【数学】安徽省定远县育才学校2020届高三5月模拟考试（文）（解析版）

【数学】安徽省定远县育才学校2020届高三5月模拟考试（文）（解析版）

安徽省定远县育才学校2020届高三5月模拟考试（文）‎ 第I卷 选择题（共60分）‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。) ‎ ‎1.设全集，集合，，则 ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎2.已知复数，为虚数单位，则 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎3.在中， ，点为边上一点，且，则 ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎4.运行如图所示的程序框图，输出的x是 ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎5.部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形.谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出.具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形，如图.‎ 现在上述图(3)中随机选取一个点，则此点取自阴影部分的概率为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.若函数的图象向左平移个单位长度后关于轴对称，则函数在区间上的最小值为 ‎ A. B. C. 1 D. ‎ ‎7.设等差数列的前n项和为，若，则的值等于 ‎ A. 54 B. 45 C. 36 D. 27‎ ‎8.函数的部分图像大致是 ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎9.已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.在正方体中，点M，N分别是线段和上不重合的两个动点，则下列结论正确的是 ‎ A. B. ‎ C. 平面平面 D. 平面平面 ‎11.已知函数与，则函数 在区间上所有零点的和为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎12.已知 是双曲线上一点，是左焦点，是右支上一点， 与的内切圆切于点，则的最小值为 ‎ A. B. C. D. ‎ 第II卷 非选择题（共90分）‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) ‎ ‎13.若x，y满足约束条件，则的最小值为______．‎ ‎14.某学校为了调查学生在学科教辅书方面的支出情况，抽出了一个容量为的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出的钱数在的同学比支出的钱数在的同学多26人，则的值为__________．‎ ‎ ‎ ‎15.如图所示，平面BCC1B1⊥平面ABC，ÐABC＝120°，四边形BCC1B1为正方形，且AB＝BC＝2，则异面直线BC1与AC所成角的余弦值为_____．‎ ‎16.设椭圆的一个焦点为，点为椭圆内一点，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是_____．‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)‎ ‎17. （本小题满分12分）‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若，求 的面积.‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 随着“互联网+交通”模式的迅猛发展，“共享自行车”在很多城市相继出现。