高考数学复习 3年高考2年模拟3不等式
【3年高考2年模拟】第3章不等式第一部分
三年高考荟萃
2012年高考试题分类解析
一、选择题
．（2012天津文）设变量满足约束条件,则目标函数的最小值为 （ ）
A． B． C． D．3
．（2012浙江文）若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是 （ ）
A． B． C．5 D．6
．（2012辽宁文理）设变量x,y满足则2x+3y的最大值为 （ ）
A．20 B．35 C．45 D．55
．（2012辽宁理）若,则下列不等式恒成立的是 （ ）
A． B．
C． D．
．（2012重庆文）不等式 的解集是为 （ ）
A． B． C．(-2,1) D．∪
．（2012重庆理）设平面点集,则所表示的平面图形的面积为 （ ）
A． B． C． D．
．（2012重庆理）不等式的解集为 （ ）
A． B． C． D．
．（2012四川文）若变量满足约束条件,则的最大值是 （ ）
A．12 B．26 C．28 D．33
．（2012四川理）某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗原料1千克、原料2千克;生产乙产品1桶需耗原料2千克,原料1千克.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗、原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是 （ ）
A．1800元 B．2400元 C．2800元 D．3100元
．（2012陕西文）小王从甲地到乙地的时速分别为a和b(a
b>1, ,给出下列三个结论:
① > ;② < ; ③ ,
其中所有的正确结论的序号是. （ ）
A．① B．① ② C．② ③ D．①②③
．（2012广东文）(线性规划)已知变量、满足约束条件,则的最小值为 （ ）
A．3 B．1 C． D．
．（2012福建文）若直线上存在点满足约束条件,则实数的最大值为 （ ）
A．-1 B．1 C． D．2
．（2012安徽文）若满足约束条件:;则的最小值是 （ ）
A． B． C． D．
．（2012江西理）某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过50亩,投入资金不超过54万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表
年产量/亩
年种植成本/亩
每吨售价
黄瓜
4吨
1.2万元
0.55万元
韭菜
6吨
0.9万元
0.3万元
为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位:亩)分别为 （ ）
A．50,0 B．30.0 C．20,30 D．0,50
．（2012湖北理）设是正数,且,,,则 （ ）
A． B． C． D．
．（2012广东理）已知变量、满足约束条件,则的最大值为 （ ）
A．12 B．11 C．3 D．
．（2012福建理）若函数图像上存在点满足约束条件,则实数的最大值为 （ ）
A． B．1 C． D．2
．（2012福建理）下列不等式一定成立的是 （ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
．（2012浙江文）设z=x+2y,其中实数x,y满足, 则z的取值范围是_________.
．（2012四川文）设为正实数,现有下列命题:
①若,则;
②若,则;
③若,则;
④若,则.
其中的真命题有____________.(写出所有真命题的编号)
．（2012江西文）不等式的解集是___________.
．（2012湖南文）不等式的解集为______。
．（2012湖北文）若变量满足约束条件,则目标函数的最小值是________.
．（2012大纲文）若函数,则的最小值为_____.
．（2012新课标理）设满足约束条件:;则的取值范围为_______
．（2012浙江理）设aR,若x>0时均有[(a-1)x-1]( x 2-ax-1)≥0,则a=______________.
．（2012上海春）若不等式对恒成立,则实数的取值范围是______.
．（2012陕西理）x
y
1
-1
设函数,是由轴和曲线及该曲线在点处的切线所围成的封闭区域,则在上的最大值为___________.
．（2012江苏）已知正数满足:则的取值范围是____.
．（2012江苏）已知函数的值域为,若关于x的不等式
的解集为,则实数c的值为____.
．（2012大纲理）若满足约束条件,则的最小值为_________________.
．（2012安徽理）若满足约束条件:;则的取值范围为
参考答案
一、选择题
【解析】做出不等式对应的可行域如图,由得,由图象可知当直线经过点时,直线的截距最大,而此时最小为,选B.
【答案】C
【命题意图】本题考查了基本不等式证明中的方法技巧.
【解析】x+3y=5xy,,
.
【答案】D
【解析】画出可行域,根据图形可知当x=5,y=15时2x+3y最大,最大值为55,故选D
【点评】本题主要考查简单线性规划问题,难度适中.该类题通常可以先作图,找到最优解求出最值,也可以直接求出可行域的顶点坐标,代入目标函数进行验证确定出最值.
【答案】C
【解析】设,则
所以所以当时,
同理即,故选C
【点评】本题主要考查导数公式,以及利用导数,通过函数的单调性与最值来证明不等式,考查转化思想、推理论证能力、以及运算能力,难度较大.
【答案】:C
【解析】:
【考点定位】本题考查解分式不等式时,利用等价变形转化为整式不等式解.
【答案】D
【考点定位】本小题主要考查二元一次不等式(组)与平面区域,圆的方程等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,化归与转化思想,属于基础题.
【答案】A
【解析】
【考点定位】本题主要考查了分式不等式的解法,解题的关键是灵活运用不等式的性质,属于基础试题,属基本题.
[答案]C
[解析]目标函数可以变形为
,做函数的平行线,
当其经过点B(4,4)时截距最大时,
即z有最大值为=.
[点评]解决线性规划题目的常规步骤:
一列(列出约束条件)、
二画(画出可行域)、
三作(作目标函数变形式的平行线)、
四求(求出最优解).
[答案]C
[解析]设公司每天生产甲种产品X桶,乙种产品Y桶,公司共可获得 利润为Z元/天,则由已知,得 Z=300X+400Y
且
画可行域如图所示,
目标函数Z=300X+400Y可变形为
Y= 这是随Z变化的一族平行直线
解方程组 即A(4,4)
[点评]解决线性规划题目的常规步骤:一列(列出约束条件)、二画(画出可行域)、三作(作目标函数变形式的平行线)、四求(求出最优解).
解析:设从甲地到乙地距离为,则全程的平均时速,因为,
,故选A.
解析:作出可行域,直线,将直线平移至点处有最大值,
点处有最小值,即.答案应选A.
