高考理数　函数与方程

高考理数　函数与方程

§2.6 　函数与方程 高考 理 数 ( 课标专用) 考点一　函数零点个数及所在区间的判断 1. (2017课标Ⅲ,11,5分)已知函数 f ( x )= x 2 -2 x + a (e x -1 +e - x +1 )有唯一零点,则 a =   (　　) A.-   　    B.   　    C.   　    D.1 A组  统一命题·课标卷题组 五年高考 答案      C 　由函数 f ( x )有零点得 x 2 -2 x + a (e x -1 +e - x +1 )=0有解, 即( x -1) 2 -1+ a (e x -1 +e - x +1 )=0有解, 令 t = x -1,则上式可化为 t 2 -1+ a (e t +e - t )=0,即 a =   . 令 h ( t )=   ,易得 h ( t )为偶函数, 又由 f ( x )有唯一零点得函数 h ( t )的图象与直线 y = a 有唯一交点,则此交点的横坐标为0,所以 a =   =   ,故选C. 2. (2018课标Ⅲ,15,5分)函数 f ( x )=cos   在[0,π]的零点个数为 　　　     . 答案 　3 解析 　本题考查函数与方程. 令 f ( x )=0,得cos   =0,解得 x =   +   ( k ∈Z).当 k =0时, x =   ;当 k =1时, x =   ;当 k =2时, x =   ,又 x ∈[0,π],所以满足要求的零点有3个. 考点二　由函数零点求参数的取值范围 (2018课标Ⅰ,9,5分)已知函数 f ( x )=   g ( x )= f ( x )+ x + a .若 g ( x )存在2个零点,则 a 的取值范围 是   (　　) A.[-1,0)　    B.[0,+ ∞ ) C.[-1,+ ∞ )　    D.[1,+ ∞ ) 答案    C 　本题主要考查函数的零点及函数的图象. g ( x )= f ( x )+ x + a 存在2个零点等价于函数 f ( x )=   与 h ( x )=- x - a 的图象存在2个交点,如图,   当 x =0时, h (0)=- a , 由图可知要满足 y = f ( x )与 y = h ( x )的图象存在2个交点, 需要- a ≤ 1,即 a ≥ -1.故选C . 方法总结　 已知函数零点的个数求参数范围的方法 已知函数零点的个数求参数范围,常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点个数 问题,需准确画出两个函数的图象,利用图象写出满足条件的参数范围. 考点一　函数零点个数及所在区间的判断 1. (2014北京,6,5分)已知函数 f ( x )=   -log 2 x .在下列区间中,包含 f ( x )零点的区间是   (　　) A.(0,1)　    B.(1,2)　    C.(2,4)　    D.(4,+ ∞ ) B组  自主命题·省(区、市)卷题组 答案      C 　易知 f ( x )是单调递减函数.∵ f (1)=6-log 2 1=6>0, f (2)=3-log 2 2=2>0, f (3)=2-log 2 3>0, f (4)=   -log 2 4=   -2<0,∴选项中包含 f ( x )零点的区间是(2,4). 2. (2017江苏,14,5分)设 f ( x )是定义在R上且周期为1的函数,在区间[0,1)上, f ( x )=   其中集 合 D =   ,则方程f(x)-lg x =0的解的个数是 　　　     . 答案 　8 解析 　解法一:由于 f ( x )∈[0,1),则只需考虑1 ≤ x <10的情况, 在此范围内, x ∈Q且 x ∉ Z时,设 x =   , p , q ∈N * , p ≥ 2且 p , q 互质,若lg x ∈Q,则由lg x ∈[0,1),可设lg x =   , m , n ∈N * , m ≥ 2且 m , n 互质,因此1   =   ,则10 n =   ,此时等号左边为整数,等号右边为非整 数,矛盾.因此lg x ∉ Q, 因此lg x 不可能与每个周期内 x ∈ D 对应的部分相等, 只需考虑lg x 与每个周期内 x ∉ D 对应的部分的交点. 画出函数草图,图中交点除(1,0)外,其他交点的横坐标均为无理数,且 x =1处(lg x )'=   =   < 1,则在 x =1附近仅有一个交点,因此方程解的个数为8.   解法二:先证明结论:1   ≠ k -   ,其中 p , q ∈N * 且 p , q 互质, k , n ∈N * . 假设1   = k -   ,则10 q =   . 