某个区间上的根的个数等，这些问题依据基础初等函数的知识已经无能为力，就需要根据导数的方法进行解决．使用导数的方法研究不等式和方程的基本思路是构造函数，通过导数的方法研究这个函数的单调性、极值和特殊点的函数值，根据函数的性质推断不等式成立的情况以及方程实根的个数．因为导数的引入，为函数问题的解决提供了操作工具.因此入手大家比较清楚，但是深入解决函数与不等式相结合的题目时，往往一筹莫展.原因是找不到两者的结合点，不清楚解决技巧.解题技巧总结如下 ‎（1）树立服务意识：所谓“服务意识”是指利用给定函数的某些性质（一般第一问先让解决出来），如函数的单调性、最值等，服务于第二问要证明的不等式.‎ ‎（2）强化变形技巧：所谓“强化变形技巧”是指对于给出的不等式直接证明无法下手，可考虑对不等式进行必要的等价变形后，再去证明.例如采用两边取对数（指数），移项通分等等.要注意变形的方向：因为要利用函数的性质，力求变形后不等式一边需要出现函数关系式.‎ ‎（3）巧妙构造函数：所谓“巧妙构造函数”是指根据不等式的结构特征，构造函数，利用函数的最值进行解决.在构造函数的时候灵活多样，注意积累经验，体现一个“巧妙”.‎ 已知函数，．‎ ‎（Ⅰ）若直线与曲线和分别交于两点.设曲线 在点处的切线为，在点处的切线为.‎ ‎（ⅰ）当时，若，求的值；‎ ‎（ⅱ）若，求的最大值；‎ ‎（Ⅱ）设函数在其定义域内恰有两个不同的极值点，，且．若，且恒成立，求的取值范围．‎ ‎【解析】(Ⅰ) 函数的定义域为.，.‎ ‎（ⅰ）当时，，. 因为，所以. 即.解得. ‎ ‎（2）当时，令，则.则在上为增函数，上为减函数.所以的最大值为.解得.取，.因此当时，方程在上有解.所以，的最大值是. ‎ 另解：函数的定义域为. ，. ‎ 则，.因为，则在上有解.即在上有解.因为，所以.令(). .得. ‎ 当，，为增函数； 当，，为减函数； ‎ 所以.所以，的最大值是. ‎ ‎（Ⅱ） . 因为为在其定义域内的两个不同的极值点，所以是方程的两个根. 即，. 两式作差得，. 因为 ，由，得.则 . 令，则，由题意知: ‎ ‎ 在上恒成立， 令， 则=.当，即时，，，所以在上单调递增. 又，则在上恒成立.当，即时，时，，在上为增函数； 当时，，在上为减函数. 又，所以不恒小于，不合题意. 综上，.‎ ‎ ‎ ‎1.已知定义在上的奇函数满足：当时， ，若不等式 对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为当时， ，所以由奇函数的对称性可知函数在上单调递增，则原不等式可化为，即，当时，不等式不成立，故，此时判别式，即，所以或，由于，所以，应选答案A。‎ ‎2.已知函数与函数的图象上至少存在一对关于轴对称的点，则实数的取值范围是（　　　）‎ A．　　　B．　　　C．　　　D．‎ ‎【答案】D ‎3.已知函数．‎ ‎（1）求函数在区间上的最大值；‎ ‎（2）若， 是函数图象上不同的三点，且，试判断与之间的大小关系，并证明．‎ ‎【解析】（1），当时， 时， ， ，当时， 时， ， ，当时，由，得， ‎ ‎，又，则有如下分类：‎ ‎①当，即时， 在上是增函数，所以. ‎ ‎（2）‎ ‎，‎ ‎，令， ， ，所以在上是增函数，又，当时， ， ， ，故，当时， ， ， ，故。综上知， .‎ ‎________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________‎ ‎ ‎ ‎1.已知函数，若关于的函数有8个不同的零点，则实数的取值范围为___________．‎ ‎【答案】‎ ‎2.已知实数，函数，若关于的方程有三个不等的实根，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】当时， 为增函数，当时， ， 为增函数，令，解得，故函数在上递减， 上递增，最小值为.由此画出函数图像如下图所示，令，因为，所以，则有，所以，所以，要有三个不同实数根，则需，解得.‎ ‎3.已知 ，则的值为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 ‎ ‎4.过点，且倾斜角为的直线与圆相交于两点，若，则的值为 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】D ‎【解析】由已知得圆心，显然直线的斜率存在，设直线的方程为，因为，所以圆心到直线的距离为，则，解得，即，所以 ‎，故选D．‎ ‎5.在中，， ，分别为内角，，的对边，且，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎ ‎6. 已知△ABC，AB=AC=4，BC=2． 点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是______，cos∠BDC=_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：取BC中点E，DC中点F，由题意：，△ABE中，，，．‎ 又，，‎ 综上可得，△BCD面积为，．‎ ‎7.设，若不等式对所有满足题设的均成立，则实数的最大值为____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，因为所以设，则，因此的最小值，而，当且仅当时取等号，从而，即实数的最大值为.‎ ‎8.已知，则的最大值为_____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令，则，因为 ‎，当且仅当时取等号，所以，即的最大值为（当且仅当时取等号）．‎ ‎9.已知各项均为正数的递增数列的前项和为满足，（），若成等差数列，则（　　　）‎ A．8　　　　B．‎9　‎　　　C．7或8　　　　D．8或9‎ ‎【答案】D ‎【解析】当时，，解得；当时，由，得，则，整理，得，配方，得．由题意知，数列为单调递增数列，且，则，即，所以数列为等差数列，则，所以，则由成等差数列，得，所以．因为，故只能取2，3，5．当时，；当时，；当时，，所以或9，故选D．‎ ‎10.数列的前项和满足，且成等差数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求使对任意恒成立的实数的取值范围.‎ ‎【解析】（1）由题意，，则当时，，两式相减得，所以，，又成等差数列，所以，解得，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以. ‎ ‎（2），由对任意恒成立，知对恒成立，设，则当或4时，取得最小值，为，所以. ‎ ‎11.已知函数存在极值，若这些极值的和大于，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎12.设函数 ‎（1）令（），若的图象上任意一点处切线的斜率恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（2）当时，设函数，且函数有且仅有一个零点，若，，求的取值范围．‎ ‎【解析】（1），，则有在上恒成立，所以，，当时，取得最大值，所以. ‎ ‎（2）因为，令，则，即，令，则，令，∵在上是减函数，又∵，所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，∴，∵，∴当函数有且仅有一个零点时，.当时，，若，则，，令得或，又∵，∴函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，又，∵ ， ，∴． ‎