山东省2020届高三下学期开学收心检测数学试题

山东省2020届高三下学期开学收心检测数学试题

高三开学收心检测 数学 考生注意：‎ ‎1．本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．‎ ‎2．请将各题答案填写在答题卡上．‎ ‎3．本试卷主要考试内容：高考全部内容．‎ 第I卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.设集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别解对数不等式，一元二次不等式求出集合A,B，直接进行交集运算.‎ ‎【详解】因为，或，‎ 所以.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查集合的交集运算，涉及对数不等式、一元二次不等式，属于基础题.‎ ‎2.已知复数，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数除法、加法运算，化简求得，再求得 ‎【详解】，故.‎ 故选：B ‎【点睛】本小题主要考查复数的除法运算、加法运算，考查复数的模，属于基础题.‎ ‎3.设，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用“分段法”比较出三者的大小关系.‎ ‎【详解】因为，，，所以.‎ 故选：C ‎【点睛】本小题主要考查指数、对数比较大小，属于基础题.‎ ‎4.函数的最小正周期为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用降次公式化简表达式，再由此求得最小正周期.‎ ‎【详解】因为，所以最小正周期为.‎ 故选：D ‎【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式，考查三角函数最小正周期的求法，属于基础题.‎ ‎5.“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对数函数的定义域及单调性，可得的关系，结合充分必要条件性质即可判断.‎ ‎【详解】若，根据对数函数的定义域及单调性可知，可得，因而具有充分关系；‎ 若，则，当时对数函数无意义，因而不具有必要性；‎ 综上可知“”是“”的充分不必要条件 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了充分必要条件的定义域判断，对数函数与图像性质的应用，属于基础题.‎ ‎6.已知抛物线的焦点为，为上一点且在第一象限，以为圆心，为半径的圆交的准线于，两点，且三点共线，则（ ）‎ A. 12 B. ‎10 ‎C. 6 D. 8‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设准线与轴交于，由已知可得为圆的直径，，轴，可得，再由抛物线的定义，即可求解.‎ ‎【详解】因为三点共线，所以为圆的直径，‎ ‎，轴，为中点，‎ 因为到准线的距离为6，所以 ‎ 由抛物线定义知，‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查抛物线的定义、标准方程及其性质，考查圆的性质，考查了推理能力，属于中档题.‎ ‎7.已知函数是偶函数，当时，，则曲线在处的切线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据函数的奇偶性，求得当时，的解析式，然后求得切点坐标，利用导数求得斜率，从而求得切线方程.‎ ‎【详解】因为，，，，，所以曲线在处的切线方程为，即.‎ 故选：A ‎【点睛】本小题主要考查根据函数奇偶性求函数解析式，考查利用导数求切线方程，属于基础题.‎ ‎8.在四面体中，且，，，所成的角为30°，，，，则四面体的体积为( )‎ A. 8 B. ‎6 ‎C. 7 D. 5‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出的面积，再求出点到面的距离，然后结合棱锥体积公式求解即可.‎ ‎【详解】解：由题意，如图所示，，，过点作的平行线，则平面，且为30°或150°，‎ 从点向作垂线，垂足为，‎ 易证平面.‎ 则点到平面的距离，‎ ‎，‎ 则四面体的体积为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查了棱锥体积公式，重点考查了运算能力，属中档题.‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．‎ ‎9.一组数据，，，…，的平均值为7，方差为4，记，，，…，的平均值为a，方差为b，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】BD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据所给平均数与方差，可由随机变量均值与方差公式求得，进而求得平均值为a，方差为b.‎ ‎【详解】设，‎ 数据，，，…，的平均值为7，方差为4，‎ 即，‎ 由离散型随机变量均值公式可得所以,‎ 因而，，，…，的平均值为 ‎；‎ 由离散型随机变量的方差公式可得所以,‎ 因而，，，…，的方差为 ‎，‎ 故选：BD.