【命题意图】本题主要考查简单线性规划解法,是简单题.
【解析】有题设知C(1+,2),作出直线:,平移直线,有图像知,直线过B点时,=2,过C时,=,∴取值范围为(1-,2),故选A.
【答案】D
【解析】由不等式及a>b>1知,又,所以>,①正确;由指数函数的图像与性质知②正确;由a>b>1,知,由对数函数的图像与性质知③正确.
【点评】本题考查函数概念与基本初等函数Ⅰ中的指数函数的图像与性质、对数函数的图像与性质,不等关系,考查了数形结合的思想.函数概念与基本初等函数Ⅰ是常考知识点.
解析:C.画出可行域,可知当代表直线过点时,取到最小值.联立,解得,所以的最小值为.
【答案】B
【解析】与的交点为,所以只有才能符合条件,B正确.
【考点定位】本题主要考查一元二次不等式表示平面区域,考查分析判断能力.逻辑推理能力和求解能力.
【解析】选
【解析】的取值范围为
约束条件对应边际及内的区域: 则
B 【解析】本题考查线性规划知识在实际问题中的应用,同时考查了数学建模的思想方法以及实践能力.设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x,y亩,总利润为z万元,则目标函数为.线性约束条件为 即
作出不等式组表示的可行域,易求得点.
平移直线,可知当直线经过点,即时,z取得最大值,且(万元).故选B.
【点评】解答线性规划应用题的一般步骤可归纳为:
(1)审题——仔细阅读,明确有哪些限制条件,目标函数是什么?
(2)转化——设元.写出约束条件和目标函数;
(3)求解——关键是明确目标函数所表示的直线与可行域边界直线斜率间的关系;
(4)作答——就应用题提出的问题作出回答.
体现考纲中要求会从实际问题中抽象出二元线性规划.来年需要注意简单的线性规划求最值问题.
考点分析:本题主要考察了柯西不等式的使用以及其取等条件.
解析:由于
等号成立当且仅当则a=t x b=t y c=t z ,
所以由题知又,答案选C.
解析:B.画出可行域,可知当代表直线过点时,取到最大值.联立,解得,所以的最大值为11.
【答案】B
【解析】与的交点为,所以只有才能符合条件,B正确.
【考点定位】本题主要考查一元一次不等式组表示平面区域,考查分析判断能力、逻辑推理能力和求解计算能力
【答案】C
【解析】由基本不等式得,答案C正确.
【考点定位】此题主要考查基本不等式和均值不等式成立的条件和运用,考查综合运用能力,掌握基本不等式的相关内容是解本题的关键.
二、填空题
【答案】
【命题意图】本题主要考查线性规划的求解范围问题.只要作图正确,表示出区域,然后借助于直线平移大得到最值.
【解析】利用不等式组,作出可行域,可知区域表示的四边形,但目标函数过点(0,0)时,目标函数最小,当目标函数过点时最大值为.
[答案] ①④
[解析]若a,b都小于1,则a-b<1
若a,b中至少有一个大于等于1, 则a+b>1,
由a2-b2=(a+b)(a-b)=1 ,所以,a-b<1 故①正确.
对于|a3-b3|=|(a-b)(a2+ab+b2)|=1,
若a,b中至少又一个大于等于1,则a2+ab+b2>1,则|a-b|<1
若a,b都小于1,则|a-b|<1,所以④正确.
综上,真命题有 ① ④ .
[点评]此类问题考查难度较大,要求对四个备选项都要有正确的认识,需要考生具备扎实的数学基础,平时应多加强这类题的限时性练习.
【答案】
【解析】不等式可化为采用穿针引线法解不等式即可.
【考点定位】本题考查将分式不等式等价转化为高次不等式,考查高次不等式的解法.
【答案】
【解析】由x2-5x+6≤0,得,从而的不等式x2-5x+6≤0的解集为.
【点评】本题考查一元二次不等式的解法,考查简单的运算能力.
2 【解析】作出不等式组所表示的可行域(如下图的及其内部).目标函数在的三个端点处取的值分别为13,3,2,比较可得目标函数的最小值为2.
【点评】
本题考查线性规划求解最值的应用.运用线性规划求解最值时,关键是要搞清楚目标函数所表示的直线的斜率与可行域便捷直线的斜率之间的大小关系,以好确定在哪个端点,目标函数取得最大值;在哪个端点,目标函数取得最小值. 来年需注意线性规划在生活中的实际应用.
答案:
【命题意图】本试题考查了线性规划最优解的求解的运用.常规题型,只要正确作图,表示出区域,然后借助于直线平移法得到最值.
【解析】做出做出不等式所表示的区域如图,由得,平移直线,由图象可知当直线经过点时,直线的截距最 大,此时最小,最小值为.
【解析】的取值范围为
约束条件对应四边形边际及内的区域:
则
【解析】本题按照一般思路,则可分为一下两种情况:
(A), 无解;
(B), 无解.
因为受到经验的影响,会认为本题可能是错题或者解不出本题.其实在x>0的整个区间上,我们可以将其分成两个区间(为什么是两个?),在各自的区间内恒正或恒负.(如下答图)
我们知道:函数y1=(a-1)x-1,y2=x 2-ax-1都过定点P(0,—1).
考查函数y1=(a-1)x-1:令y=0,得M(,0),还可分析得:a>1;
考查函数y2=x 2-ax-1:显然过点M(,0),代入得:,解之得:,舍去,得答案:.
【答案】
解析:,,曲线及该曲线在点处的切线方程为,围成的封闭区域为三角形,在点处取得最大值2.
【答案】.
【考点】可行域.
【解析】条件可化为:.
设,则题目转化为:
已知满足,求的取值范围.
作出()所在平面区域(如图).求出的切
线的斜率,设过切点的切线为,
则,要使它最小,须.
∴的最小值在处,为.此时,点在上之间.
当()对应点时, ,
∴的最大值在处,为7.
∴的取值范围为,即的取值范围是.
【答案】9.
【考点】函数的值域,不等式的解集.
【解析】由值域为,当时有,即,
∴.
∴解得,.
