2020届辽宁省沈阳市高三上学期五校协作体期中联考试题 数学理

2020届辽宁省沈阳市高三上学期五校协作体期中联考试题 数学理

‎2019—2020学年度（上）沈阳市五校协作体期中联考 高三年级理科数学试卷 试卷说明：本试卷分第Ⅰ卷选择题（1—12题，共60分）和第Ⅱ卷（非选择 题，13—23题，共90分）。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。作答时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。‎ 命题人：关锋 校对人：张燕 考试时间 ：120 分钟 考试分数：150分 ‎ 第Ⅰ卷（选择题 满分60分）‎ 一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1.已知集合，，集合A与B关系的韦恩图如图所示，则阴影部分所表示的集合为 ( ) ‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎2.为虚数单位，复数在复平面内对应的点的坐标为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎3.已知都是实数,直线与圆相切; ,则p是q的(   )‎ A.充分不必要条件                   B.必要不充分条件 C.充要条件                      D.既不充分也不必要条件 ‎4.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述。两颗星的星等与亮度满足m2-m1=lg ，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k=1,2). 已知太阳的星等为 -26.7，天狼星的星等为 -1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )‎ A.1010.1 B.10.1 C.lg10.1 D.10-10.1‎ ‎5.已知，则的大小关系为 A． B． C． D． ‎ ‎6.根据如下样本数据 x ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ y ‎4.0‎ ‎2.5‎ ‎－0.5‎ ‎0.5‎ ‎－2.0‎ ‎－3.0 ‎ 得到的回归方程为＝bx＋a，则(　　)‎ A．a>0，b>0 B．a>0，b<0 C．a<0，b>0 D．a<0，b<0‎ ‎7.已知，则的值是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎8.函数（其中）的图像不可能是（ ）‎ O x y O x y A． B． C． D．‎ ‎9.为了丰富教职工的文化生活，某学校从高一年级、高二年级、高三年级、行政部门各挑选出4位教师组成合唱团，现要从这16人中选出3人领唱，要求这3人不能都是同一个部门的，且在行政部门至少选1人，则不同的选取方法的种数为 ‎ A．336 B．340 C．352 D．472 ‎ ‎10.已知，则不可能满足的关系是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11.已知向量、满足,点在内，且, 设（），若,则 ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.已知是奇函数f(x)(x)的导函数，f(-1)=0,当x>0时，,‎ 则使得f(x)>0成立的x的取值范围为( ) ‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷 （非选择题 满分90分）‎ 一、 填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13.若实数满足条件则的最大值是__________． ‎ ‎14.由曲线与它在处切线以及x轴所围成的图形的面积为 ．‎ ‎15.三棱锥中，平面，，，，是 边上的一个动点，且直线与平面所成角的最大值为，则该三棱锥外接球的表面积为__________． ‎ ‎16.对于函数，若在其定义域内存在，使得成立，则称函数具有性质P.‎ ‎（1）下列函数中具有性质P的有 ；‎ ‎① ② ③，‎ ‎（2）若函数 具有性质P，则实数的取值范围是 . （本题第一空2分，第二空3分．）‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 已知数列满足，且．‎ ‎(1)求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式；‎ ‎(2)求数列的前项和.‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 如图，在四边形中，，，△的面积为．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，，求．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 为响应绿色出行，某市在推出“共享单车”后，又推出“新能源分时租赁汽车”．其中一款新能源分时租赁汽车，每次租车收费的标准由两部分组成：①根据行驶里程数按1元/公里计费；②行驶时间不超过分时，按元/分计费；超过分时，超出部分按 元/分计费．