‎ ‎【点睛】本题考查了离散型随机变量均值与方差公式的简单应用，属于基础题.‎ ‎10.设为三条不同的直线，为两个不同的平面，则下面结论正确的是（ ）‎ A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. ，则 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据线线、线面、面面位置关系，对选项逐一分析，由此确定结论正确的选项.‎ ‎【详解】A选项中，可能异面；B选项中，也可能平行或相交；D选项中，只有相交才可推出.C选项可以理解为两个相互垂直的平面，它们的法向量相互垂直.‎ 故选：C ‎【点睛】本小题主要考查线线、线面和面面位置关系命题真假性判断，属于基础题.‎ ‎11.在三棱锥D-ABC中，，且，，M，N分别是棱BC，CD的中点，下面结论正确的是（ ）‎ A. B. 平面ABD C. 三棱锥A-CMN的体积的最大值为 D. AD与BC一定不垂直 ‎【答案】ABD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意画出三棱锥D-ABC，取中点，连接：对于A，根据等腰三角形性质及线面垂直判定定理可证明平面，从而即可判断A；对于B，由中位线定理及线面平行判定定理即可证明；对于C，当平面平面时，三棱锥A-CMN的体积最大，由线段关系及三棱锥体积公式即可求解；对于D，假设，通过线面垂直判定定理可得矛盾，从而说明假设不成立，即可说明原命题成立即可.‎ ‎【详解】根据题意，画出三棱锥D-ABC如下图所示，取中点，连接：‎ 对于A，因为，且，，‎ 所以为等腰直角三角形，‎ 则且，‎ 则平面，‎ 所以，即A正确；‎ 对于B，因为M，N分别是棱BC，CD的中点，‎ 由中位线定理可得，而平面，平面，‎ 所以平面，即B正确；‎ 对于C，当平面平面时，三棱锥A-CMN的体积最大，‎ 则最大值为，即C错误；‎ 对于D，假设，由,且,‎ 所以平面，则，‎ 又因为，且，‎ 所以平面，由平面，则，‎ 由题意可知，因而不能成立，因而假设错误，所以D正确；‎ 综上可知，正确的为ABD，‎ 故选：ABD.‎ ‎【点睛】本题考查了空间几何体的性质及综合应用，三棱锥体积公式，线面平行、线面垂直的判定定理及性质应用，属于中档题.‎ ‎12.定义：若函数在区间上的值域为，则称区间是函数的“‎ 完美区间”，另外，定义区间的“复区间长度”为，已知函数，则（ ）‎ A. 是的一个“完美区间”‎ B. 是的一个“完美区间”‎ C. 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为 D. 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为 ‎【答案】AC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据定义，当时求得的值域，即可判断A；对于B，结合函数值域特点即可判断；对于C、D，讨论与两种情况，分别结合定义求得“复区间长度”，即可判断选项.‎ ‎【详解】对于A，当时，，则其值域为，满足定义域与值域的范围相同，因而满足“完美区间”定义，所以A正确；‎ 对于B，因为函数，所以其值域为，而，所以不存在定义域与值域范围相同情况，所以B错误；‎ 对于C，由定义域为，可知，‎ 当时，，此时，所以在内单调递减，‎ 则满足，化简可得，‎ 即，所以或，‎ 解得（舍）或，‎ 由解得或（舍），‎ 所以，经检验满足原方程组，所以此时完美区间为，则“复区间长度”为；‎ 当时，①若，则，此时.当在的值域为，则，因为 ，所以，即满足，解得，（舍）.所以此时完美区间为，则“复区间长度”为；‎ ‎②若，则，，此时在内单调递增，若的值域为，则，则为方程的两个不等式实数根，‎ 解得，， 所以，与矛盾，所以此时不存在完美区间.‎ 综上可知，函数的“复区间长度”的和为，所以C正确，D错误；‎ 故选：AC.‎ ‎【点睛】本题考查了函数新定义的综合应用，由函数单调性判断函数的值域，函数与方程的综合应用，分类讨论思想的综合应用，属于难题.‎ 第Ⅱ卷 三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13.已知向量，的夹角为，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用两个向量夹角计算公式，求得的值，再根据同角三角函数的基本关系式求得 的值.‎ ‎【详解】依题意，所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查向量夹角的坐标运算，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.‎ ‎14.展开式中常数项为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得二项展开式的通项，令，解得，代入即可得到展开式的常数项．‎ ‎【详解】由题意，二项展开式的通项为，‎ 令，解得，所以常数项为．‎ ‎【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎15.左手掷一粒骰子，右手掷一枚硬币，则事件“骰子向上为6点且硬币向上为正面”的概率为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求得骰子向上为6点和硬币向上为正面概率，由独立事件概率公式即可求解.