∵不等式的解集为,∴,解得.
答案:
【命题意图】本试题考查了线性规划最优解的求解的运用.常规题型,只要正确作图,表示出区域,然后借助于直线平移法得到最值.
【解析】做出不等式所表示的区域如图,由得,平移直线,由图象可知当直线经过点时,直线的截距最 大,此时最小,最小值为.
【解析】的取值范围为
约束条件对应边际及内的区域:
则
2011年高考题
一、选择题
1.（重庆理7）已知a＞0，b＞0，a+b=2，则y=的最小值是
A． B．4 C． D．5
【答案】C
2.（浙江理5）设实数满足不等式组若为整数，则的最小值是
A．14 B．16 C．17 D．19
【答案】B
3.（全国大纲理3）下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是
A． B． C． D．
【答案】A
4.（江西理2）若集合，则
A． B．
C． D．
【答案】B
5.（辽宁理9）设函数，则满足的x的取值范围是
（A），2] （B）[0，2] （C）[1，+） （D）[0，+）
【答案】D
6.（湖南理7）设m＞1，在约束条件下，目标函数z=x+my的最大值小于2，则m 的取值范围为
A．（1，） B．（，）
C．（1,3 ） D．（3，）
【答案】A
7.（湖北理8）已知向量a=（x+z,3）,b=（2,y-z），且a⊥ b．若x,y满足不等式，则z的取值范围为
A．[-2，2] B．[-2，3] C．[-3，2] D．[-3，3]
【答案】D
8.（广东理5）。已知在平面直角坐标系上的区域由不等式组给定。若为上的动点，点的坐标为，则的最大值为
A． B． C．4 D．3
【答案】C
9.（四川理9）某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往地至少72吨的货物，派用的每辆车虚满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车虚配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车虚配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z=
A．4650元 B．4700元 C．4900元 D．5000元
【答案】C
【解析】由题意设派甲，乙辆，则利润，得约束条件画出可行域在的点代入目标函数
10.（福建理8）已知O是坐标原点，点A（-1,1）若点M（x,y）为平面区域，上的一个动点，则·的取值范围是
A．[-1．0] B．[0．1] C．[0．2] D．[-1．2]
【答案】C
11.（安徽理4）设变量的最大值和最小值分别为
（A）1，－1 （B）2，－2 （C） 1，－2 （D） 2，－1
【答案】B
12.（上海理15）若，且，则下列不等式中，恒成立的是
A． B．
C．D D．
【答案】
二、填空题
13.（陕西理14）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米。开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）。
【答案】2000
14.（浙江理16）设为实数，若则的最大值是 ．。
【答案】
15.（全国新课标理13）若变量x，y满足约束条件，则的最小值是_________．
【答案】-6
16.（上海理4）不等式的解为 。
【答案】或
17.（广东理9）不等式的解集是 ．
【答案】
18.（江苏14）设集合,
, 若则实数m的取值范围是______________
【答案】
三、解答题
19.（安徽理19）
（Ⅰ）设证明，
（Ⅱ），证明.
本题考查不等式的基本性质，对数函数的性质和对数换底公式等基本知识，考查代数式的恒等变形能力和推理论证能力.
证明：（I）由于，所以
将上式中的右式减左式，得
从而所要证明的不等式成立.
（II）设由对数的换底公式得
于是，所要证明的不等式即为
其中
故由（I）立知所要证明的不等式成立.
20.（湖北理17）
提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数。当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
（Ⅰ）当时，求函数的表达式;
（Ⅱ）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）
本小题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力。（满分12分）
解：（Ⅰ）由题意：当；当
再由已知得
故函数的表达式为
（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得
当为增函数，故当时，其最大值为60×20=1200；
当时，
当且仅当，即时，等号成立。
所以，当在区间[20，200]上取得最大值
综上，当时，在区间[0，200]上取得最大值。
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时。
21.（湖北理21）
（Ⅰ）已知函数，，求函数的最大值；
（Ⅱ）设…，均为正数，证明：
（1）若……，则；
（2）若…=1，则
本题主要考查函数、导数、不等式的证明等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力，以及化归与转化的思想。（满分14分）
解：（I）的定义域为，令
当在（0，1）内是增函数；
当时，内是减函数；
故函数处取得最大值
（II）（1）由（I）知，当时，
有
，从而有，
得，
求和得
即
（2）①先证
令
则于是
由（1）得，即
②再证
记，
则，
于是由（1）得
即
综合①②，（2）得证。
2010年高考题
一、选择题
1.（2010上海文）15.满足线性约束条件的目标函数的最大值是 （ ）
（A）1. （B）. （C）2. （D）3.
答案 C
解析：当直线过点B(1,1)时，z最大值为2
2.（2010浙江理）（7）若实数，满足不等式组且的最大值为9，则实数
（A） （B） （C）1 （D）2
答案 C
解析：将最大值转化为y轴上的截距，将m等价为斜率的倒数，数形结合可知答案选C，本题主要考察了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题
3.（2010全国卷2理）（5）不等式的解集为
（A） （B）
（C） （D）
【答案】C
【命题意图】本试题主要考察分式不等式与高次不等式的解法.
【解析】利用数轴穿根法解得-2＜x＜1或x＞3，故选C
4.（2010全国卷2文）(5)若变量x,y满足约束条件 则z=2x+y的最大值为
（A）1 (B)2 (C)3 (D)4
【解析】C：本题考查了线性规划的知识。
∵ 作出可行域，作出目标函数线，可得直线与 与的交点为最优解点，∴即为（1，1），当时
5.（2010全国卷2文）（2）不等式＜0的解集为
（A） （B）
（C） （D）
【解析】A ：本题考查了不等式的解法
∵ ，∴ ，故选A
6.（2010江西理）3.不等式 的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】 A
【解析】考查绝对值不等式的化简.绝对值大于本身，值为负数.，解得A。
或者选择x=1和x=-1,两个检验进行排除。
7.（2010安徽文）（8）设x,y满足约束条件则目标函数z=x+y的最大值是
（A）3 （B） 4 （C） 6 （D）8
答案 C
【解析】不等式表示的区域是一个三角形，3个顶点是，目标函数在取最大值6。
【规律总结】线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域）则区域端点的值是目标函数取得最大或最小值，求出直线交点坐标代入目标函数即可求出最大值.
