上海市高考一模数学试题长宁数学文理

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上海市高考一模数学试题长宁数学文理

长宁区2012学年第一学期高三数学质量调研试卷 一、填空题(本大题满分56分)‎ ‎1、计算:= ‎ ‎2、记函数的反函数为如果函数的图像过点,那么函数的图像过点 ‎3、已知口袋里装有同样大小、同样质量的个小球,其中个白球、个黑球,则从口袋中任意摸出个球恰好是白黑的概率为 . (结果精确到)‎ ‎4、展开式中含项的系数为 . ‎ ‎5、设为定义在上的奇函数,当时,(为常数),‎ 则 ‎ ‎6、(理)已知,为的共轭复数,若(是虚数单位),则 .‎ ‎(文)已知z为复数,且,则z= ‎ ‎7、从数列中可以找出无限项构成一个新的等比数列,使得该新数列的各项和为,则此数列的通项公式为 ‎ ‎8、阅读如图所示的程序框图,输出的S值为 ‎9、已知的面积为,则的周长等于 ‎10、给出下列命题中 ‎① 非零向量满足,则的夹角为;‎ ‎② >0,是的夹角为锐角的充要条件;‎ ‎③ 将函数y =的图象按向量=(-1,0)平移,得到的图象对应的函数表达式为y ‎ ‎=;‎ ‎④ 在中,若,则为等腰三角形;‎ 以上命题正确的是 (注:把你认为正确的命题的序号都填上)‎ ‎11、(理)我们知道,在平面中,如果一个凸多边形有内切圆,那么凸多边形的面积S、周长c与内切圆半径r之间的关系为。类比这个结论,在空间中,如果已知一个凸多面体有内切球,且内切球半径为R,那么凸多面体的体积V、表面积S'与内切球半径R之间的关系是 。‎ ‎(文)已知长方体的三条棱长分别为,,,并且该长方体的八个顶点都在一个球的球面上,则此球的表面积为____________.‎ ‎12、 (理)设,若恒成立,则k的最大值为 ‎ ‎(文)已知向量==,若,则的最小值为 ;‎ ‎13、(理)已知函数的值域为,若关于的不等式的解集为,则实数的值为 ‎(文)设为非零实数,偶函数在区间上存在唯一零点,则实数的取值范围是 .‎ ‎14、(理)给出定义:若(其中m为整数),则m叫做离实数x最近的整数,记作,即. 在此基础上给出下列关于函数f (x) = | x – {x}|的四个命题:‎ ‎①函数y = f (x)的定义域是R,值域是;②函数y = f (x)的图像关于直线x =(k∈Z)对称;③函数y = f (x)是周期函数,最小正周期是1;④函数y = f (x)在上是增函数. 则其中真命题是____________(写出所有真命题的序号).‎ ‎(文)已知数列满足,且,且,则数列中项的最大值为 二、选择题(本大题满分20分)‎ ‎15、“φ=”是“函数y=sin(x+φ)为偶函数的”( )‎ A.充分不必要条件           B. 必要不充分条件 ‎ C. 充要条件             D. 既不充分也不必要条件 ‎16、若,则必定是 ( )‎ ‎ A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 ‎17、已知m,n是两条不同直线,是两个不同平面,下列命题中的假命题的是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎18、(理)函数,的图象可能是下列图象中的 ( )[来源:学#科#网]‎ ‎(文)已知函数 ,若则实数的取值范围是( )‎ A B C D ‎ 三、解答题(本大题满分74分)‎ ‎19、(本题满分12分)已知,满足. ‎ ‎(1)将表示为的函数,并求的最小正周期;‎ ‎(2)(理)已知分别为的三个内角对应的边长,若,且,求的取值范围.‎ ‎(文)当时,恒成立,求实数的取值范围。‎ ‎20、(本题满分12分)如图,△中,, ,,在三角形内挖去一个半圆(圆心在边上,半圆与、分别相切于点、,与交于点),将△绕直线旋转一周得到一个旋转体。‎ ‎(1)求该几何体中间一个空心球的表面积的大小;‎ ‎(2)求图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体的体积.‎ B M N C A O 第20题 ‎21、(本题满分14分)(理)经过统计分析,公路上的车流速度(单位:千米/小时)是车流密度(单位:辆/千米)的函数,当公路上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/小时,研究表明:当时,车流速度是车流密度的一次函数.‎ ‎(1)当时,求函数的表达式;‎ ‎(2)当车流密度为多大时,车流量(单位时间内通过公路上某观测点的车辆数,单位:辆/小时)可以达到最大,并求出最大值.(精确到1辆/小时)‎ ‎(文)某工厂生产一种产品的原材料费为每件40元,若用x表示该厂生产这种产品的总件数,则电力与机器保养等费用为每件0.05x元,又该厂职工工资固定支出12500元。‎ ‎ (1)把每件产品的成本费P(x)(元)表示成产品件数x的函数,并求每件产品的最低成本费;‎ ‎ (2)如果该厂生产的这种产品的数量x不超过3000件,且产品能全部销售,根据市场调查:每件产品的销售价Q(x)与产品件数x有如下关系:,试问生产多少件产品,总利润最高?(总利润=总销售额-总的成本)‎ ‎22. (本小题满分18分) (理)已知函数 。[来源:学科网ZXXK]‎ ‎(1)求函数的定义域和值域;‎ ‎(2)设(为实数),求在时的最大值;‎ ‎(3)对(2)中,若对所有的实数及恒成立,求实数的取值范围。‎ ‎(文)已知二次函数。