‎ ‎【详解】骰子向上为6点的概率为；‎ 硬币向上为正面的概率为；‎ 由独立事件概率公式可知“骰子向上为6点且硬币向上为正面”的概率为，‎ 故答案为：.‎ 点睛】本题考查了古典概型概率求法，独立事件概率乘法公式应用，属于基础题.‎ ‎16.已知抛物线的准线与x轴的交点为H，点F为抛物线的焦点，点P在抛物线上且，当k最大时，点P恰好在以H，F为焦点的双曲线上，则k的最大值为_____，此时该双曲线的离心率为_____．‎ ‎【答案】 (1). 1 (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出抛物线，过作抛物线准线于，连接，设直线的倾斜角为，由抛物线定义可得，由题意当k最大时，取得最小值.而当取得最小时，直线与抛物线相切，设出直线方程，联立抛物线可求得，进而得切点坐标，即可由双曲线定义及几何性质求得离心率.‎ ‎【详解】根据题意画出抛物线，过作抛物线准线于，连接.‎ 由抛物线定义可知，由，（），‎ 设直线的倾斜角为，则，‎ 可得，‎ 当k最大时，取得最小值，且，‎ 当取得最小值时直线与抛物线相切，‎ 设直线的方程为，‎ 则，化简可得，‎ 因为直线与抛物线相切，则，‎ 解得，由可得，同时可得切点横坐标为，‎ 将切点横坐标带入抛物线可得，‎ 因为点P恰好在以H，F为焦点的双曲线上，‎ 由双曲线定义及两点间距离公式可得，‎ ‎，‎ 所以双曲线离心率为，‎ 故答案为：1；.‎ ‎【点睛】本题考查了抛物线定义及几何性质的应用，双曲线定义及几何性质应用，直线与抛物线相切位置关系的应用，属于中档题.‎ 四，解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17.在①，②，③三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．‎ 已知内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若_____，且a，b，c成等差数列，则是否为等边三角形？若是，写出证明；若不是，说明理由．‎ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．‎ ‎【答案】①；证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 选择①：由余弦降幂公式代入即可求得，结合a，b，c成等差数列可得，‎ ‎，代入余弦定理公式，即可得，结合等式可求得，进而证明为等边三角形.‎ ‎【详解】选择①，‎ 证明：则由余弦降幂公式可得，‎ 即，‎ 由可得，‎ 又因为a，b，c成等差数列，则B为锐角，‎ 则，，‎ 由余弦定理可知，‎ 代入可得，即，‎ 则，化简可得，‎ 即，又因为，‎ 所以为等边三角形.‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数解析式的化简应用，余弦降幂公式化简三角函数式，余弦定理解三角形，等差中项性质的应用，综合性较强，属于中档题.‎ ‎18.已知数列满足．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设数列的前项和为，证明：．‎ ‎【答案】（1）（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1），①当时，，②两式相减即得数列的通项公式；（2）先求出，再利用裂项相消法求和证明.‎ ‎【详解】（1）解：，①‎ 当时，．‎ 当时，，②‎ 由①-②，得，‎ 因为符合上式，所以．‎ ‎（2）证明：‎ 因为，所以．‎ ‎【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎19.如图，在四棱锥中，是边长为4的正方形，平面，分别为的中点.‎ ‎（1）证明：平面.‎ ‎（2）若，求二面角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）记的中点为，连接，，通过证明，且推出四边形为平行四边形，则，由线线平行推出线面平行；（2）以为原点建立空间直角坐标系，分别求出平面、平面的法向量，代入即可求得二面角的余弦值从而求正弦值.‎ ‎【详解】（1）证明：记的中点为，连接，.‎ 因为分别为的中点，‎ 则，且.‎ 因为，且，‎ 所以，且，‎ 所以四边形为平行四边形，‎ 则.‎ 又平面，平面，‎ 所以平面.‎ ‎（2）以为原点，分别以，，为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则，，，，‎ 设平面的法向量，‎ 则 令，则 设平面的法向量为，‎ 则 令，则.‎ ‎，‎ 设二面角为，则，‎ 即二面角的正弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查线面平行的证明，空间向量法求二面角的余弦值，属于中档题.‎ ‎20.生男生女都一样，女儿也是传后人.由于某些地区仍然存在封建传统思想，头胎的男女情况可能会影响生二孩的意愿，现随机抽取某地200户家庭进行调查统计.这200户家庭中，头胎为女孩的频率为0.5，生二孩的频率为0.525，其中头胎生女孩且生二孩的家庭数为60.