左边是整数,而右边不是整数,矛盾. 则1   ≠ k -   , 则原方程即 f ( x )-lg( x + k )=0,其中 k ∈N * , x ∈[0,1), 该方程即 k =10 f ( x ) - x . 当 x ∈ D 时,该方程有唯一解 x =0,此时 k =1, 由于函数 y =10 x - x 在(0,1)上单调递增, 因此,当 x ∉ D 时, k =2,3,4,5,6,7,8均满足该方程有唯一解. 综上所述,方程的解的个数为8. 考点二　由函数零点求参数的取值范围 1.(2014山东,8,5分)已知函数 f ( x )=| x -2|+1, g ( x )= kx .若方程 f ( x )= g ( x )有两个不相等的实根,则实数 k 的取值范围是   (　　) A.   　    B.   　    C.(1,2)　    D.(2,+ ∞ ) 答案      B      f ( x )=   如图,作出 y = f ( x )的图象,其中 A (2,1),则 k OA =   .   要使方程 f ( x )= g ( x )有两个不相等的实根,则函数 f ( x )与 g ( x )的图象有两个不同的交点,由图可知,   < k <1. 评析　 本题考查方程的根与函数图象间的关系,考查学生利用数形结合思想分析问题、解决 问题的能力. 2. (2017山东,10,5分)已知当 x ∈[0,1]时,函数 y =( mx -1) 2 的图象与 y =   + m 的图象有且只有一个交 点,则正实数 m 的取值范围是   (　　) A.(0,1] ∪ [2   ,+ ∞ )　    B.(0,1] ∪ [3,+ ∞ ) C.(0,   ] ∪ [2   ,+ ∞ )　    D.(0,   ] ∪ [3,+ ∞ ) 答案    B 　①当0< m ≤ 1时,在同一平面直角坐标系中作出函数 y =( mx -1) 2 与 y =   + m 的图象,如 图.   易知此时两函数图象在 x ∈[0,1]上有且只有一个交点; ②当 m >1时,在同一平面直角坐标系中作出函数 y =( mx -1) 2 与 y =   + m 的图象,如图.   要满足题意,则( m -1) 2 ≥ 1+ m ,解得 m ≥ 3或 m ≤ 0(舍去), ∴ m ≥ 3. 综上,正实数 m 的取值范围为(0,1] ∪ [3,+ ∞ ) . 方法总结 　已知函数有零点(方程有根或图象有交点)求参数的值或取值范围常用的方法: ①直接法:直接根据题设条件构建关于参数的方程或不等式,再通过解方程或不等式确定参数 的值或取值范围. ②分离参数法:先将参数分离,转化成求函数最值问题加以解决. ③数形结合法:在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后数形结合求解. 3. (2015天津,8,5分)已知函数 f ( x )=   函数 g ( x )= b - f (2- x ),其中 b ∈R.若函数 y = f ( x )- g ( x ) 恰有4个零点,则 b 的取值范围是   (　　) A.   　    B.   　    C.   　    D.   答案      D 　由已知条件可得 g ( x )=   函数 y = f ( x ), y = g ( x )的图象如图所示: 要使 y = f ( x )- g ( x )恰有4个零点,只需 y = f ( x )与 y = g ( x )的图象恰有4个不同的交点,需满足   在 x <0时有两个不同的解,即 x 2 + x +2- b =0有两个不同的负根,则   解得   < b <2; 同时要满足   在 x >2时有两个不同的解,即 x 2 -5 x +8- b =0有两个大于2的不同实根,令 h ( x )= x 2 -5 x +8- b ,需   即   解得   < b <2. 综上所述,满足条件的 b 的取值范围是   < b <2,故选D . 4. (2018天津,14,5分)已知 a >0,函数 f ( x )=   若关于 x 的方程 f ( x )= ax 恰有2个互异 的实数解,则 a 的取值范围是 　　　　　     . 答案 　(4,8) 解析 　本题主要考查函数零点的应用. 设 g ( x )= f ( x )- ax =   方程 f ( x )= ax 恰有2个互异的实数解即函数 y = g ( x )有两个零点,即 y = g ( x )的图象与 x 轴有2个交点, 满足条件的 y = g ( x )的图象有以下两种情况: 情况一: 则   ∴4< a <8. 情况二:   则   不等式组无解. 综上,满足条件的 a 的取值范围是( 4 ,8). 