已知王先生家离上班地点公里，每天租用该款汽车上、下班各一次．由于堵车、红绿灯等因素，每次路上开车花费的时间 (分)是一个随机变量．现统计了次路上开车花费时间，在各时间段内的频数分布情况如下表所示：‎ 时间（分）‎ 频数 将各时间段发生的频率视为概率，每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为分．‎ ‎（1）写出王先生一次租车费用（元）与用车时间（分）的函数关系式；‎ ‎（2）若王先生一次开车时间不超过分为“路段畅通”，设表示3次租用新能源分时租赁汽车中“路段畅通”的次数，求的分布列和期望. ‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥中，底面为菱形， 平面， ， ， ， 分别是， 的中点. ‎ ‎（1）证明： ；‎ ‎（2）设为线段上的动点，若线段长的最小值为，求二面角 的余弦值.‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知，.‎ ‎（1）当时，求证：；‎ ‎（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围.‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4—4：坐标系与参数方程] （本小题满分10分）‎ 已知曲线的参数方程为(为参数)，以原点为极点，以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）射线与曲线交于点M，射线与曲线交于点N，求的取值范围．‎ ‎23．[选修4—5：不等式选讲] （本小题满分10分）‎ 设函数．‎ ‎ （1）若，解不等式；‎ ‎ （2）求证：．‎ 高三五校联考理科数学答案 ‎1—5 D C B A B 6—10 B B C A D 11—12 C A ‎13. 14． 15、 16.（1）①②，（2）‎ ‎17. （本小题满分12分）‎ ‎(1)证明：因为an＝2an－1＋2n，所以＝＝＋1，‎ 即－＝1………..3分 所以数列是等差数列，且公差d＝1，其首项＝，所以＝＋(n－1)×1＝n－，‎ 解得an＝×2n＝(2n－1)2n－1 ……………………6分 ‎(2)Sn＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1，①‎ ‎2Sn＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)×2n－1＋(2n－1)×2n，②‎ ‎①－②，得－Sn＝1×20＋2×21＋2×22＋…＋2×2n－1－(2n－1)2n ‎＝1＋－(2n－1)2n＝(3－2n)2n－3.‎ 所以Sn＝(2n－3)2n＋3 ………… …………12分 ‎18．（本小题满分12分）‎ 解：（1）由，，得．…3分 因为，所以由余弦定理．‎ ‎ …………………… 6分 ‎（2）由（1）知，因为，所以．‎ 在△中，由正弦定理得，所以．……………………12分 ‎19.（本小题满分12分）‎ ‎ （1）当时， ‎ ‎ 当时，. ‎ 得： …………………… 6分 ‎（2）王先生租用一次新能源分时租赁汽车，为“路段畅通”的概率 ……7分 可取，，，. ………………………8分 ‎，‎ ‎， ‎ 的分布列为 ‎………………..10分 ‎ ‎ 或依题意， …………………… 12分 ‎20．（本小题满分12分）‎ ‎ 解析：（1）证明：∵四边形为菱形， ，‎ ‎∴为正三角形.又为的中点，‎ ‎∴.又，因此.‎ ‎∵平面， 平面，‎ ‎∴.而平面， 平面且，‎ ‎∴平面.又平面，‎ ‎∴. …………………… 4分 ‎（2）如图， 为上任意一点，连接， .‎ 当线段长的最小时， ，由（1）知，‎ ‎∴平面， 平面，故.‎ 在中， ， ， ，∴，‎ 由中， ， ，∴.…………6分 由（1）知， ， 两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又， 分别是， 的中点，可得， ， ， ，， ， ，所以 ‎， .设平面的一法向量为，则因此，取，则，……………8分 因为， ， ，所以平面，‎ 故为平面的一法向量.又，……………10分 所以 .二面角为锐角，故所求二面角的余弦值为 …………………… 12分 ‎21．（本小题满分12分）‎ ‎（1）设，‎ ‎，‎ 由故增且，所以，在上递增，‎ 所以 …………………… 4分 ‎（2）即<0，在上有解 则，，‎ 所以在上单调递增，………………………6分 ‎（ⅰ）当时，在上为单调递增函数，故，‎ 所以：………………………………………………….8分 ‎（ⅱ）当时， 设 所以：在上为单调递增函数，所以：‎ 当时，恒成立，不合题意 综上所述： …………………… 12分 ‎22．（本小题满分10分）‎ 解：（1）由曲线的参数方程(为参数)得：，即曲线的普通方程为 ‎ 又， ‎ 曲线的极坐标方程为，即 …….3分 曲线的极坐标方程可化为， ‎ 故曲线的直角方程为 ……………………5分 ‎（2）由已知，设点和点的极坐标分别为，，其中 ‎ 则， ‎ 于是 ‎ 由，得 故的取值范围是 ……………………10分 ‎23．（本小题满分12分）‎ 解：（1）因为，所以， ‎ 即或 ‎ ‎ 故不等式的解集为 …………4分 ‎（2）由已知得：‎ ‎ ‎ ‎ 所以在上递减，在递增 ‎ ‎ 即 ‎ 所以 ……………………10分