高考理科数学专题复习练习4.2三角函数的图象与性质
第四章三角函数、解三角形
4.2三角函数的图象与性质
专题3
三角函数的奇偶性、周期性和对称性
■(2015甘肃省张掖市高考数学4月模拟,三角函数的奇偶性、周期性和对称性,选择题,理9)同时具有性质①最小正周期是π;②图象关于直线x=对称;③在上是增函数的一个函数是( )
A.y=sin B.y=cos
C.y=sin D.y=cos
解析:因为T==π,所以ω=2.故A,D不正确.
对于选项B,如果x=为对称轴,
所以2×=π,y=cosπ=-1,又x∈,所以∈[0,π],y=cos单调递减,不满足③.
对于选项C,因为x=为对称轴,
所以2×,y=sin=1,符合②,又x∈,
所以,y=sin单调递增,符合③.满足题意,
故选C.
答案:C
■(2015甘肃省兰州一中三模,三角函数的奇偶性、周期性和对称性,选择题,理3)已知函数f(x)=sin,若存在a∈(0,π),使得f(x+a)=f(x-a)恒成立,则a的值是( )
A. B. C. D.
解析:由f(x+a)=f(x-a)恒成立,
可得sin=sin,
再由a∈(0,π),可得0<2a<2π,故有2x+2a-=2x-2a-+2π,∴a=.
故选D.
答案:D
■(2015甘肃省嘉峪关一中高考数学三模,三角函数的奇偶性、周期性和对称性,选择题,理12)设函数f(x)是定义在R上的偶函数,对任意x∈R,都有f(x)=f(x+4),且当x∈[-2,0)时,f(x)=-1,若在区间(-2,6]内关于x的方程f(x)-loga(x+2)=0(a>1)恰有三个不同的实数根,则a的取值范围是( )
A.(,2) B.(2,+∞) C.(1,) D.(,2)
解析:设x∈(0,2],则-x∈[-2,0),
∴f(-x)=-1=2x-1,
∵f(x)是定义在R上的偶函数,∴f(x)=f(-x)=2x-1.
∵对任意x∈R,都有f(x)=f(x+4),∴当x∈(0,2]时,x-4∈(-4,-2],
∴f(x)=f(x-4)=2x-4-1;当x∈[-2,0)时,x-4∈[-6,-4),
∴f(x)=f(x-4)=2x-4-1.
∵在区间(-2,6]内关于x的方程f(x)-loga(x+2)=0(a>1)恰有三个不同的实数根,
∴函数y=f(x)与函数y=loga(x+2)在区间(-2,6]上恰有三个交点,
通过画图可知:恰有三个交点的条件是解得
0)个单位后,所得图象对应的函数为奇函数,则m的最小值是( )
A. B. C. D.
解析:f(x)=sinx-cosx=2sin,图象向左平移m(m>0)个单位,
得f(x+m)=2sin,
则由m-=kπ,可解得m=kπ+,k∈Z,m>0,
则当m取得最小值时,函数为奇函数.
故选A.
答案:A
■(2015甘肃省嘉峪关一中高考数学三模,三角函数的图象与变换,选择题,理6)下列函数中,图象的一部分如图所示的是( )
A.y=sin B.y=sin
C.y=cos D.y=cos
解析:根据题意,设y=sin(ωx+α),α∈;
∴,解得T=π,∴ω==2;
又x=时,y=sin=1,∴+α=,解得α=;
∴y=sin,
即y=cos.故选D.
答案:D
专题2
函数y=Asin(ωx+φ)图象及性质的应用
■(2015河南省六市高考数学二模,函数y=Asin(ωx+φ)图象及性质的应用,选择题,理10)为得到函数y=sin的图象,可将函数y=sin x的图象向左平移m个单位长度,或向右平移n个单位长度(m,n均为正数),则|m-n|的最小值是( )
A. B. C.π D.2π
解析:y=sinx的图象向左平移+2kπ个单位长度,即可得到函数y=sin的图象,此时m=+2kπ,k∈Z,y=sinx的图象向右平移+2aπ个单位长度,即可得到函数y=sin的图象,此时n=+2aπ,即|m-n|=,
∴当k-a=1时,|m-n|取得最小值为2π-,故选A.