解题策略     解决方程的根的问题时,通常转化为函数的零点问题,进而转化为函数图象的交点 问题;解决函数图象的交点问题时,常用数形结合的方法,以“形”助“数”,直观简捷. 5. (2018浙江,15,6分)已知 λ ∈R,函数 f ( x )=   当 λ =2时,不等式 f ( x )<0的解集是 　　     . 若函数 f ( x )恰有2个零点,则 λ 的取值范围是 　　　　　　     . 答案　 (1,4);(1,3] ∪ (4,+ ∞ ) 解析　 本小题考查分段函数,解不等式组,函数的零点,分类讨论思想和数形结合思想. 当 λ =2时,不等式 f ( x )<0等价于   或   即2 ≤ x <4或1< x <2, 故不等式 f ( x )<0的解集为(1,4). 易知函数 y = x -4( x ∈R)有一个零点 x 1 =4,函数 y = x 2 -4 x +3( x ∈R)有两个零点 x 2 =1, x 3 =3. 在同一坐标系中作出这两个函数的图象(图略),要使函数 f ( x )恰有2个零点,则只能有以下两种 情形:①两个零点为1,3,由图可知,此时 λ >4.②两个零点为1,4,由图可知,此时1< λ ≤ 3. 综上, λ 的取值范围为(1,3] ∪ (4,+ ∞ ). 思路分析 　(1) f ( x )<0 ⇔   或   此时要特别注意分段函数在每一段上的解析 式是不同的,要把各段上的不等式的解集取并集. (2)函数零点个数的判定一般要作出函数图象,此时要特别注意两段的分界点是否能取到. 6. (2015湖南,15,5分)已知函数 f ( x )=   若存在实数 b ,使函数 g ( x )= f ( x )- b 有两个零点,则 a 的 取值范围是 　　　     . 答案 　(- ∞ ,0) ∪ (1,+ ∞ ) 解析 　当 a <0时,若 x ∈( a ,+ ∞ ),则 f ( x )= x 2 ,当 b ∈(0, a 2 )时,函数 g ( x )= f ( x )- b 有两个零点,分别是 x 1 =-   , x 2 =   . 当0 ≤ a ≤ 1时, f ( x )的图象如图所示,   易知函数 g ( x )= f ( x )- b 最多有一个零点. 当 a >1时, f ( x )的图象如图所示,   当 b ∈( a 2 , a 3 ]时,函数 g ( x )= f ( x )- b 有两个零点,分别是 x 1 =   , x 2 =   .综上, a ∈(- ∞ ,0) ∪ (1,+ ∞ ). 考点一　函数零点个数及所在区间的判断 1.(2013重庆,6,5分)若 a < b < c ,则函数 f ( x )=( x - a )·( x - b )+( x - b )( x - c )+( x - c )( x - a )的两个零点分别位于区 间   (　　) A.( a , b )和( b , c )内　    B.(- ∞ , a )和( a , b )内 C.( b , c )和( c ,+ ∞ )内　    D.(- ∞ , a )和( c ,+ ∞ )内 C组    教师专用题组 答案      A 　由题意可得 f ( a )>0, f ( b )<0, f ( c )>0,由二次函数图象知 f ( x )的两个零点分别位于区间 ( a , b )和( b , c )内. 2. (2013天津,7,5分)函数 f ( x )=2 x |log 0.5 x |-1的零点个数为   (　　) A.1　    B.2　    C.3　    D.4 答案    B      易知函数 f ( x )=2 x |log 0.5 x |-1的零点个数即为方程|log 0.5 x |=   =   的根的个数,亦即函数 y 1 =|log 0.5 x | 与 y 2 =   的图象的交点个数.两个函数的图象如图所示,可知两个函数图象有两个交点,故 选B . 3. (2015安徽,15,5分)设 x 3 + ax + b =0,其中 a , b 均为实数.下列条件中,使得该三次方程仅有一个实根 的是 　　　     .(写出所有正确条件的编号) ① a =-3, b =-3;② a =-3, b =2;③ a =-3, b >2;④ a =0, b =2;⑤ a =1, b =2. 答案　 ①③④⑤ 解析　 设 f ( x )= x 3 + ax + b . 当 a =-3, b =-3时, f ( x )= x 3 -3 x -3, f '( x )=3 x 2 -3,令 f '( x )>0,得 x >1或 x <-1;令 f '( x )<0,得-1< x <1,故 f ( x )在(- ∞ ,-1)上为增函数,在(-1,1)上为减函数,在(1,+ ∞ )上为增函数,又 f (-1)=-1, f (1)=-5, f (3)=15,故方程 f ( x )=0只有一个实根,故①正确. 