2018-2019学年四川省雅安中学高一下学期第一次月考数学试题（解析版）

2018-2019学年四川省雅安中学高一下学期第一次月考数学试题（解析版）

‎2018-2019学年四川省雅安中学高一下学期第一次月考数学试题 一、单选题 ‎1．以下四组向量能作为基底的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据平面内两不共线的向量可作为基底，对选项中的向量逐一判断即可.‎ ‎【详解】‎ 对于，与共线，不能作为基底；‎ 对于，与不共线，能作为基底；‎ 对于，与共线，不能作为基底；‎ 对于，与共线，不能作为基底，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查平面向量基本定理，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题.‎ ‎2．如图所示，在正中，均为所在边的中点，则以下向量和相等的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据相等向量的定义，对选项中的向量逐一判断即可.‎ ‎【详解】‎ 与向量，方向不同，‎ 与向量不相等，‎ 而向量与方向相同，长度相等，‎ ‎，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查相等向量的定义，属于简单题.相等向量的定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量；两个向量只有当他们的模相等且方向相同时，才能称它们相等.‎ ‎3．已知向量，向量，且,则( )‎ A．9 B．6 C．5 D．3‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据两个向量平行的充要条件，得到关于的方程，解方程即可得到的值.‎ ‎【详解】‎ 因为向量,向量且，‎ 根据问量共线的充要条件得，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.‎ ‎4．已知中，内角所对的边分别为，，，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】直接利用正弦定理求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 为锐角，‎ 由正弦定理可得，，‎ 所以，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3‎ ‎）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.‎ ‎5．已知中，内角所对的边分别为，那么（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】直接利用余弦定理求解即可.‎ ‎【详解】‎ 由余弦定理可得，，‎ ‎，‎ ‎，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.‎ ‎6．关于有以下说法，不正确的是（ ）‎ A．的方向是任意的 B．与任一向量共线，所以 C．对于任意的非零向量，都有 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】直接利用零向量的定义以及向量的线性运算法则，对选项中的命题逐一判断即可.‎ ‎【详解】‎ 由零向量的定义可得零向量的方向是任意的，正确；‎ 根据规定，零向量与任何向量平行，可得正确；‎ 因为，所以不正确；‎ 因为,所以正确，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查零向量的定义与性质，以及向量运算的三角形法则，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于基础题.‎ ‎7．一角槽的横断面如图所示，四边形是矩形，且，，则的长等于(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】求出，利用余弦定理求解即可.‎ ‎【详解】‎ 四边形是矩形，且，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 由余弦定理可得，‎ ‎ ，‎ ‎，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.‎ ‎8．已知非零向量满足且，则为（ ）‎ A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．等边三角形 ‎【答案】D ‎【解析】根据，判断出的角平分线与 垂直,进而推断三角形为等腰三角形，再根据向量的夹角公式求得角，判断出三角形的形状.‎ ‎【详解】‎ 分别为单位向量，‎ 的角平分线与垂直，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以，为等边三角形，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查向量的夹角及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）.‎ ‎9．若向量与不共线，，且，则向量与的夹角为（ ）‎ A．内的任意一角 B．0 C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用平面向量数量积的运算法则，求得，即得其夹角为.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎，‎ 与夹角为，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查平面向量数量积的运算，属于中档题. 向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方.‎ ‎10．若的周长等于20，面积是，则边的长是（ ）‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用面积公式得到的值，结合周长为，再根据余弦定理列出关于的方程，求出的值即为的值.‎ ‎【详解】‎ 因为面积公式，‎ 所以，得，‎ 又周长为，故，‎ 由余弦定理得，‎ ‎，‎ 故，解得，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 考查主要考查余弦定理，以及会用三角形的面积公式的应用，属于中档题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.‎ ‎11．在一条东西走向的水平公路的北侧远处有一座高塔，塔底与这条公路在同一水平平面上，为测量该塔的高度，测量人员在公路上选择了两个观测点，在处测得该塔底部在西偏北的方向上；在处测得该塔底部在西偏北的方向上，并测得塔顶的仰角为.已知，，则此塔的高为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】在中，，利用正弦定理求出 ‎，再由直角三角形的性质求出即可.‎ ‎【详解】‎ 画出示意图，图中的外角为，，‎ 在中，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正弦定理的实际应用，考查了建立数学模型解决实际问题的能力.属于中档题. 正弦定理常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化.‎ ‎12．在中，，则的形状是（ ）‎ A．等腰非直角三角形 B．等腰直角三角形 C．直角非等腰三角形 D．等腰或直角三角形 ‎【答案】C ‎【解析】由正弦定理可得，化为，‎ 由，进而可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎,‎ 化为，‎ 由正弦定理可得，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 是直角三角形，不是等腰三角形，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.‎ 二、解答题 ‎13．