8.（2010重庆文）（7）设变量满足约束条件则的最大值为
（A）0 （B）2
（C）4 （D）6
解析：不等式组表示的平面区域如图所示，
当直线过点B时，在y轴上截距最小，z最大
由B（2,2）知4
解析：将最大值转化为y轴上的截距，可知答案选A，本题主要考察了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题
10.（2010重庆理数）（7）已知 x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是
A.3 B.4
C. D.
答案 B
解析：考察均值不等式
，整理得
即，又，
11.（2010重庆理数）（4）设变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为
A.—2 B.4 C.6 D.8
答案 C
解析：不等式组表示的平面区域如图所示
当直线过点B（3,0）的时候，z取得最大值6
12.（2010北京理）（7）设不等式组 表示的平面区域为D，若指数函数y=的图像上存在区域D上的点，则a 的取值范围是
（A）(1,3] (B )[2,3] (C ) (1,2] (D )[ 3, ]
答案：A
13.（2010四川理）（12）设，则的最
小值是
（A）2 （B）4 （C） （D）5
解析：
＝
＝
≥0＋2＋2＝4
当且仅当a－5c＝0,ab＝1,a(a－b)＝1时等号成立
如取a＝,b＝,c＝满足条件.
答案：B
y
0
x
70
48
80
70
(15,55)
14.（2010四川理）（7）某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为
（A）甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱
（B）甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱
（C）甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱
（D）甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱
答案：B
解析：设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱
则
目标函数z＝280x＋300y
结合图象可得：当x＝15,y＝55时z最大
本题也可以将答案逐项代入检验.
15.（2010天津文）(2)设变量x，y满足约束条件则目标函数z=4x+2y的最大值为
（A）12 （B）10 （C）8 （D）2
【答案】B
【解析】本题主要考查目标函数最值的求法，属于容易题，做出可行域，如图由图可知，当目标函数过直线y=1与x+y=3的交点（2，1）时z取得最大值10.
16.（2010福建文）
17.（2010全国卷1文）（10）设则
（A）（B） (C) (D)
答案C
【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用.
【解析1】 a=2=, b=In2=,而,所以a0,b>0,称为a，b的调和平均数。如图，C为线段AB上的点，且AC=a，CB=b，O为AB中点，以AB为直径做半圆。过点C作AB的垂线交半圆于D。连结OD，AD，BD。过点C作OD的垂线，垂足为E。则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，线段 的长度是a,b的几何平均数，线段 的长度是a,b的调和平均数。
【答案】CD DE
【解析】在Rt△ADB中DC为高，则由射影定理可得，故
，即CD长度为a,b的几何平均数，将OC=代入可得故，所以ED=OD-OE=，故DE的长度为a,b的调和平均数.
17.（2010江苏卷）12、设实数x,y满足3≤≤8，4≤≤9，则的最大值是 。
【答案】 27
【解析】考查不等式的基本性质，等价转化思想。
，，，的最大值是27。
三、解答题
1.（2010广东理）19.（本小题满分12分）
某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物6个单位蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.
如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？
解：设该儿童分别预订个单位的午餐和晚餐，共花费元，则。
可行域为
12 x+8 y ≥64
6 x+6 y ≥42
6 x+10 y ≥54
x≥0， x∈N
y≥0， y∈N
即
3 x+2 y ≥16
x+ y ≥7
3 x+5 y ≥27
x≥0， x∈N
y≥0， y∈N
作出可行域如图所示：
经试验发现，当x=4,y=3 时，花费最少，为=2.5×4+4×3=22元．
2.（2010广东文）19.（本题满分12分）
某营养师要求为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C;一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营状中至少含64个单位的碳水化合物和42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.
如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？
解：设为该儿童分别预订个单位的午餐和个单位的晚餐，设费用为F，则F，由题意知：
画出可行域：
变换目标函数：
3.（2010湖北理）15.设a>0,b>0,称
为a，b的调和平均数。如图，C为线段AB上的点，且AC=a，CB=b，O为AB中点，以AB为直径做半圆。过点C作AB的垂线交半圆于D。连结OD，AD，BD。过点C作OD的垂线，垂足为E。则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，线段 的长度是a,b的几何平均数，线段 的长度是a,b的调和平均数。
【答案】CD DE
【解析】在Rt△ADB中DC为高，则由射影定理可得，故，即CD长度为a,b的几何平均数，将OC=代入可得故，所以ED=OD-OE=，故DE的长度为a,b的调和平均数.
第二部分 两年模拟题
题组一
全国各地市2012年模拟试题分类：不等式
【2012安徽省合肥市质检文】设，若恒成立，则k的最大值为 ；
【答案】8
【解析】由题可知k的最大值即为的最小值。又，取等号的条件当且仅当，即。故。
【山东省微山一中2012届高三10月月考理】5．若x，y满足约束条件，则目标函数的最大值是 （ ）
A．－3 B． C． 2 D．3
答案D
解析:该题通过由约束条件，求目标函数的最大值简单考查线性规划求最优解问题;只要画出可行域即可看出最优解.
【山东省潍坊市三县2012届高三10月联考理】6．设0＜b＜a＜1,则下列不等式成立的是 （ ）
A．ab＜b2＜1 B．b＜a＜0 C．2b＜2a＜2 D．a2＜ab＜1
【答案】C
【解析】因为b＜a＜1,所以2b＜2a <1,故选C.