当 a =-3, b =2时, f ( x )= x 3 -3 x +2,易知 f ( x )在(- ∞ ,-1)上为增函数,在(-1,1)上为减函数,在(1,+ ∞ )上为增 函数,又 f (-1)=4, f (1)=0, x →- ∞ 时, f ( x )→- ∞ ,从而方程 f ( x )=0有两个根,故②错. 当 a =-3, b >2时, f ( x )= x 3 -3 x + b ,易知 f ( x )的极大值为 f (-1)=2+ b >0,极小值为 f (1)= b -2>0, x →- ∞ 时, f ( x ) →- ∞ ,故方程 f ( x )=0有且仅有一个实根,故③正确. 当 a =0, b =2时, f ( x )= x 3 +2,显然方程 f ( x )=0有且仅有一个实根,故④正确. 当 a =1, b =2时, f ( x )= x 3 + x +2, f '( x )=3 x 2 +1>0,则 f ( x )在(- ∞ ,+ ∞ )上为增函数,易知 f ( x )的值域为R,故 f ( x )=0有且仅有一个实根,故⑤正确. 综上,正确条件的编号有①③④⑤. 考点二　由函数零点求参数的取值范围 (2015北京,14,5分)设函数 f ( x )=   ①若 a =1,则 f ( x )的最小值为 　　　     ; ②若 f ( x )恰有2个零点,则实数 a 的取值范围是      . 答案 　①-1　②   ∪ [2,+ ∞ ) 解析 　①当 a =1时, f ( x )=   其大致图象如图所示: 由图可知 f ( x )的最小值为- 1 . ②当 a ≤ 0时,显然函数 f ( x )无零点; 当0< a <1时,易知 f ( x )在(- ∞ ,1)上有一个零点,要使 f ( x )恰有2个零点,则当 x ≥ 1时, f ( x )有且只有一 个零点,结合图象可知,2 a ≥ 1,即 a ≥   ,则   ≤ a <1; 当 a ≥ 1时,2 a >1,由二次函数的性质可知,当 x ≥ 1时, f ( x )有2个零点, 则要使 f ( x )恰有2个零点,则需要 f ( x )在(- ∞ ,1)上无零点,则2- a ≤ 0,即 a ≥ 2. 综上可知,满足条件的 a 的取值范围是   ∪ [2,+ ∞ ). 考点一　函数零点个数及所在区间的判断 1. (2018河南濮阳一模,4)函数 f ( x )=ln 2 x -1的零点所在区间为(　　) A.(2,3)　    B.(3,4)　    C.(0,1)　    D.(1,2) 三年模拟 A组 201 6 —201 8 年 高考模拟·基础题 组 答案    D 　由 f ( x )=ln 2 x -1,得函数是增函数,并且是连续函数, f (1)=ln 2-1<0, f (2)=ln 4-1>0,根据 函数零点存在性定理可得,函数 f ( x )的零点位于区间(1,2)上,故选D. 2. (2018安徽安庆二模,9)定义在R上的函数 f ( x )满足 f ( x )=   且 f ( x +1)= f ( x -1),若 g ( x )= 3-log 2 x ,则函数 F ( x )= f ( x )- g ( x )在(0,+ ∞ )内的零点个数为   (　　) A.3　    B.2　    C.1　    D.0 答案    B 　由 f ( x +1)= f ( x -1),知 f ( x )的周期是2,画出函数 f ( x )和 g ( x )的部分图象,如图所示,由图象 可知 f ( x )与 g ( x )的图象有2个交点,故 F ( x )有2个零点.故选B.   3. (2018河南安阳一模,12)已知函数 f ( x )=   (e为自然对数的底数),则函数 F ( x )= f ( f ( x ))-   f ( x )-1的零点个数为   (　　) A.8　    B.6　    C.4　    D.3 答案    B 　令 f ( x )= t ,则由 F ( x )=0得 f ( t )=   t +1.作出 y = f ( x )的函数图象如图所示:   设直线 y = k 1 x +1与曲线 y =e x 相切,切点为( x 0 , y 0 ),则   解得 x 0 =0, k 1 =1. 