高考函数知识点总结学生用
函数
函数概念
（一）知识梳理
1．映射的概念
设是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合中的任意元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从到的映射，通常记为 ，f表示对应法则
注意：⑴A中元素必须都有象且唯一；⑵B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。
2．函数的概念
(1)函数的定义：
设是两个非空的数集，如果按照某种对应法则，对于集合中的每一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从到的一个函数，通常记为
(2)函数的定义域、值域
在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做的定义域；与的值相对应的
值叫做函数值，函数值的集合称为函数的值域。
(3)函数的三要素：定义域、值域和对应法则
3．函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法
（1）．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；
（2）．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；
(3)．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。
4．分段函数
在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。
（二）考点分析
考点1：映射的概念
例1．（1），，；
（2），，；
（3），，．
上述三个对应 是到的映射．
例2．若，，，则到的映射有 个，到的映射有 个，到的函数有 个
例3．设集合，，如果从到的映射满足条件：对中的每个元素与它在中的象的和都为奇数，则映射的个数是（ ）
8个 12个 16个 18个
考点2：判断两函数是否为同一个函数
例1． 试判断以下各组函数是否表示同一函数？
（1），；
（2），
（3），（n∈N*）；
（4），；
（5），
考点3：求函数解析式
方法总结：（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；
（2）若已知复合函数的解析式，则可用换元法或配凑法；
（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出
题型1：由复合函数的解析式求原来函数的解析式
例1．已知二次函数满足，求（三种方法）
例2．（09湖北改编）已知=，则的解析式可取为
题型2：求抽象函数解析式
例1．已知函数满足，求
考点4：求函数的定义域
题型1：求有解析式的函数的定义域
（1）方法总结：如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的的取值范围，实际操作时要注意：① 分母不能为0；② 对数的真数必须为正；③ 偶次根式中被开方数应为非负数；④ 零指数幂中，底数不等于0；⑤ 负分数指数幂中，底数应大于0；⑥ 若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；⑦ 如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。
例1.（08年湖北）函数的定义域为( )
A.;B.；C. ;D.
题型2：求复合函数和抽象函数的定义域
例1．（2007·湖北）设，则的定义域为（ ）
A. ；B. ；C. ；D.
例2．已知函数的定义域为，求的定义域
例3．已知的定义域是，求函数的定义域
例4．已知的定义域是（-2，0），求的定义域
考点5：求函数的值域
1． 求值域的几种常用方法
（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，
如求函数，可变为解决
（2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，
如函数就是利用函数和的值域来求。
（3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。
如求函数的值域
（4）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。 如求函数的值域，因为
（5）利用基本不等式求值域： 如求函数的值域
（6）利用函数的单调性求求值域： 如求函数的值域
（7）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域
（8）导数法――一般适用于高次多项式函数，如求函数，的最小值。（－48）
（9）对勾函数法 像y=x+，（m>0）的函数，m<0就是单调函数了
三种模型：（1）如，求（1）单调区间（2）x的范围[3,5]，求值域（3）x [-1,0 )(0,4],求值域
（2）如 ，求（1）[3,7]上的值域 （2）单调递增区间（x0或x4）
（3）如 ， （1）求[-1,1]上的值域 （2）求单调递增区间
函数的单调性
（一）知识梳理
1、函数的单调性定义：
设函数的定义域为，区间，如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说在区间上是单调增函数，称为的单调增区间；如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说在区间上是单调减函数，称为的单调减区间。
如果用导数的语言来，那就是：设函数，如果在某区间上，那么为区间上的增函数；如果在某区间上，那么为区间上的减函数；
2、确定函数的单调性或单调区间的常用方法：
（1）①定义法（取值――作差――变形――定号）；②导数法（在区间内，若总有，则为增函数；反之，若在区间内为增函数，则，
（2）在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意,型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为，减区间为.
（3）复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减
（4）若与在定义域内都是增函数（减函数），那么在其公共定义域内是增函数（减函数）。
3、单调性的说明：
（1）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域；
（2）函数单调性定义中的，有三个特征：一是任意性；二是大小，即；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可；
（3）函数的单调性是对某个区间而言的，所以受到区间的限制，如函数分别在和内都是单调递减的，但是不能说它在整个定义域即内是单调递减的，只能说函数的单调递减区间为和。
4、函数的最大（小）值
设函数的定义域为，如果存在定值，使得对于任意，有恒成立，那么称为的最大值；如果存在定值，使得对于任意，有恒成立，那么称为的最小值。
（二）考点分析
考点1 函数的单调性
题型1：讨论函数的单调性
例1．（1）求函数的单调区间；
（2）已知若试确定的单调区间和单调性．
例2. 判断函数f(x)=在定义域上的单调性.