‎ ‎（1）完成下列列联表，并判断能否有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关；‎ 生二孩 不生二孩 合计 头胎为女孩 ‎60‎ 头胎为男孩 合计 ‎200‎ ‎（2）在抽取的200户家庭的样本中，按照分层抽样的方法在生二孩的家庭中抽取了7户，进一步了解情况，在抽取的7户中再随机抽取4户，求抽到的头胎是女孩的家庭户数的分布列及数学期望.‎ 附：‎ ‎0.15‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎（其中）.‎ ‎【答案】（1）见解析，有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关.（2）分布列见解析，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题目所给数据，计算并填写出列联表，计算出的值，由此判断出有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关.‎ ‎（2）利用超几何分布分布列和数学期望计算公式，计算出所求的分布列及数学期望.‎ ‎【详解】（1）因为头胎为女孩的频率为0.5，所以头胎为女孩的总户数为.‎ 因为生二孩的概率为0.525，所以生二孩的总户数为.‎ 列联表如下：‎ 生二孩 不生二孩 合计 头胎为女孩 ‎60‎ ‎40‎ ‎100‎ 头胎为男孩 ‎45‎ ‎55‎ ‎10‎ 合计 ‎105‎ ‎95‎ ‎200‎ ‎，‎ 故有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关.‎ ‎（2）在抽取的200户家庭的样本中，按照分层抽样的方法在生二孩的家庭中抽取了7户，则这7户家庭中，头胎生女孩的户数为4，头胎生男孩的户数为3，则的可能取值为1，2，3，4.‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎.‎ 的分布列为 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎.‎ ‎【点睛】本小题主要考查列联表独立性检验，考查超几何分布的分布列和数学期望的计算，属于基础题.‎ ‎21.已知分别为椭圆的左、右焦点，为该椭圆的一条垂直于轴的动弦，直线与轴交于点，直线与直线的交点为.‎ ‎（1）证明：点恒在椭圆上.‎ ‎（2）设直线与椭圆只有一个公共点，直线与直线相交于点，在平面内是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出该点坐标；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）存在，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意求得的坐标，设出的坐标，求得直线的方程，由此求得的坐标，代入椭圆方程的左边，化简后得到，由此判断出恒在椭圆上.‎ ‎（2）首先判断直线的斜率是否存在.然后当直线斜率存在时，设出直线的方程，判断出的位置并设出的坐标.联立直线的方程和椭圆方程，化简后利用判别式等于零求得的关系式，进而求得的坐标，结合点坐标以及，利用列方程，结合等式恒成立求得的坐标.‎ ‎【详解】（1）证明：由题意知，设，则.‎ 直线的方程为，直线的方程为，‎ 联立可得，，即的坐标为.‎ 因为，‎ 所以点恒在椭圆上.‎ ‎（2）解：当直线的斜率不存在时，不符合题意.不妨设直线的方程为，由对称性可知，若平面内存在定点，使得恒成立，则一定在轴上，故设，‎ 由可得.‎ 因为直线与椭圆只有一个公共点，‎ 所以，‎ 所以.‎ 又因为，所以，‎ 即.‎ 所以对于任意的满足的恒成立，‎ 所以解得.‎ 故在平面内存在定点，使得恒成立.‎ ‎【点睛】本小题主要考查直线与直线交点坐标，考查点与椭圆的位置关系，考查直线和椭圆的位置关系，考查恒成立问题的求解，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.‎ ‎22.已知函数，.‎ ‎（1）设函数，讨论的单调性；‎ ‎（2）设函数，若的图象与的图象有，两个不同的交点，证明：.‎ ‎【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出的表达式并求导，分类讨论的单调性；（2）由题意可得有两个不同的根，则①，②， 消去参数得，构造函数 求导研究函数单调性并利用放缩法推出，再次构造函数，通过证明来证明.‎ ‎【详解】（1），定义域为，‎ ‎.‎ 当时，在上单调递增，在上单调递减.‎ 当时，令，得，所以在，上单调递增；‎ 令，得，所以在上单调递减.‎ 当时，，在上单调递增.‎ 当时，令，得，所以在，上单调递增；‎ 令，得，所以在上单调递减.‎ ‎（2），‎ 因为函数的图象与的图象有两个不同的交点，‎ 所以关于的方程，即有两个不同的根.‎ 由题知①，②，‎ ‎①+②得③，‎ ‎②-①得④.‎ 由③，④得，不妨设，记.‎ 令，则，‎ 所以在上单调递增，所以，‎ 则，即，所以.‎ 因为 所以，即.‎ 令，则在上单调递增.‎ 又，所以，‎ 即，所以.‎ 两边同时取对数可得，得证.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的性质，利用导数研究含参函数的零点问题及单调性问题，利用导数证明不等式，属于难题.‎