设直线 y = k 2 x +1与曲线 y =ln x 相切,切点为( x 1 , y 1 ),则   解得 x 1 =e 2 , k 2 =   . ∴直线 y =   t +1与 f ( t )的图象有4个交点,不妨设4个交点横坐标为 t 1 , t 2 , t 3 , t 4 ,且 t 1 < t 2 < t 3 < t 4 ,由图象可 知 t 1 <0, t 2 =0,0< t 3 <1, t 4 =e 2 .由 f ( x )的函数图象可知 f ( x )= t 1 无解, f ( x )= t 2 有一个解, f ( x )= t 3 有三个解, f ( x ) = t 4 有两个解.∴ F ( x )有6个零点.故选B . 思路分析      F ( x )的零点个数即为 F ( x )=0的解的个数,换元,令 f ( x )= t ,将方程化为关于 t 的方程,画 函数图象,数形结合得关于 t 的方程的解的个数及解的范围,再由 f ( x )= t 确定所求零点个数. 4. (2016河南郑州第一次质量检测,5)已知函数 f ( x )=   -cos x ,则 f ( x )在[0,2π]上的零点个数为   (　　) A.1　    B.2　    C.3　    D.4 答案      C 　作出 g ( x )=   与 h ( x )=cos x 的图象(图略),可以看出函数 g ( x )与 h ( x )在[0,2π]上的图象 的交点个数为3,所以函数 f ( x )在[0,2π]上的零点个数为3,故选C. 考点二　由函数零点求参数的取值范围 1. (2018安徽黄山一模,12)已知定义在R上的函数 f ( x )满足 f ( x +2)= f ( x ),且 f ( x )是偶函数,当 x ∈[0,1] 时, f ( x )= x 2 .令 g ( x )= f ( x )- kx - k ,若在区间[-1,3]内,函数 g ( x )=0有4个不相等实根,则实数 k 的取值范围 是   (　　) A.(0,+ ∞ )　    B.   　    C.   　    D.   答案      C   ∵ f ( x )是偶函数,当 x ∈[0,1]时, f ( x )= x 2 ,∴当 x ∈[-1,0],即- x ∈[0,1]时, f (- x )=(- x ) 2 = x 2 = f ( x ),即当 x ∈[-1,0]时, f ( x )= x 2 ,则当 x ∈[-1,1]时, f ( x )= x 2 .∵ f ( x +2)= f ( x ),∴函数的周期为2.由 g ( x )=0,得 f ( x )- kx - k =0, 得 f ( x )= kx + k = k ( x +1),作出 y = f ( x )在[-1,3]上的函数图象如图所示: 设直线 y = k 1 ( x +1)经过点(3,1),则 k 1 =   . ∵直线 y = k ( x +1)经过定点(-1,0),且由题意知直线 y = k ( x +1)与 y = f ( x )的图象有4个交点,∴0< k ≤   . 故选C . 2. (2018河南洛阳二模,12)已知函数 f ( x )=   g ( x )= kx -1,若方程 f ( x )- g ( x )=0在 x ∈(-2,2)内 有三个实根,则实数 k 的取值范围为   (　　) A.(1,ln 2   )　    B.   C.   　    D.(1,ln 2   ) ∪   答案      D     显然, x =0不是方程 f ( x )- g ( x )=0的根,则 f ( x )- g ( x )=0即为 k =   , 可设 k = φ ( x )=   由 x <0,可得 φ ( x )= x +   +4 ≤ -2   +4=2,则 φ ( x )在 x <0时,有最大 值 φ (-1)=2;当 x >0时, φ ( x )=   +ln x 的导数为 φ '( x )=-   +   =   ,在 x >1时, φ '( x )>0, φ ( x )递增;在0< x <1 时, φ '( x )<0, φ ( x )递减.可得 φ ( x )在 x =1处取得最小值1.作出 φ ( x )在(-2,2)上的图象得,在1< k 2或 x <0时, g '( x )>0,函数 g ( x )单调递增,当0< x <2时, g '( x )<0,函数 g ( x )单调递减, ∴当 x =2时,函数有极小值,为 g (2)=   ,且当 x <0时, g ( x )∈(0,+ ∞ ),∵函数 f ( x )=   - kx (e为自然对数 的底数)有且只有一个零点,∴ y = k 与 g ( x )=   的图象只有一个交点,结合图象可得,0< k <   ,故选 B.   