题型2：研究抽象函数的单调性
例1．已知函数的定义域是的一切实数，对定义域内的任意都有，且当时，
（1）求证：是偶函数；（2）在上是增函数；（3）解不等式．
题型3：函数的单调性的应用
例1．若函数 在区间（－∞，4] 上是减函数，那么实数的取值范围是______
例2．已知函数在区间上为增函数，则实数的取值范围_____
考点2 函数的值域（最值）的求法
求最值的方法：（1）若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法。（2）利用函数的单调性求最值：先判断函数在给定区间上的单调性，然后利用函数的单调性求最值。（3）基本不等式法：当函数是分式形式且分子分母不同次时常用此法（但有注意等号是否取得）。（4）导数法：当函数比较复杂时，一般采用此法（5）数形结合法：画出函数图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围。
题型1：求分式函数的最值
例1．（2007上海）已知函数当时，求函数的最小值。
题型2：利用函数的最值求参数的取值范围
例2．（2008广东）已知函数若对任意恒成立,试求实数的取值范围。
函数的奇偶性
（一）知识梳理
1、函数的奇偶性的定义：①对于函数的定义域内任意一个，都有〔或〕，则称为奇函数. 奇函数的图象关于原点对称。②对于函数的定义域内任意一个，都有〔或〕，则称为偶函数. 偶函数的图象关于轴对称。
③通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）
2.函数的奇偶性的判断：
（1）可以利用奇偶函数的定义判断
（2）利用定义的等价形式, ，（）
（3）图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于轴对称
3．函数奇偶性的性质：
（1）奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.
（2）若奇函数定义域中含有0，则必有.故是为奇函数的既不充分也不必要条件。
（3）定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”。如设是定义域为R的任一函数， ，。
（4）复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.
（5）设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇．
（二）考点分析
考点1 判断函数的奇偶性及其应用
题型1：判断有解析式的函数的奇偶性
例1． 判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）=|x+1|－|x－1|；（2）f（x）=（x－1）·；
（3）；（4）
题型2：证明抽象函数的奇偶性
例1 .(09年山东)定义在区间上的函数f (x)满足：对任意的，都有. 求证f (x)为奇函数；
例2．（1）函数，，若对于任意实数，都有，求证：为奇函数。
（2）设函数定义在上，证明是偶函数，是奇函数。
考点2 函数奇偶性、单调性的综合应用
例1．已知奇函数是定义在上的减函数，若，求实数的取值范围。
例2．设函数对于任意的，都有，且时,
（1）求证是奇函数；
（2）试问当时，是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说出理由。
例3．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，并在区间(－∞,0)内单调递增，f(2a2+a+1)
0时，抛物线开口向上，函数在上单调递减，在上单调递增，时，；
（2）a<0时，抛物线开口向下，函数在上单调递增，在上单调递减，时，。
3．二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)当时图象与x轴有两个交点M1(x1,0),M2(x2,0)
。
4． 根分布问题: 一般地对于含有字母的一元二次方程ax2+bx+c=0 的实根分布问题，用图象求解，有如下结论：令f(x)=ax2+bx+c (a>0) ，
(1)x1<α,x2<α ,则; (2)x1>α,x2>α,则
(3)αb (α0(<0)的解集为或者是R;
②f(x)=ax2+bx+c的图像与x轴相切ax2+bx+c=0有两个相等的实根ax2+bx+c>0(<0)的解集为或者是R;
③f(x)=ax2+bx+c的图像与x轴有两个不同的交点ax2+bx+c=0有两个不等的实根ax2+bx+c>0(<0)的解集为或者是
（二）考点分析
考点1．求二次函数的解析式
例1．已知二次函数f(x)满足f(2)= -1，f(-1)= -1且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数。
法一：利用一般式
设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，由题意得：解得： ∴f(x)= - 4x2+4x+7
法二：利用顶点式
∵f(2)= f(-1) ∴对称轴 又最大值是8
∴可设，由f(2)= -1可得a= - 4
法三：由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1，故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)即f(x)=ax2-ax-2a-1,又得a= - 4或a=0(舍) ∴f(x)= - 4x2+4x+7
例2．已知二次函数的对称轴为，截轴上的弦长为，且过点，求函数的解析式．
解：∵二次函数的对称轴为，设所求函数为，又∵截轴上的弦长为，∴过点，又过点，
∴， ，
∴
考点2．二次函数在区间上的最值问题
例1．已知函数f(x)= - x2+2ax+1-a在0≤x≤1时有最大值2，求a的值。
例2．已知y=f(x)=x2-2x+3,当x∈[t,t+1]时，求函数的最大值和最小值。
例3．已知函数的最大值为，求的值 ．
考点3．一元二次方程根的分布及取值范围
例1．已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0
(1)若方程有两根，其中一根在区间（-1，0）内，另一根在区间（1，2）内，求m的取值范围。
(2)若方程两根在区间（0，1）内，求m的范围。
思维分析：一般需从三个方面考虑①判别式Δ②区间端点函数值的正负③对称轴与区间相对位置。
练习：方程在（- 1，1）上有实根，求k的取值范围。
【反思归纳】根分布问题: 一般地对于含有字母的一元二次方程ax2+bx+c=0 的实根分布问题，用图象求解，主要研究开口、判别式、对称轴、区间端点对应函数值的正负，列出不等式（组）求解。
例2． 已知函数与非负轴至少有一个交点，求的取值范围．
指数与指数函数
（一）知识梳理
1．指数运算
；；；；；
2.指数函数：（），定义域R，值域为（）.⑴①当，指数函数：在定义域上为增函数；②当，指数函数：在定义域上为减函数.⑵当时，的值越大，越靠近轴；当时，则相反.