答案:A
4.4两角和与差的正弦、余弦与正切公式
专题3
两角和与差公式的应用
■(2015河南省洛阳市高考数学二模,两角和与差公式的应用,填空题,理14)已知tan α,tan β分别是lg(6x2-5x+2)=0的两个实根,则tan(α+β)= .
解析:由题意lg(6x2-5x+2)=0,
可得6x2-5x+1=0,tanα,tanβ分别是lg(6x2-5x+2)=0的两个实根,
∴tanα+tanβ=,tanα·tanβ=,
∴tan(α+β)==1.
故答案为1.
答案:1
4.6解三角形
专题1
利用正弦定理、余弦定理解三角形
■(2015河南省洛阳市高考数学二模,利用正弦定理、余弦定理解三角形,选择题,理6)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为S,若S+a2=(b+c)2,则cos A等于( )
A. B.- C. D.-
解析:∵S+a2=(b+c)2,
∴S=b2+c2-a2+2bc,
∴bcsinA=2bccosA+2bc,
化为sinA-4cosA=4,
又sin2A+cos2A=1.
解得cosA=-或cosA=-1.
cosA=-1舍去.
∴cosA=-.
故选D.
答案:D
■(2015河南省六市高考数学二模,利用正弦定理、余弦定理解三角形,解答题,理17)已知函数f(x)=cos xcos.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若f(C)=-,a=2,且△ABC的面积为2,求边长c的值.
解:(1)f(x)=cosxcos
=cosxcos2x-sinxcosx
=sin2x=cos,
∴f(x)的最小正周期T==π;
(2)由题意可得f(C)=cos=-,
∴cos=-1,∴C=.
又△ABC的面积S=absinC=ab=2,
∴ab=8,又=2,∴b=4,
由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcosC=12,
∴c=2.
■(2015甘肃省张掖市高考数学4月模拟,利用正弦定理、余弦定理解三角形,选择题,理3)在△ABC中,∠A=45°,∠C=105°,BC=,则AC为( )
A.-1 B.1 C.2 D.+1
解析:∵∠A=45°,∠C=105°,∴∠B=π-∠A-∠C=30°,
∴由正弦定理可得:AC==1.故选B.
答案:B
■(2015甘肃省嘉峪关一中高考数学三模,利用正弦定理、余弦定理解三角形,解答题,理18)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcos C=3acos B-ccos B.
(1)求cos B的值;
(2)若=2,且b=2,求a和c的值.
解:(1)由正弦定理得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,
则2RsinBcosC=6RsinAcosB-2RsinCcosB,故sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB,
可得sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB,即sin(B+C)=3sinAcosB,
可得sinA=3sinAcosB.又sinA≠0,因此cosB=.
(2)由=2,可得accosB=2,
又cosB=,故ac=6,由b2=a2+c2-2accosB,可得a2+c2=12,
所以(a-c)2=0,即a=c,所以a=c=.
■(2015甘肃省兰州一中三模,利用正弦定理、余弦定理解三角形,解答题,理17)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且=-.
(1)求角B的大小;
(2)若△ABC的面积S=,a=1,求边AC上的中线BD的长.
解:(1)由=-,
可得2sinAcosB+sin(B+C)=0,
即2sinAcosB+sinA=0,
而sinA≠0,所以cosB=-,B=.
(2)因S=acsinB,又S=,a=1,sinB=,则c=4.
由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得b=,
由cosC=,
得,
解得BD=.
■(2015甘肃省嘉峪关一中高考数学三模,利用正弦定理、余弦定理解三角形,选择题,理10)在锐角△ABC中,若A=2B,则的范围是( )
A.() B.(,2) C.(0,2) D.(,2)
解析:∵A=2B,∴根据正弦定理,得=2cosB,
∵A+B+C=180°,∴3B+C=180°,即C=180°-3B,∵C为锐角,∴30°
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