已知 ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）直接利用平面向量线性运算的坐标表示求解即可；（2）先求出的坐标形式，根据，利用平面向量数量积的坐标表示求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1），‎ ‎ .‎ ‎（2），‎ ‎，‎ 即 ‎，‎ 得.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查平面向量的线性运算以及向量垂直的坐标表示，属于基础题. 利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.‎ ‎14．已知中，内角所对的边分别为.‎ ‎（1）若，，，求角；‎ ‎（2）若，求 ‎【答案】（1）或；（2）.‎ ‎【解析】（1）直接利用正弦定理求解即可；（2）由，利用正弦定理可得,设，利用余弦定理可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1），‎ 由正弦定理可得，，‎ ‎，‎ ‎，,‎ 或.‎ ‎（2），‎ ‎,‎ 设，‎ 由余弦定理可得，‎ ‎ .‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦定理解三角形，正弦定理边角互化的应用以及余弦定理解三角形，意在考查对基本定理掌握的熟练程度与灵活应用，属于中档题.‎ ‎15．在中，内角所对的边分别为，已知．‎ ‎（1）求外接圆的面积；‎ ‎（2）若，求的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）由正弦定理可得，求出外接圆半径，从而可得结果；（2）由正弦定理可得，再利用余弦定理解得，根据三角形面积公式可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设外接圆的半径为，‎ ‎，‎ 由正弦定理可得，，‎ ‎，外接球面积为.‎ ‎（2），‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦定理与余弦定理的解三角形，以及三角形面积公式的应用，属于中档题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.‎ ‎16．设、是两个不共线的向量，.‎ ‎（1）若与的起点相同，且，，三个向量的终点在同一直线上，求；‎ ‎（2）若，且与的夹角为，那么为何值时，的值最小？‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】(1)由，，三个向量的终点在同一直线上可得，化简得，从而可得结果；（2）化简 ，利用二次函数的性质可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，，三个向量的终点在同一直线上，‎ 所以，‎ 化简得，‎ 与不共线，‎ ‎，‎ 时，的终点在一直线上；‎ ‎（2）‎ ‎，‎ 时，最小，此时有最小值.‎ ‎【点睛】‎ 用两个向量共线的充要条件，可解决平面几何中的平行问题或共线问题,根据三个向量的终点在一条直线上，构造向量，得到向量之间的关系，得到要求的结果；求一个量的最小值，一般要先表示出这个变量,对于模长的运算，要对求得结果两边平方，变化为向量的数量积和模长之间的运算，根据二次函数的最值得到结果.‎ ‎17．在中，角的对边分别为，且 ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若求的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）由利用正弦定理可得，结合两角和的正弦公式以及诱导公式可得结果；（2）先利用正弦定理求得外接圆半径，再由由正弦定理可得 ，利用三角函数的有界性可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为 所以由正弦定理可得 ‎,‎ ‎,‎ 因为，‎ 所以.‎ ‎（2）由（1）可得，‎ 由，且，‎ 得，‎ ‎，‎ ‎，‎ 又有，‎ ‎，‎ ‎（当时，取最大值），，此时为等边三角形.‎ ‎【点睛】‎ 以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用.‎ ‎18．有如下图所示的四边形.‎ ‎（1）在中，三内角为,求当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值；‎ ‎（2）若为（1）中所得值， ,记.‎ ‎（ⅰ）求用含的代数式表示；‎ ‎（ⅱ）求的面积的最小值.‎ ‎【答案】（1），；（2）（ⅰ）；（ⅱ）.‎ ‎【解析】（1）由降幂公式以及诱导公式可得 ，再利用二次函数的性质可得结果；（2）（i）由（1）可得， ,由四边形内角和得，在中,由正弦定理可得结果；（ii）在中，由正弦定理可得，结合（i）利用三角形面积公式以及二倍角公式，辅助角公式可得的面积为，利用三角函数的有界性可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1） ，‎ 当时，取得最大值.‎ ‎（2）（i）由（1）可得，可得 四边形内角和得，‎ 在中，.‎ ‎（ii）在中，，‎ ‎，‎ 当时，取最小值.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦定理、余弦定理的的应用，二倍角公式与辅助的应用，属于中档题. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．‎ 三、填空题 ‎19．已知向量与向量同向的单位向量的坐标为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知可求，进而可求，而与同向的单位向量为，再利用坐标表示即可.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 与同向的单位向量坐标表示，‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了向量运算的坐标表示，向量模的坐标表示，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.‎ ‎20．若向量的夹角为，，则_______．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】由，夹角为，求出的值，再由平面向量数量积的运算法则求解即可.‎ ‎【详解】‎ 因为向量的夹角为，，‎ 所以 则，故答案为6.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了平面向量数量积的运算，属于基础题. 向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方.‎ ‎21．中，角所对的边分别为，，则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由，利用正弦定理与同角三角函数的平方关系可得，化简得，再利用正弦定理可得结果 .‎ ‎【详解】‎ 中，，‎ 根据正弦定理，得，‎ 可得，‎ ‎，‎ ‎，‎ 由正弦定理可得，可得，故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题着重考查了正弦定理、同角三角函数的基本关系等知识,属于基础题. 正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.‎ ‎22．以下说法正确的是_______．（填写所有正确的序号）‎ ‎①若两非零向量，若，则的夹角为锐角；‎ ‎②若，则，反之也对；‎ ‎③在中，若，则，反之也对；‎ ‎④在锐角中，若，则 ‎【答案】③④‎ ‎【解析】由 与 同向时夹角不是锐角，判断①；由时， 与 平行，判断②；由正弦定理得判断③；根据锐角三角形三个内角都是锐角判断④.‎ ‎【详解】‎ 对于①， 与 同向时，若，夹角为，不是锐角，故①错误；‎ 对于②，若时，则， 与 平行，故②错误；‎ 对于③，由正弦定理得，,故③正确；‎ 对于④，由，可得，即，故④正确，‎ 故答案为③④.‎ ‎【点睛】‎ 本题通过对多个命题真假的判断，综合考查向量的夹角与向量的位置关系以及正弦定理，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.‎