（二）考点分析
例1．已知下列不等式，比较，的大小：（1） (2)
变式1：设，那么 （ ）
A.a＜a＜b B.a＜ b＜a
C.a＜a＜b D.a＜b＜a
例2．函数在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则的值为（ ）
A． B.2 C.4 D.
例3．已知函数的图象与函数（且）的图象关于直线对称，记．若在区间上是增函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
对数与对数函数
（一）知识梳理
1．对数运算：
；；；；；；
2．对数函数：如果（）的次幂等于，就是，数就叫做以为底的的对数，记作（，负数和零没有对数）；其中叫底数，叫真数.
当时，的值越大，越靠近轴；当时，则相反.
（二）考点分析
例1．已知函数，，且
（1） 求函数定义域
（2） 判断函数的奇偶性，并说明理由.
例2．已知是上的减函数，那么的取值范围是
A. B. C. D.
例3．若，且，求实数的取值范围.
变式1：若，则的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
幂函数
（一）知识梳理1、幂函数的概念
一般地，形如 的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数
2、幂函数的图像及性质
定义域
R
R
R
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
在第Ⅰ象限的增减性
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递减
幂函数 的图像在第一象限的分布规律是：
①所有幂函数 的图像都过点；
②当时函数的图像都过原点；
③当时，的的图像在第一象限是第一象限的平分线（如）；
④当时，的的图像在第一象限是“凹型”曲线（如）
⑤当时，的的图像在第一象限是“凸型”曲线（如）
⑥当时，的的图像不过原点，且在第一象限是“下滑”曲线（如）
3、重难点问题探析：幂函数性质的拓展
当时，幂函数有下列性质：
（1）图象都通过点，；
（2）在第一象限内都是增函数；
（3）在第一象限内，时，图象是向下凸的；时，图象是向上凸的；
（4）在第一象限内，过点后，图象向右上方无限伸展。
当时，幂函数有下列性质：
（1）图象都通过点；
（2）在第一象限内都是减函数，图象是向下凸的；
（3）在第一象限内，图象向上与轴无限地接近；向右无限地与轴无限地接近；
（4）在第一象限内，过点后，越大，图象下落的速度越快。
无论取任何实数，幂函数的图象必然经过第一象限，并且一定不经过第四象限。
（二）考点分析
考点1：利用幂函数的单调性比较大小
例1．已知，试比较的大小；
例2．已知点在幂函数的图象上，点，在幂函数的图象上．
问当x为何值时有：（１）；（２）；（３）．
函数图象
（一）知识梳理
1．函数图象
（1）作图方法：以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本讲座的重点。
作函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）；④描点连线，画出函数的图象。
运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线要把表列在关键处，要把线连在恰当处这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究。而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换，这也是个难点
（2）三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等；
①平移变换：
Ⅰ、水平平移：函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向左或向右平移个单位即可得到；
1）y=f(x)y=f(x+h)；2）y=f(x) y=f(x-h)；
Ⅱ、竖直平移：函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向上或向下平移个单位即可得到；
1）y=f(x) y=f(x)+h；2）y=f(x) y=f(x)-h。
②对称变换：
Ⅰ、函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到；
y=f(x) y=f(-x)
Ⅱ、函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到；
y=f(x) y= -f(x)
Ⅲ、函数的图像可以将函数的图像关于原点对称即可得到；
y=f(x) y= -f(-x)
Ⅳ、函数的图像可以将函数的图像关于直线对称得到。
y=f(x) x=f(y)
Ⅴ、函数的图像可以将函数的图像关于直线对称即可得到；
y=f(x) y=f(2a-x)。
③翻折变换：
Ⅰ、函数的图像可以将函数的图像的轴下方部分沿轴翻折到轴上方，去掉原轴下方部分，并保留的轴上方部分即可得到；
Ⅱ、函数的图像可以将函数的图像右边沿轴翻折到轴左边替代原轴左边部分并保留在轴右边部分即可得到
④伸缩变换：