【山东省日照市2012届高三12月月考理】（11）如果不等式组表示的平面区域是一个直角三角形，则该三角形的面积为
（A） （B） （C） （D）
【答案】：C 解析：有两种情形：（1）直角由与形成，则，三角形的三个顶点为（0，0），（0，1），（），面积为；（2）直角由与形成，则，三角形的三个顶点为（0，0），（0，1），（），面积为。
【山东实验中学2012届高三第一次诊断性考试理】10. 设x、y满足约束条件，若目标函数（其中)的最大值为3,则的最小值为（）
(A) . 3 (B) . 1 (C) .2 (D) . 4
【答案】A
【解析】解：如图所示，线性规划区域为三角形ABC，而目标函数的斜率为<0，
因此目标函数的最大值即为过点B（1,2）取得。所以有a+2b=3,
（当且仅当a=b=1时，等号成立），故的最小值为3
【山东省潍坊市三县2012届高三10月联考理】
【2012唐山市高三上学期期末统一考试文】已知变量x，y满足约束条件则的最大值为 。
【答案】 2
【解析】本题主要考查线性规划的最优解. 属于基础知识、基本运算的考查.
实数x，y满足不等式组则可行域如图，作出，平移，当直线通过A(1,0)时， 的最小值是⒉.
【2012年西安市高三年级第一次质检文】在平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定.若M(x ,y)为D上的动点，点N的坐标为（，1)，则的最大值为. _______
【答案】4
【解析】本题主要线性规划可行域的概念、平面向量的数量积. 属于基础知识、基本运算的考查.
如图，作出变量满足约束条件,可行域是图中的阴影部分；A(,2),作出直线,
,直线在y轴上截距最大时，z最大。由图知直线过A点时有最大截距4，的最大值是4.
【2012年西安市高三年级第一次质检文】不等式|x+1| + |x-1|<3的实数解为_______
【答案】
【解析】本题主要考查. 属于基础知识、基本运算的考查.
法1 由绝对值的意义，分别表示数轴上的点到1，-1的距离。由图知，时符合|x+1| + |x-1|<3
∴不等式|x+1| + |x-1|<3的解集为
法2 列表法
（--1）
(-1,1)
（1，+）
1-
1-
-1
-1-
+1
+1
|x+1| + |x-1|<3
-2<3
2<3
2<3
-1>>
-1<<1
1<<
∴不等式|x+1| + |x-1|<3的解集为
【2012江西师大附中高三下学期开学考卷文】不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】本题主要考查绝对值的概念，分式不等式的解法. 属于基础知识、基本运算的考查.
由知，
∴不等式的解集是
【2012江西师大附中高三下学期开学考卷文】设变量满足约束条件：的最大值为( )
A．10 B．8 C．6 D．4
【答案】B
【解析】本题主要考查线性规划的最优问题. 属于基础知识、基本运算的考查.
如图，作出变量满足约束条件可行域是三角形ABC；A(-2,2),B(-2,-2)作出直线,
,考虑直线在y轴上截距的绝对值，由图知直线过A点时有最大值8
【2012厦门市高三上学期期末质检文】若实数x，y满足不等式组 ，则：z＝2x + y的最小值为
A.－2 B.1 C.4 D. 2
【答案】B
【解析】本题主要考查线性规划的最优解问题. 属于基础知识、基本运算的考查.
作出约束条件的可行域，如右的阴影部分，作出辅助直线 y＝2x，平移，易知直线过A时，z＝2x + y的最小值为1
【2012厦门期末质检理12】若变量x,y
满足约束条件，则z＝2x－y的最大值等于 。
【答案】6
【解析】作出的可行域，可看出当时z＝2x－y取得最大值6；
【2012浙江宁波市期末文】已知实数满足，若是使得取得最小值的可行解，则实数的取值范围为 .
【答案】（不扣分）
【解析】画出可行域可知，过点旋转直线可得。
【2012安徽省合肥市质检文】已知满足，且z的最大值是最小值的4倍，则m的值是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】画出可行域可知，如图，
最大值在点取得，最小值在点取得，由，解得。
【2012山东青岛市期末文】变量，满足，目标函数，则有
A．无最大值 B．无最小值
C． D．既无最大值，也无最小值
【答案】C
【解析】画出可行域可知，在点处取，在点处取，选Ｃ。
【2012山东青岛市期末文】已知点在直线上，则的最小值为 .
【答案】
【解析】因，所以（取等条件当且仅当）。
【2012江西南昌市调研文】不等式的解集是 ( )
A．(1,+∞) B．[1,+∞) C．(-∞,0)∪[1,+∞) D．(-∞,0)∪(1,+∞)
【答案】C
【解析】，解得或，选C。
【2012广东佛山市质检文】已知不等式组， 表示的平面区域的面积为，点在所给平面区域内，则的最大值为 .
【答案】
【解析】画出可行域得
故可行域的面积，解得，做目标直线，平移可知，在点处。
【2012河南郑州市质检文】若实数的最小值是（ ）
A．0 B. 1 C. D. 9
【答案】B
【解析】由题可知，的最小值，即的最小值，画出可行域，可得在点处取最小值0，即，选B。
【2012北京海淀区期末文】若实数满足 则的最大值为 .
【答案】7
【解析】画出可行域得
由图可知，在点处取最大值为7.
【2012宁德质检理12】已知实数x，y满足则的最大值
为 。
【答案】12
【解析】作出的可行域，当时最大，等于12
【2012深圳中学期末理9】已知实数、满足，则－3的最大值是 .
【答案】-1
【解析】解：作出不等式组表示的平面区域如图：
作直线l: x－3y=0, 平移直线l，当直线l经过4x+y－9=0与x－y－1=0的交点P(2, 1)时，目标函数z=x－3y取得最大值z=2－3×1=－1,∴x－3y的最大值为－1.
【2012海南嘉积中学期末理11】某企业准备投资A、B两个项目建设，资金来源主要靠企业自筹和银行贷款两份资金构成，具体情况如下表。投资A项目资金不超过160万元，B项目不超过200万元，预计建成后，自筹资金每份获利12万元，银行贷款每份获利10
万元，为获得总利润最大，那么两份资金分别投入的份数是（ ）
单位：万元
项目
自筹每份资金
银行贷款每份资金
A
20
30
B
40
30
A、自筹资金4份，银行贷款2份 B、自筹资金3份，银行贷款3份
C、自筹资金2份，银行贷款4份 D、自筹资金2份，银行贷款2份
【答案】C
【解析】投资A项目资金份，投资B项目资金份，由题意作出可行域，看出当时，万最大
【2012黑龙江绥化市一模理15】已知实数，满足，如果目标函数的最小值为-1，则实数___.