某运营公司为了了解某地区用户对其所提供的服务的满意度，随机调查了40个用户，得到用户的满意度评分如下：‎ 用户编号 评分 用户编号 评分 用户编号 评分 用户编号 评分 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎78‎ ‎73‎ ‎81‎ ‎92‎ ‎95‎ ‎85‎ ‎79‎ ‎84‎ ‎63‎ ‎86‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎88‎ ‎86‎ ‎95‎ ‎76‎ ‎97‎ ‎78‎ ‎88‎ ‎82‎ ‎76‎ ‎89‎ ‎21‎ ‎22‎ ‎23‎ ‎24‎ ‎25‎ ‎26‎ ‎27‎ ‎28‎ ‎29‎ ‎30‎ ‎79‎ ‎83‎ ‎72‎ ‎74‎ ‎91‎ ‎66‎ ‎80‎ ‎83‎ ‎74‎ ‎82‎ ‎31‎ ‎32‎ ‎33‎ ‎34‎ ‎35‎ ‎36‎ ‎37‎ ‎38‎ ‎39‎ ‎40‎ ‎93‎ ‎78‎ ‎75‎ ‎81‎ ‎84‎ ‎77‎ ‎81‎ ‎76‎ ‎85‎ ‎89‎ 用系统抽样法从40名用户中抽取容量为10的样本，且在第一分段里随机抽到的评分数据为92.‎ ‎（1）请你列出抽到的10个样本的评分数据；‎ ‎（2）计算所抽到的10个样本的均值和方差；‎ ‎（3）在（2）条件下，若用户的满意度评分在之间，则满意度等级为“级”。试应用样本估计总体的思想，根据所抽到的10个样本，估计该地区满意度等级为“级”的用户所占的百分比是多少？‎ ‎（参考数据：）‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 四棱锥中，底面是边长为的菱形，，是等边三角形，为的中点，.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若在线段上，且，能否在棱上找到一点，使平面平面？若存在，求四面体的体积.‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 已知抛物线的焦点为，定点与点在抛物线的两侧，抛物线上的动点到点的距离与到其准线的距离之和的最小值为．‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）设直线与圆和抛物线交于四个不同点，从左到右依次为，且是与抛物线的交点，若直线的倾斜角互补，求的值．‎ ‎21（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ 求的单调区间；‎ 若在区间上恒成立，求实数a的取值范围．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知三点， ， ．‎ ‎（1）求经过， ， 三点的圆的极坐标方程；‎ ‎（2）以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆的参数方程为（是参数），若圆与圆外切，求实数的值．‎ ‎23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ 参考答案 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ B B D A A A A D A A D B ‎1.B 利用指数函数的性质化简集合，利用由一元二次不等式的解法化简集合，利用补集与交集的定义求解即可.‎ 因为 ，‎ 又因为 ，‎ ‎，故选B.‎ ‎2.B ‎ 先化简复数z求出z，再求.‎ 由题得，‎ 所以.故答案为：B ‎3.D ‎ 3.∵‎ ‎∴。故选D. ‎ ‎4.A ‎ 模拟运行如图所示的程序框图知，‎ 该程序运行后输出的．故选：A．‎ ‎5.A ‎ 由归纳推理得：设图（3）中1个小阴影三角形的面积为S，则图（3）中阴影部分的面积为：9S，又图（3）中大三角形的面积为16S，由几何概型中的面积型得解 设图（3）中1个小阴影三角形的面积为S，‎ 则图（3）中阴影部分的面积为：9S，‎ 又图（3）中大三角形的面积为16S，‎ 由几何概型中的面积型可得：‎ 此点取自阴影部分的概率为，故选：A.‎ ‎6.A ‎ 利用三角函数图象的变化规律求得：，利用对称性求得，由时，可得，由正弦函数的单调性可得结果.‎ 函数的图象向左平移个单位长度后，‎ 图象所对应解析式为：，‎ 由关于轴对称，则，‎ 可得，，又，所以，‎ 即，‎ 当时，所以，，故选A．‎ ‎7.A ‎ ‎ ‎8.D ‎ 为奇函数，图象关于原点对称，排除；当时，设，则，即在区间上递增，且，又在区间上，排除B；当时， ，排除C，故选D.‎ ‎9.A ‎ 先证明恒成立，得函数在上递减，即当时，恒成立，问题转化为恒成立，即可求出a的范围．‎ 设则，当时，‎ 所以在上递增，得 所以当时，恒成立.‎ 若不等式在上恒成立，得函数在上递减，‎ 即当时，恒成立，所以 即，可得恒成立，因为,所以，故选：．‎ ‎10.A ‎ 利用排除法，由与重合排除选项；由与重合且与重合排除选项；‎ 与重合时，排除选项，从而可得结果.‎ 与重合时，不成立，排除选项；‎ 与重合且与重合时，平面平面不成立，排除选项；‎ 与重合时，平面平面不成立，排除选项.