B 组 201 6 —201 8 年 高考模拟·综合题组 (时间: 2 0分钟　分值: 2 0分) 一、选择题(每题5分,共15分) 1. (2018河南安阳二模,12)设函数 f ( x )=ln( x +1)+ a ( x 2 - x ),若 f ( x )在区间(0,+ ∞ )上无零点,则实数 a 的 取值范围是   (　　) A.[0,1]　    B.[-1,0]　    C.[0,2]　    D.[-1,1] 答案      A 　令 f ( x )=0,可得ln( x +1)=- a ( x 2 - x ),令 g ( x )=ln( x +1), h ( x )=- a ( x 2 - x ).∵ f ( x )在区间(0,+ ∞ )上无 零点,∴ g ( x )=ln( x +1)与 h ( x )=- a ( x 2 - x )的图象在 y 轴右侧无交点. 显然当 a =0时符合题意; 当 a <0时,作出 g ( x )=ln( x +1)与 h ( x )=- a ( x 2 - x )的函数图象如图1所示, 显然两函数图象在 y 轴右侧必有一交点,不符合题意; 当 a >0时,作出 g ( x )=ln( x +1)与 h ( x )=- a ( x 2 - x )的函数图象如图2所示, 若两函数图象在 y 轴右侧无交点,则 h '(0) ≤ g '(0),即 a ≤ 1.综上,0 ≤ a ≤ 1.故选A. 思路分析 　令 g ( x )=ln( x +1), h ( x )=- a ( x 2 - x ),由题意得两函数图象在 y 轴右侧无交点,根据函数图象 得出 a 的范围. 2. (2018山东泰安一模,10)设函数 f ( x )( x ∈R)满足 f (- x )= f ( x ), f ( x )= f (2- x ),且当 x ∈[0,1]时, f ( x )= x 3 ,又 函数 g ( x )=log 4 | x |,则函数 h ( x )= g ( x )- f ( x )零点的个数为   (　　) A.3　    B.4　    C.5　    D.6 答案      D 　由 f (- x )= f ( x ),知函数 f ( x )为偶函数,又当 x ∈[0,1]时, f ( x )= x 3 ,设 x ∈[1,2],则2- x ∈[0,1],∴ 当 x ∈[1,2]时, f ( x )= f (2- x )=(2- x ) 3 . 由 f ( x )= f (2- x ), f (- x )= f ( x ),可得 f (2+ x )= f (- x )= f ( x ),知函数 f ( x )的周期为2.作出函数 f ( x )与函数 g ( x )=log 4 | x |的图象如图所示,函数 y = g ( x )与 y = f ( x )图象的交点有6个,∴函数 h ( x )= g ( x )- f ( x )零点的个数为6. 故选D.   思路分析 　由已知可得,函数 f ( x )是偶函数且是周期为2的周期函数,作出函数 f ( x )与 g ( x )的图象, 数形结合得答案. 方法总结 　求函数零点个数时常见的处理方法是将问题转化为函数图象交点问题,再结合函 数的性质(如奇偶性)求解. 3. (2018广东茂名一模,12)定义在R上的奇函数 f ( x )满足条件 f (1+ x )= f (1- x ),当 x ∈[0,1]时, f ( x )= x ,若 函数 g ( x )=| f ( x )|- a e -| x | 在区间[-2 018,2 018]上有4 032个零点,则实数 a 的取值范围是   (　　) A.(0,1)　    B.(e,e 3 )　    C.(e,e 2 )　    D.(1,e 3 ) 答案      B      f ( x )满足条件 f (1+ x )= f (1- x )且为奇函数,则 f ( x )的图象关于 x =1对称,且 f ( x )= f (2- x ), f ( x )=- f (- x ),∴- f (- x )= f (2- x ),即- f ( x )= f (2+ x ),∴ f ( x +4)= f ( x ),∴ f ( x )的周期为4. 令 m ( x )=| f ( x )|, n ( x )= a e -| x | ,画出 m ( x )、 n ( x )的图象如图, 可知 m ( x )与 n ( x )为偶函数,且要使 m ( x )与 n ( x )图象有交点,需 a >0,由题意知要满足 g ( x )在区间[-2 0 18,2 018]上有4 032个零点,只需 m ( x )与 n ( x )的图象在[0,4]上有两个交点,则   可得e< a

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