【答案】5
【解析】作出的可行域，当时的最小值为-1，解；
【2012 浙江瑞安期末质检理6】若关于的不等式组表示的区域为三角形，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由得M（1,1），因为不等式组表示的区域为三角形，所以
【2012·泉州四校二次联考理12】若变量满足约束条件，则
的最小值为_______．
【答案】-6;
【解析】作出的可行域，由图形可以看出当时，的最小值为；
【2012黄冈市高三上学期期末考试文】不等式的解集为 。
【答案】 （-0）（3，+）
【解析】本题主要考查. 属于基础知识、基本运算的考查.
法1 由绝对值的意义，分别表示数轴上的点到1，2的距离。由图知，时符合
∴不等式的解集为（-0）（3，+）
法2 列表法
（-1）
(1,2)
（2，+）
1-
-1
-1
2-
2-
-2
4->3
2>3
2-4>3
<0
无解
>3
∴不等式的解集为（-0）（3，+）
【2012年石家庄市高中毕业班教学质检1文】设实数x，y满足不等式组，则的最小值是 ．
【答案】
【解析】本题主要考查线性规划的基本运算. 属于基础知识、基本运算的考查.
如图，作出变量满足约束条件可行域是三角形ABC；C(1,0),B(-2,-2)作出直线,
,直线在y轴上截距最小时，z最大。由图知直线过C点时
有最小截距，的最小值是
【2012厦门市高三上学期期末质检文】已知函数f(x)＝ ，则不等式f(x)＞f (1)的解集是 。
【答案】
【解析】本题主要考查分段函数及不等式的解法 . 属于基础知识、基本运算的考查.
，若，则
若，则
∴ 不等式f(x)＞f (1)的解集是
【2012金华十校高三上学期期末联考文】已知实数x，y满足不等式组，则目标函数的最大值是 。
【答案】 4
【解析】本题主要考查线性规划的最优解问题. 属于基础知识、基本运算的考查.
实数x，y满足不等式组则可行域如图，作出，平移，当直线通过A(2,2)时， 的最小值是4.
【2012唐山市高三上学期期末统一考试文】已知的解集为M。
（1）求M；
（2）当时，证明：
【解析】本题主要考查绝对值不等式的解法与证明. 属于基础知识、基本方法的考查.
解：（Ⅰ）f(x)＝|x＋1|＋|x－1|＝
当x＜－1时，由－2x＜4，得－2＜x＜－1；
当－1≤x≤1时，f(x)＝2＜4；
当x＞1时，由2x＜4，得1＜x＜2．
所以M＝(－2，2)． …5分
（Ⅱ）当a，b∈M即－2＜a，b＜2，
∵4(a＋b)2－(4＋ab)2＝4(a2＋2ab＋b2)－(16＋8ab＋a2b2)＝(a2－4)(4－b2)＜0，
∴4(a＋b)2＜(4＋ab)2，
∴2|a＋b|＜|4＋ab|． …10分
【山东省滨州市沾化一中2012届高三上学期期末理】18．（本题满分12分）解关于x的不等式
【答案】18．（本小题满分12分）
解：原不等式等价于…………1分
当=0时，原不等式等价于 ……………2分
解得，此时原不等式得解集为{x|}； ……………3分
当>0时, 原不等式等价于, ……………4分
当原不等式的解集为； ……………5分
当0<原不等式的解集为； ……………6分
当原不等式的解集为； ……………7分
当<0时, 原不等式等价于， ……………8分
当时, 原不等式的解集为； ……………9分
当时, 原不等式的解集为； ……………10分
当时, 原不等式的解集为； ……………11分
综上，当=0时，不等式得解集为{x|}；当原不等式的解集为；当0<原不等式的解集为；当
时, 原不等式的解集为；当时, 原不等式的解集为；当时, 原不等式的解集为
。 ……………12分
2011届高三模拟题
题组二
选择题
1. （福建省厦门外国语学校2011届高三11月月考理）已知满足约束条件，则的最小值是（ ▲ ）
A．15 B．－18 C．26 D．－20
答案 B.
2．（甘肃省天水一中2011届高三上学期第三次月考试题理）设满足约束条件：，则的最小值为（ ）
A．6 B．－６ Ｃ． Ｄ．－７
答案 B.
3、（河南省辉县市第一中学2011届高三11月月考理）若，则
A． B．
C． D．
答案 D.
4.（湖北省黄冈市浠水县市级示范高中2011届高三12月月考）不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
答案 C.
5.（河南省辉县市第一中学2011届高三11月月考理）设双曲线的两条渐近线与直线围成的三角形区域（包含边界）为D， P（）为D内的一个动点，则目标函数的最小值为
（A） （B） （C）0 （D）
答案 B.
6．（广东省惠州三中2011届高三上学期第三次考试理）不等式的解集为,则函数的图象为（ ）
答案 C.
7.（湖北省黄冈市浠水县市级示范高中2011届高三12月月考）不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
答案 C.
8．（湖北省南漳县一中2010年高三第四次月考文）已知0 C (lga)2<(lgb)2 D．()a<()b
答案 A.
9．（湖北省武汉中学2011届高三12月月考理）设的最小值是 （ ）
A．2 B． C． D．
答案 C.
填空题
10．（甘肃省天水一中2011届高三上学期第三次月考试题理）
已知二次项系数为正的二次函数对任意，都有成立，设向量（sinx，2），（2sinx，），（cos2x，1），（1，2），当[0，]时，不等式f（）＞f（）的解集为 。
答案
11．（河南省长葛第三实验高中2011届高三期中考试理）若和是方程的两个实根，不等式 对任意实数恒成立，则的取值范围是
答案
12．（湖北省武汉中学2011届高三12月月考文）不等式的解集为 。
答案
13．（湖北省武汉中学2011届高三12月月考文）区域D的点满足不等式组，若一个圆C落在区域D中，那么区域D中的最大圆C的半径为 。
答案
14、（湖北省武穴中学2011届高三12月月考理）若a+1>0,则不等式的解集为
答案
15.（湖南省长沙市第一中学2011届高三第五次月考理）已知函数f(x)＝|x－2|，若a≠0，且a，b∈R，都有不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|·f(x)成立，则实数x的取值范围是 .