‎ ‎(1)函数在上单调递增,求实数的取值范围;‎ ‎(2)关于的不等式在上恒成立,求实数的取值范围;‎ ‎(3)函数在上是增函数,求实数的取值范围。‎ ‎23.(本题满分18分)‎ ‎ (理) 已知函数时,的值域为,当时,的值域为,依次类推,一般地,当时,的值域为,其中k、m为常数,且 ‎(1)若k=1,求数列的通项公式;‎ ‎(2)若m=2,问是否存在常数,使得数列满足若存在,求k的值;‎ 若不存在,请说明理由;‎ ‎(3)若,设数列的前n项和分别为Sn,Tn,‎ 求 ‎(文)设,等差数列中,,记=,令,数列的前n项和为.‎ ‎(1)求的通项公式和;‎ ‎(2)求证:;‎ ‎(3)是否存在正整数,且,使得成等比数列?若存在,求出的值,若不存在,说明理由.‎ 长宁区2012学年第一学期高三数学期终抽测试卷答案 一、填空题(每小题4分,满分56分)‎ ‎1、 2、 3、 4、1 5、 6、(理), (文)‎ ‎7、 8、 9、 10、①③④ ‎ ‎11、(理),(文) 12、(理),(文) 13、(理) ,(文) ‎ ‎14、(理)①②③,(文)1‎ 二、选择题(每小题5分,满分20分)‎ ‎15、 16、 17、 18、‎ 三、解答题 ‎19、解(1)由得 …………3分 即 所以,其最小正周期为. …………6分 ‎(2)(理)因为,则[来源:学科网ZXXK]‎ ‎.因为为三角形内角,所以…………9分 法一:由正弦定理得,,‎ ‎,,,‎ 所以的取值范围为 …………12分 法二:,因此,‎ 因为,所以,,‎ ‎.又,所以的取值范围为 …………12分 ‎(文)(2),因此的最小值为,…………‎ ‎9分 由恒成立,得,‎ 所以实数的取值范围是. ………12分 ‎20、解(1)连接,则 ‎, …………3分 设,则 ‎,又,所以,…………6分 所以, …………8分 ‎(2)…………12分 ‎21、(理)解(1)由题意:当时,;‎ 当时,设 …………………………2分 ‎ 再由已知得解得 …………………………4分[来源:学科网]‎ ‎ 故函数v(x)的表达式为………………7分 ‎(2)依题意并由(1)可得, …………9分 ‎ 当时,为增函数.故当x=20时,其最大值为60×20=1200;‎ ‎ 当时,‎ ‎ 当且仅当,即时,等号成立. ‎ ‎ 所以,当时,在区间[20,200]上取得最大值. …12分 ‎ 综上,当时,在区间[0,200]上取得最大值. ‎ 即当车流密度为100辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为3333辆/小时. ‎ ‎ …………………………14分 ‎(文)解:(1) ………………………………………3分 ‎ 由基本不等式得 ‎ ‎ 当且仅当,即时,等号成立 ……………………6分 ‎∴,成本的最小值为元. ……………………7分 ‎(2)设总利润为元,则 ‎ ……………10分 ‎ ‎ 当时, ……………………………………………………13分 答:生产件产品时,总利润最高,最高总利润为元.… ……14分 ‎22、(理)解:由1+x≥0且1-x≥0,得-1≤x≤1,所以定义域为 …………2分 又由≥0 得值域为 …………4分 ‎(2)因为 令,则,‎ ‎∴()+t= …………6分 由题意知g(a)即为函数的最大值。‎ 注意到直线是抛物线的对称轴。…………7分 因为a<0时,函数y=m(t), 的图象是开口向下的抛物线的一段,‎ ‎①若,即则 …………8分 ‎②若,即则…………10分 ‎③若,即则 …………11分 综上有 …………12分 ‎(3)易得, …………14分 由对恒成立,‎ 即要使恒成立,…………15分 ‎,令,对所有的成立,‎ 只需 …………17分 求出m的取值范围是. …………18分 ‎(文)解:(1)当时,,不合题意;……………1分 当时,在上不可能单调递增;……………2分 当时,图像对称轴为,‎ 由条件得,得 ……………4分 ‎(2)设, ……………5分 当时,, ……………7分 因为不等式在上恒成立,所以在时的最小值大于或等于2,‎ 所以, , ……………9分 解得。 ……………10分 ‎(3)在上是增函数,设,则,‎ ‎,,……………12分 因为,所以, ……………14分 而, ……………16分 所以 ……………18分 ‎23、(理)解:(1)因为 所以其值域为 …………2分 于是 …………4分 ‎ 又 …………6分 ‎(2)因为 所以……8分 法一:假设存在常数,‎ 使得数列,…………10分 得符合。…………12分 法二:假设存在常数k>0,使得数列满足当k=1不符合。……7分 当,…………9分 则当 ‎ …………12分 ‎(3)因为所以的值域为 …………13分 于是 则 …………14分 因此是以为公比的等比数列,‎ 又则有 …………16分 ‎ ‎ 进而有 ‎…………18分 ‎(文)解:(1)设数列的公差为,由,‎ ‎.解得,=3 , ……………2分 ‎ ∴ ……………4分 ‎∵, ∴Sn==. ……………6分 ‎(2) ‎ ‎∴ ……………8分 ‎∴ ……………10分 ‎(3)由(2)知, ∴,,∵成等比数列.‎ ‎ ∴ ……………12分 ‎ 即 ‎ 当时,7,=1,不合题意;当时,,=16,符合题意;‎ 当时,,无正整数解;当时,,无正整数解;‎ 当时,,无正整数解;当时,,无正整数解;‎ ‎……………15分 当时, ,则,而,‎ 所以,此时不存在正整数m,n,且1
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