故选A.‎ ‎11.D ‎ 在区间上所有零点的和，等价于函数的图象交点横坐标的和，画出函数的图象，根据函数的图象关于点对称可得结果.‎ 在区间上所有零点的和，‎ 等价于函数的图象交点横坐标的和，‎ 画出函数的图象，‎ 函数的图象关于点对称，则共有8个零点，其和为16. 故选D.‎ ‎12.B ‎ 由内切圆得到,利用三角形边的关系及双曲线定义即可求解.‎ 与的内切圆切于点，∴,由双曲线定义= ,当且仅当A,B,共线时取等故选：B ‎13.-1‎ ‎ 画出约束条件表示的平面区域，由图形求出最优解，再计算目标函数的最小值．‎ 画出约束条件表示的平面区域如图所示，‎ 由图形知，当目标函数过点A时取得最小值，由，解得，代入计算，所以的最小值为．‎ 故答案为：．‎ ‎14. 由频率分布直方图可得支出的钱数在的同学有个，支出的钱数在的同学有个，又支出的钱数在的同学比支出的钱数在的同学多26人，所以 故答案为100‎ ‎15. 将平移到和相交的位置，解三角形求得线线角的余弦值.‎ 过作，过作，画出图像如下图所示，由于四边形是平行四边形，故，所以是所求线线角或其补角.在三角形中，，故.‎ ‎16. 因为点为椭圆内一点，所以，设左焦点，则，又，所以 ‎，也就是即，从而.‎ ‎17.(1) (2) ‎ ‎ （1）因为 ，所以有，由正弦定理可得，因 ，故，所以得到，∵ 所以. ‎ ‎（2）法1:根据正弦定理，于是可得.∵ ， ∴，又因为，由余弦定理得，两式联立得，解得或（负值舍去）.∴.‎ 法2：因为，所以，代入得，所以.因为，所以.根据正弦定理，于是可得，∴ ‎ ‎18.（1）通过系统抽样抽取的样本编号为：4，8，12，16，20，24，28，32，36，40 ‎ 则样本的评分数据为：92，84，86，78，89，74，83，78，77，89. ‎ ‎（2）由（1）中的样本评分数据可得 ‎，‎ 则有 ‎ ‎ 所以均值，方差.‎ ‎（3）由题意知评分在即之间满意度等级为“A级”， ‎ 由（1）中容量为10的样本评分在之间有5人，‎ 则该地区满意度等级为“A级”的用户所占的百分比约为 ‎19.（1）连接PF，BD由三线合一可得AD⊥BF，AD⊥PF，故而AD⊥平面PBF，于是AD⊥PB；‎ ‎（2）先证明PF⊥平面ABCD，再作PF的平行线，根据相似找到G，再利用等积转化求体积．连接PF，BD,‎ ‎∵是等边三角形，F为AD的中点，‎ ‎∴PF⊥AD，‎ ‎∵底面ABCD是菱形，，‎ ‎∴△ABD是等边三角形，∵F为AD的中点，‎ ‎∴BF⊥AD，‎ 又PF，BF⊂平面PBF，PF∩BF＝F，‎ ‎∴AD⊥平面PBF，∵PB⊂平面PBF，‎ ‎∴AD⊥PB．‎ ‎（2）由（1）得BF⊥AD，又∵PD⊥BF，AD，PD⊂平面PAD，‎ ‎∴BF⊥平面PAD，又BF⊂平面ABCD，‎ ‎∴平面PAD⊥平面ABCD，‎ 由（1）得PF⊥AD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，‎ ‎∴PF⊥平面ABCD，‎ 连接FC交DE于H,则△HEC与△HDF相似，又，∴CH=CF，‎ ‎∴在△PFC中,过H作GHPF交PC于G，则GH⊥平面ABCD，又GH面GED，则面GED⊥平面ABCD，‎ 此时CG=CP,‎ ‎∴四面体的体积．‎ 所以存在G满足CG=CP, 使平面平面，且.‎ ‎20. （1）过作于，则，‎ 当共线时，取最小值．‎ 解得或．‎ 当时，抛物线的方程为，‎ 此时，点与点在抛物线同侧，这与已知不符．‎ ‎∴，抛物线的方程为．‎ ‎（2），设，‎ 由，得，‎ 所以，，且由得．‎ 因为直线的倾斜角互补，所以，‎ ‎∵，‎ ‎∴，即，‎ ‎，‎ ‎，，‎ 由，得，‎ 所以，‎ ‎．‎ ‎21.. ．‎ ‎，‎ 由得，，‎ 当时，在或时 ，‎ 在时，‎ 的单调增区间是和，单调减区间是；‎ 当时，在时，‎ 的单调增区间是；‎ 当时，在或时，‎ 在时．‎ 的单调增区间是和，单调减区间是．‎ 由可知在区间上只可能有极小值点，‎ 在区间上的最大值在区间的端点处取到，‎ 即有且，‎ 解得．‎ 即实数a的取值范围是．‎ ‎22.（1）；（2）．‎ ‎ （1）对应的直角坐标分别为，则过的圆的普通方程为，又因为，代入可求得经过的圆的极坐标方程为。‎ ‎（2）圆（是参数）对应的普通方程为，因为圆与圆外切，所以，解得。‎ ‎23.（1）或；（2）‎ ‎ ‎ ‎∵函数，∴当时， ；当时， ；‎ 当时， ‎ ‎（1）当时，不等式化为，解得，‎ 当时，不等式化为，无解，‎ 当时，不等式化为，解得，‎ 综上，不等式的解集为或 ‎ ‎（2） 由上述可知的最小值为9，因为不等式恒成立，所以，所以，故实数的取值范围为