答案 [0,4] .
解：|a＋b|＋|a－b|≥|a|·f(x)及a≠0得f(x)≤恒成立，
而≥＝2，则f(x)≤2，从而|x－2|≤2，解得0≤x≤4.
16．（宁夏银川一中2011届高三第五次月考试题全解全析理）
已知实数的最小值为 ．
【答案】。
【分析】画出平面区域，根据目标函数的特点确定其取得最小值的点，即可求出其最小值。
【解析】不等式组所表示的平面区域，如图所示。显然目标函数在点处取得最小值。
【考点】不等式。
【点评】本题考查不等式组所表示的平面区域和简单的线性规划问题。在线性规划问题中目标函数取得最值的点一定是区域的顶点和边界，在边界上的值也等于在这个边界上的顶点的值，故在解答选择题或者填空题时，只要能把区域的顶点求出，直接把顶点坐标代入进行检验即可。
解答题
17.（河南省辉县市第一中学2011届高三11月月考理）
(本题13分)已知函数为奇函数。
(1)求并写出函数的单调区间； (2)解不等式
答案 14.
18．（河南省长葛第三实验高中2011届高三期中考试理）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
（I）已知都是正实数，求证：；
（II）设函数，解不等式．
答案 （1）证明：（Ⅰ）∵
，
又∵，∴，∴，
∴． …………（5分）
法二：∵，又∵，∴，
∴，展开得，
移项，整理得． …………（5分）
不等式选讲．解：（法一）令y=|2x+1|-|x-4|，则
y=……………………2分
作出函数y=|2x+1|-|x-4|的图象，
它与直线的交点为和．…… 4分
所以的解集为．…5分
解：（法二）
19．（宁夏银川一中2011届高三第五次月考试题全解全析理）
（本小题满分12分）在交通拥挤地段，为了确保交通安全，规定机动车相互之间的距离（米）与车速（千米/小时）需遵循的关系是（其中（米）是车身长,为常量）,同时规定．
（1）当时，求机动车车速的变化范围；
（2）设机动车每小时流量，应规定怎样的车速，使机动车每小时流量最大．
【分析】（1）把代入，解这个关于的不等式即可；（2）根据满足的不等式，以最小车距代替，求此时的最值即可。
【解析】（1） =av2, v=25, ∴ 025时, Q=≤,
∴当v=50时Q最大为．………12分
【点评】不等式
【点评】本题考查函数建模和基本不等式的应用。本题中对车距
有两个限制条件，这两个条件是在不同的车速的情况下的限制条件，解题中容易出现的错误是不能正确的使用这两个限制条件对函数的定义域进行分类，即在车速小于或等于时，两车之间的最小车距是，当车速大于时，两车之间的最小车距是。
20．（宁夏银川一中2011届高三第五次月考试题全解全析理）选修4－5：不等式选讲
已知函数（I）求不等式的解集；（II）若关于x的不等式恒成立，求实数的取值范围。
【分析】（1）只要分区去掉绝对值，即转化为普通的一次不等式，最后把各个区间内的解集合并即可；（2）问题等价于。
【解析】（I）原不等式等价于
或 3分
解，得即不等式的解集为 6分
（II） 8分
10分
【考点】不等式选讲
【点评】本题考查带有绝对值的不等式的解法、不等式的恒成立问题。本题的不等式的解法也可以根据几何意义求解，不等式，等价于，其几何意义是数轴上的点到点距离之和不大于，根据数轴可知这个不等式的解区间是。
21. （甘肃省甘谷三中2011届高三第三次检测试题）
(12分)已知函数满足且对于任意, 恒有成立. (1) 求实数的值; (2) 解不等式.
答案 （1） 由知, …① ∴…②又恒成立, 有恒成立,故．
将①式代入上式得:, 即故．
即, 代入② 得,．
（2） 即 ∴
解得: , ∴不等式的解集为．
22.（甘肃省甘谷三中2011届高三第三次检测试题）
(12分)已知函数，．
（I）求的最大值和最小值；（II）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围
答案 22.(1)3,2;(2)(1,4)
23．（黑龙江哈九中2011届高三12月月考理）（12分）已知函数．
（1）求在上的最大值；
（2）若对任意的实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）若关于的方程在上恰有两个不同的实根，求实数的取值范围．
答案 （1），令，得或（舍）
当时，，单调递增；当时，，单调递减，是函数在上的最大值
（2）对恒成立
若即，恒成立
由得或
设
依题意知或在上恒成立
都在上递增
或，即或
（3）由知，
令，则
当时，，于是在上递增；当时，，于是在上递减，而，
即在上恰有两个不同实根等价于
，解得
24.（黑龙江省哈尔滨市第162中学2011届高三第三次模拟理）
设是函数的一个极值点。
（Ⅰ）、求与的关系式（用表示），并求的单调区间；
（Ⅱ）、设，。若存在使得成立，求的取值范围。
点评：本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力。
解：（Ⅰ）f `(x)＝－[x2＋(a－2)x＋b－a ]e3－x,
由f `(3)=0，得 －[32＋(a－2)3＋b－a ]e3－3＝0，即得b＝－3－2a，
则 f `(x)＝[x2＋(a－2)x－3－2a－a ]e3－x
＝－[x2＋(a－2)x－3－3a ]e3－x＝－(x－3)(x＋a+1)e3－x.
令f `(x)＝0，得x1＝3或x2＝－a－1，由于x＝3是极值点，
所以x+a+1≠0，那么a≠－4.