Ⅰ、函数的图像可以将函数的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长
或压缩（）为原来的倍得到；
y=f(x)y=af(x)
Ⅱ、函数的图像可以将函数的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长或压缩（）为原来的倍得到。
f(x)y=f(x)y=f()
（3）识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面
（二）考点分析
例1．（08江苏理14）
设函数，若对于任意的都有成立，则实数的值为
点评：该题属于实际应用的题目，结合函数值变化的趋势和一些特殊点函数值解决问题即可。要明确函数图像与函数自变量、变量值的对应关系，特别是函数单调性与函数图象个关系；
例2．（2009广东卷理）已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为（如图2所示）．那么对于图中给定的，下列判断中一定正确的是 （ ）
A. 在时刻，甲车在乙车前面
B. 时刻后，甲车在乙车后面
C. 在时刻，两车的位置相同
D. 时刻后，乙车在甲车前面
（2）. (2009山东卷理)函数的图像大致为 ( ).
1
x
y
1
O
A
x
y
O
1
1
B
x
y
O
1
1
C
x
y
1
1
D
O
y
x
O
1
-1
1
5
例3．已知函数满足，且当时，，则与的图象的交点个数为 （ ）
A、2 B、3 C、4 D、5
[巩固]设奇函数f(x)的定义域为R，且对任意实数x满足f(x+1)= -f(x)，若当x∈[0,1]时，f(x)=2x-1,则f()= .
例4．（2009江西卷文）如图所示，一质点在平面上沿曲线运动，
速度大小不 变，其在轴上的投影点的运动速度的图象
大致为 ( )
A B C D
题型3：函数的图象变换
例5．（2008全国文，21）
21．（本小题满分12分）
设，函数．
（Ⅰ）若是函数的极值点，求的值；
（Ⅱ）若函数，在处取得最大值，求的取值范围．
点评：借助函数图像的变换规则解决实际问题。
例6．（2009四川卷文）已知函数是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有
，则的值是 ( )
A. 0 B. C. 1 D.
题型4：函数图象应用
例7．函数与的图像如下图：则函数的图像可能是（ ）
点评：明确函数图像在x轴上下方与函数值符号改变的关系，数值相乘“同号为正、异号为负”。
例8．已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图，求b的范围。
点评：通过观察函数图像，变形函数解析式，得参数的取值范围。
题型5：函数图像变换的应用
例9．已知，方程的实根个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．2或3或4
点评：该题属于“数形结合”的题目。解题思路是将“函数的零点”问题转化为“函数的交点问题”，借助函数的图象以及函数的图象变换规则求得结果即可。
例10．设，若，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
点评：考察函数图像的翻折变换。体现了数学由简到繁的原则，通过研究函数的图像和性质，进而得到的图像和性质。
2.10 函数与方程
（一）知识梳理
1．函数零点
概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。
函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点。
零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点。既存在，使得，这个也就是方程的根。
2.二分法
二分法及步骤：
对于在区间，上连续不断，且满足·的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：
（1）确定区间，，验证·，给定精度；
（2）求区间，的中点；
（3）计算：
①若=，则就是函数的零点；
②若·<，则令=（此时零点）；
③若·<，则令=（此时零点）；
（4）判断是否达到精度；
即若，则得到零点零点值（或）；否则重复步骤2~4。
（二）考点分析
题型1：方程的根与函数零点
例1．（1）方程lgx+x=3的解所在区间为（ ）
A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，+∞)
（2）设a为常数，试讨论方程的实根的个数。
点评：图象法求函数零点，考查学生的数形结合思想。本题是通过构造函数用数形结合法求方程lgx+x=3解所在的区间。数形结合，要在结合方面下功夫。不仅要通过图象直观估计，而且还要计算的邻近两个函数值，通过比较其大小进行判断。
例4．若函数在区间[a,b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，不存在实数使得；
B．若，存在且只存在一个实数使得；
C．若，有可能存在实数使得；
D．若，有可能不存在实数使得；
1.（2009福建文）若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25， 则可以是
A. B.
C. D.