当a<－4时，x2>3＝x1，则
在区间（－∞，3）上，f `(x)<0， f (x)为减函数；
在区间（3，―a―1）上，f `(x)>0，f (x)为增函数；
在区间（―a―1，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数。
当a>－4时，x2<3＝x1，则
在区间（－∞，―a―1）上，f `(x)<0， f (x)为减函数；
在区间（―a―1，3）上，f `(x)>0，f (x)为增函数；
在区间（3，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a>0时，f (x)在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[min(f (0)，f (4) )，f (3)]，
而f (0)＝－（2a＋3）e3<0，f (4)＝（2a＋13）e－1>0，f (3)＝a＋6，
那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[－（2a＋3）e3，a＋6].
又在区间[0，4]上是增函数，
且它在区间[0，4]上的值域是[a2＋，（a2＋）e4]，
由于（a2＋）－（a＋6）＝a2－a＋＝（）2≥0，所以只须仅须
（a2＋）－（a＋6）<1且a>0，解得0 0，若f（－1）= 0，那么关于x的不等式x f（x）< 0 的解集是____________．
答案 ，
14．（江苏泰兴市重点中学2011届高三理）
设f（x）是定义在（-1,1）上的偶函数在（0,1）上增，若f（a-2）-f（4-a2）<0，则a的取值范围为______________．
答案
15．（江苏泰兴市重点中学2011届文）设函数，对任意的
,恒成立，则实数的取值范围是____________．
答案 。
16．（浙江省桐乡一中2011届高三文）已知变量x，y，满足，则的取值范围为
答案 [13，40]
17．（江苏泰兴市重点中学2011届理）设f（x）是定义在（-1,1）上的偶函数在（0,1）上增，若f（a-2）-f（4-a2）<0，则a的取值范围为______________．
答案 ，
18. （福建省四地六校联考2011届高三文）已知变量满足约束条件则目标函数的最小值为 .
答案 15.
19 ．（广东省河源市龙川一中2011届高三文）
若变量x,y满足约束条件
则z=2x+y的最大值为
答案 3.
20．(广东省湛江一中2011届高三10月月考理）
在平面直角坐标系上，设不等式组所表示的平面区域为，记内的整点（即横坐标和纵坐标均为整数的点）的个数为. 则＝ ，经推理可得到＝ ．
答案： ．当时，区域内的整点个数分别为个，共．
三， 解答题
21．（四川成都市玉林中学2010—2011学年度）（本题满分12分）
已知函数时都取得极值
（I）求a、b的值与函数的单调区间；
（II）若对的取值范围。
答案 21.（本小题满分12分）
（Ⅰ）
由 …………………………3分
1
+
0
—
0
+
↑
极大值
↓
极小值
↑
所以函数……8分
（II）
当
所以为最大值。 ………………11分
要使
解得 ………………12分
22．（江苏泰兴市重点中学2011届）（16分）已知数列是等差数列，
（1）判断数列是否是等差数列，并说明理由；
（2）如果，试写出数列的通项公式；
（3）在（2）的条件下，若数列得前n项和为，问是否存在这样的实数，使当且仅当时取得最大值。若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。
答案22．解：（1）设的公差为，则
数列是以为公差的等差数列…………4分
（2）
两式相减：
…………6分
…………8分
…………10分
（3）因为当且仅当时最大
…………12分
即
…………15分
23．（江苏泰兴市重点中学2011届理）（本小题满分14分）
已知：在函数的图象上，以为切点的切线的倾斜角为
（I）求的值；
（II）是否存在最小的正整数，使得不等式恒成立？如果存在，请求出最小的正整数，如果不存在，请说明理由。
答案 23．依题意，得
因为…………6分
（II）令…………8分
当
当
当
又
因此， 当…………12分
要使得不等式恒成立，则
所以，存在最小的正整数使得不等式恒成立
24．（江苏泰兴市重点中学2011届理）设n为大于1的自然数，求证：
答案 24．证明：（放缩法）
解：不妨设正方体的棱长为1，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则各点的坐标为A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），
（1，0，1），（0，1，1），E（,1,0）, F（0 , ,0）
25.（江苏省2011届理）已知常数。
答案 25.
26．（江苏泰兴2011届高三文）已知集合A＝，B＝．
⑴当a＝2时，求AB； ⑵求使BA的实数a的取值范围．
答案 26． 解：（1）当a＝2时，A＝（2，7），B＝（4，5）∴ AB＝（4，5）．
（2）∵ B＝（2a，a2＋1），当a＜时，A＝（3a＋1，2）
要使BA，必须，此时a＝－1；
当a＝时，A＝，使BA的a不存在； 当a＞时，A＝（2，3a＋1）
要使BA，必须，此时1≤a≤3．
27. (江西省上高二中2011届高三理）已知常数。
答案 27.
28．（四川省成都外国语学校2011届高三10月理）（12分）某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率与日产量（万件）之间大体满足关系：
（其中为小于6的正常数）
（注：次品率=次品数/生产量，如表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）
已知每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量.
（1）试将生产这种仪器的元件每天的盈利额（万元）表示为日产量（万件）的函数；
（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？
答案 28．解：（1）当时，，
当时，，
综上，日盈利额（万元）与日产量（万件）的函数关系为：
（2）由（1）知，当时，每天的盈利额为0
当时，
当且仅当时取等号
所以当时，，此时
当时，由知
函数在上递增，，此时
综上，若，则当日产量为3万件时，可获得最大利润
若，则当日产量为万件时，可获得最大利润
29．（浙江省吴兴高级中学2011届高三文）已知，。
（1）求的最小值；
（2）求证：。
答案 29、解：（1）因为，，所以
，
得。
当且仅当，即时，
有最小值。………………5分
（2）因为，
所以，当且仅当取等号。
又，
于是。…………10分
30．（河南信阳市2011届高三理）（本小题满分10分）
选做题：任选一道，两题均做只以（I）的解答计分。
（I）已知，求证：
（II）已知正数a、b、c满足，求证：
答案 30．（I）证明：因为x，y，z均为正数，
所以 …………4分
同理可得 …………6分
当且仅当时，以上三式等号都成立，
将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，
得 …………10分
（II）证明：要证
只需证 …………3分
即只要证 …………5分
两边都是非负数，
这就是已知条件，
且以上各步都可逆，
…………10分
